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1、第五章 动态元件与动态电路导论包含动态元件的电路称为动态电路。元件的伏安关系涉及对电流、电压的微分或积分，则称这种元件为动态元件（dynamicelement）如电容、电感。深圳大学信息工程学院返回目录返回目录5.1 电容元件5.2 电感元件5.3 动态电路导论5.4 动态电路的初始状态与初始条件5.5 一阶线性常系数微分方程的求解5.6 二阶线性常系数微分方程的求解5.7 例题5.1 电容元件5.1.1 （理想）电容元件的定义5.1.2 电容元件的伏安特性5.1.3 电容元件的储能5.1.4 电容元件的特点 5.1.5 电容元件的串、并联5.1.6 电容器的参数和电路模型5.1.1 （理想）
2、电容元件的定义电容元件的符号：电容元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻 t，它的电荷 q(t) 同它的端电压 u(t)之间的关系可以用 u-q 平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电容元件。其中：q电荷，单位：库仑（c） u电压，单位：伏特（v） C电容（正常数），单位：法拉（F）线性时不变电容元件的定义式：电容元件的定义式：5.1.2 电容元件的伏安特性*若 u 与 i 取关联参考方向，有其中 t0 为初始时刻，u(t0) 为初始电压。*若 u 与 i 取非关联参考方向，则5.1.3 电容元件的储能关联参考方向下，电容吸收的电功率为：请点击查看关于电容元件的储能分析若取尚未充电时刻为
3、初始时刻，可得 t 时刻电容的储能为：从 t0 时刻到目前时刻 t，电容吸收的电能（即电场能量的增量）为：例：已知电容两端电压波形 如图所示，求 电容的 电流、功率及储能 。解：或5.1.4 电容元件的特点*电压有变化，才有电流。 *具有隔直流作用，在直流稳态电路中，电容可视作开路。*电容可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为*电容电压具有记忆性和连续性。5.1.5 电容元件的串、并联 *串联 n个电容相串联的电路，各电容的端电流为同一电流 i。 C1C2CnCeq可称为n个电容串联的等效电容。式中由KVL，端口电压根据电容的伏安关系，有*并联n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同一电压
4、u。Ceq为n个电容并联的等效电容。由KVL，端口电流式中根据电容的伏安关系，有例: 如图所示电路，各个电容器的初始电压均为零， 给定 试求ab间的等 值电容C 解：ab间等值电容为C4C1C3C2ab5.1.6 电容器的参数和电路模型电容器的两个主要参数：电容，额定电压。电容器的电路模型：5.2 电感元件5.2.1 （理想）电感元件的定义5.2.2 电感元件的伏安特性5.2.3 电感元件的储能5.2.4 电感元件的特点5.2.5 电感元件的串、并联5.2.6 电感线圈的参数和电路模型5.2.1 （理想）电感元件的定义电感元件的符号电感元件的定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电流 i(
5、t) 同它的磁链 (t) 之间的关系可以用i- 平面上的一条曲线来确定，则此二端元件称为电感元件。（取 i(t) 与 (t) 的参考方向符合右手螺旋则。）电感元件的定义式：其中： 磁通链，单位：韦伯（Wb） i电流，单位：安培（A） L电感（正常数），单位：亨利（H）（线性时不变）电 感元件的定义式：5.2.2 电感元件的伏安特性*若 u 与 i 取关联参考方向，根据电磁感应定律，有 其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。*若 u 与 i 取非关联参考方向，则5.2.3 电感元件的储能关联参考方向下，电感吸收的电功率为：从 t0 时刻到目前时刻 t，电感吸收的电能（即磁场能量的增量）
6、为：若取尚未建立磁场时刻为初始时刻，可得 t 时刻电感的储能为：例：已知电感两端电压波形 如图所示，i(0)=0，求 电感的电流及功率 。其中 t0 为初始时刻，i(t0) 为初始电流。解：方法1：分段积分求表达式 。方法2：求面积法 。求出特殊时间点上的电流值，再绘制其波形图。用求面积法，易于求得：由于5.2.4 电感元件的特点*电流有变化，才有电压。*在直流稳态电路中，电感可视作短路。*电感可储能，不耗能，是无源元件。其储能公式为*电感电流具有记忆性和连续性。5.2.5 电感元件的串、并联*串联n个电感相串联的电路，流过各电感的电流为同一电流 i。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3
7、,n)电感的端电压和KVL，可求得n个电感相串联的等效电感*并联n个电感相并联的电路，各电感的端电压是同一电压u。根据电感的伏安关系，第k个（k=1,2,3,n)电感的电流 和KCL，可求得n个电感相并联时的等效电感LeqLeq的倒数表示式为例：如图所示电路，给定试确定其最简单的等值电路。解：在t=0-，应用KCL于A点，得L1 中的初始电流为图中AL1L3L2i1i2i3LL235.2.6 电感线圈的参数和电路模型电感器 （磁通链）电感器的电路模型：电感器的两个主要参数：电感，额定电流。5.3 动态电路导论包含至少一个动态元件（电容或电感）的电路为动态电路。 含有一个独立的动态元件为一阶电路
8、。（电路方程为一阶常系数微分方程）含有二个独立的动态元件为二阶电路。（电路方程为二阶常系数微分方程）含有三个或三个以上独立的动态元件为高阶电路。（电路方程为高阶常系数微分方程）动态电路（只讨论线性非时变动态电路）换路、暂态与稳态的概念稳态暂态暂态换路：电路结构或参数发生突然变化。稳态：电路微分方程解中的暂态分量已衰减到零。有两类稳态电路：直流稳态电路：电路中电流电压均为恒定量。正弦稳态电路：电路中电流电压均为正弦交流量。暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态的过渡过程。过渡过程产生的原因：外因换路；内因有储能元件。5.4 动态电路的初始状态与初始条件t0+ 和 t0-若电路 在 t0 时刻换路
9、，则 t0- 为换路前的一瞬间， t0+ 为换路后最初的一瞬间（称为换路后的初始时刻）。 原始状态电容电压和电感电流为电路的状态变量。 t0- 时刻的电容电压和电感电流值为电路的原始状态，它们反映了换路前电路所储存的能量。t0+ 时刻的电容电压和电感电流值为电路的初始状态。初始状态求解电路微分方程所需t0+ 时刻各电流电压值。初始条件电路的换路定则证：由于有限电流 ic 在无穷小区间内的积零，因此电容的换路定则若换路瞬间电容电流 ic 为有限值，则电感的换路定则若换路瞬间电感电压 uL 为有限值，则根据换路前的电路求出 uc(t0-) 和 iL(t0-)。 初始状态与初始条件的确定对 t0 等
10、效电路求解，求出所需初始电流和电压。根据下述方法画出 t0 时刻的等效电路：换路后的电路；每一电感用一电流源替换，其值为 iL(t0)；每一电容用一电压源替换，其值为 uc(t0)；若独立源为时间函数，则取 t0 时刻的函数值；依据换路定则确定 uc(t0) 和 iL(t0)。例1：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求 uc(0) 和 ic(0)。 解：由于换路瞬间 ic 不可能为无穷大（否则电阻上有无穷大电压，KVL将不成立。），因此由0等效电路可求得例2：电路如图，已知电路换路前已达稳态，求 uL(0) 、 i (0)、 i1(0) 和iL(0)。 解：由于换路瞬间 uL 不可能为无穷大（
11、否则4电阻有无穷大电流，KCL将不成立。），因此由0等效电路可求得5.5 一阶线性常系数微分方程的求解一阶齐次方程的求解 其中 x(t) 为待求变量，A 及X0 均为常数。方程和初始条件设则将（13）、（14）代入（11），得（16）式为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的特征根或固有频率。可求得求通解（满足（11）式且含有一个待定常数的解。）确定待定常数K将初始条件（12）式代入通解（13）式，得即于是得到原问题的解。例：求解方程解： 特征方程特征根通解代入初始条件，得原问题的解为其中 x(t) 为待求变量，w(t) 为输入函数，A、B 及X0 均为常数。方程和初始条件解的结构: （21）
12、式的通解由两部分组成其中 xh(t) 为（21）式对应齐次方程的通解，xp(t) 为（21）式的一个特解。一阶非齐次方程的求解求 xh(t) 前已求得其中 s 为微分方程的特征根。求 xp(t) 特解 xp(t) 的 形式与输函数 w(t) 的形式有关将假定的xp(t) 代入（21）式，可求得特定常数Q、（ Q1，Q2）、（Q，）或（Q，）。确定待定常数K求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解（23）式，可确定待定常数K，从而得到原问题的解。例：求解方程解：特征方程特征根设求得通解代入初始条件，得原问题的解为5.6 二阶线性常系数微分方程的求解二阶齐次方程的求解其中 x(t)
13、 为待求变量，a、b、A 1及A2 均为常数。方程和初始条件（满足（11）式且含有二个待定常数的解。）特征方程设特征根（固有频率）为 s1和 s2 ，根据 s1和 s2 的不同情况，（11）方程有如下形式的通解。求通解确定待定常数将初始条件（12）式代入通解中，可求得待定常数（K1，K2 ）、（K，）或（K，），从而 得到原问题的解。二阶非齐次方程的求解方程和初始条件其中 x(t) 为待求变量，w(t) 为输入函数，a、b、c、A 1及A2 均为常数。求通解（21）式的通解由两部分组成其中 xh(t) 为（21）式对应齐次方程的通解，xp(t) 为（21）式的一个特解。xh(t)的求解如前所述
14、， xp(t) 的形式与 w(t) 有关。将假定的xp(t) 代入（21）式，可求得特定常数Q、(Q1，Q2)、(Q，)或(Q，)。求原问题的解求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解（23）式中，可确定其中的两个待定常数，从而得到原问题的解。线性常系数微分方程解的结构为其中 xh(t) 的形式决定于微分方程的特征根，称为自由分量； xp(t) 的形式决定于输入函数，称为强制分量。5.7 例题例1：如图所示为一电容的电压和电流波形。（1）求C；（2）计算电容在 0t0t0VmAVt0 uR(t)=0 i(t)=0 uL(t)=0t0电感电压波形如下图所示(2) 由KVL uR+
15、 uL- us=0 us = uR+ uLt0t0t0例3： 如图所示电路中，已知uC(t)=te-t V,求i(t)及uL(t)。求uL(t)要求用两种不同方法。解： 在电感、电容和电阻的串联电路中，电容电压是已知的，由电容的伏安关系可求出电流i(t)。V1HIF求uL(t)用两种不同的方法。解法一：由电感的伏安关系求解解法二：求出电阻电压，再由KVL求uL(t)VVV例4：如图所示电路t=0时的电压 。已知 解：该电路为常态一阶电路，求电容C左侧的含源一端口电阻网络的等效戴维南支路的参数。求开路电压 ，求短路电流则4V3u1根据一阶电路的三要素求解法公式，可求得求得电容电压 后，可以方便地求得例5：如图所示电路，已知开关S合闸前电路已达到稳定状态，求开关S合上后的电流解： 由开关S合上前的电路可求得换路后的电路为常态网络，rLSLri2iki1ir1E由于两个r、L并联支路一样，初始状态也一样，显然于是则其数值方程为消去变量I可得一阶微分方程式解之可得
