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1、第四章 运算方法和运算器,4.2 定点数的乘法运算及实现,实现乘除法运算，可以有三种方式： 用软件实现。通过编制一段子程序来实现乘除运算。这种方式运算速度较慢，但硬件设计简单。 用硬件乘法器和除法器实现。这种方式相对软件实现方法，运算速度提高，但硬件设计也相对复杂。 用高速的阵列乘法器和阵列除法器来实现。乘除法指令实现的硬件基础是专用的、并行运算的阵列乘法器和阵列除法器。这种方式，硬件相当复杂，但牺牲硬件代价，赢得了速度。,一、原码乘法算法及实现 1、手工乘法算法 手工计算10111101，步骤： 手工算法是：对应每一位乘数求得一项位积，并将位积逐位左移，然后将所有的位积一次相加，得到最后的乘
2、积。 乘法的机器算法：从乘数的最低位开始，每次根据乘数位得到其位积，乘数位为0，位积为0，乘数位为1，则位积为被乘数；用本次位积左移一位加上原部分积，得新部分积；初始部分积为0。,2、原码一位乘法 假设X原=XS X1 X2 Xn ， Y原=YS Y1 Y2 Yn ， P=XY，PS是积的符号： 符号位单独处理 Ps=Xs Ys 绝对值进行数值运算 |P|=|X|*|Y|,例如：X=+1011，Y=-1101，用原码一位乘法计算P=XY。 解：X原=0，1011 Y原=1，1101 Ps=Xs Ys =01=1，|P| = |X|Y| P原=1，10001111,3、原码乘法的硬件实现 原码一
3、位乘法硬件实现,原码一位乘法,0 0 0 0 0 0,1 0 1 1,0 0 0 0 0 0,0 0 1 1 0 1,1 0 1 1,为各寄存器给初值,原码一位乘法,0 0 0 0 0 0,1 0 1 1,0 0 0 0 0 0,0 0 1 1 0 1,1 0 1 1,0 0 1 1 0 1,0 0 0 1 1 0,1 0 1 1,0 0 0 1 1 0,1,1 0 1,0 0 1 1 0 1,第一次求部分积,原码一位乘法,0 0 0 0 0 0,1 0 1 1,0 0 0 0 0 0,0 0 1 1 0 1,1 0 1 1,0 0 0 1 1 0,0 1 0 0 1 1,0 1 0 0 1
4、1,1 1 0 1,0 0 1 0 0 1,0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 1,1 0,1 1,1,1 0 1,第二次求部分积,原码一位乘法,0 0 0 0 0 0,1 0 1 1,0 0 0 0 0 0,0 0 1 1 0 1,1 0 1 1,0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 1,0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 1,1 0,1 1,0 0 0 1 0 0,0 0 0 1 0 0,1,1 0 1,1 1 1,1,0 0 0 1 0 0,0 0 1 0 0 1,0 0 1 0 0 1,第三次求部分积,原码一位乘法,0 0 0 0 0 0,1 0 1 1,0 0
5、0 0 0 0,0 0 1 1 0 1,1 0 1 1,0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 0,0 0 1 0 0 1,0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 1,1 0,1 1,0 0 0 1 0 0,0 0 0 1 0 0,1,1 0 1,1 1 1,1,0 0 1 0 0 0,低位积,0 1 0 0 0 1,0 1 0 0 0 1,第四次求部分积,高位积,原码一位乘法,0 0 0 0 0 0,1 0 1 1,0 0 0 0 0 0,0 0 1 1 0 1,1 0 1 1,0 0 0 1 1 0,0 0 1 0 0 0,0 0 1 0 0 1,0 0 0 1 1 0,0 0 1
6、 0 0 1,1 0,1 1,0 0 0 1 0 0,0 0 0 1 0 0,1,1 0 1,1 1 1,1,0 0 1 0 0 0,低位积,高位积,符号位异或， 积符号得负， 结果为： 1 10001111,控制逻辑电路,原码一位乘法,原码一位乘法流程 ：,原码的两位乘法及其实现,二、补码乘法及实现 1、补码一位乘法校正法 假设X补 = X0 .X1Xn ，Y补 = Y0 .Y1Yn ，则有： XY补 = X补（0.Y1Yn）+ Y0-X补 证明如下： 当被乘数X的符号任意，Y为正数时： 根据补码定义有： X补 =2 + X = 2n+1+ X （mod 2） Y补 =Y 则：X补Y补 =（
7、2n+1+ X）Y = 2n+1Y + XY = 2 n+1（0 .Y1Yn）+ XY = 2（Y1Yn）+ XY = 2 + XY （mod 2）= XY补 即：Y 0 时，XY补 = X补Y补 =X补（0.Y1Yn） 当被乘数X的符号任意，Y为负数时： Y补 = 2 + Y = 1 .Y1Yn则：Y = Y补 2 = 0.Y1Yn -1 XY补 = X0.Y1Yn X 补 = X0.Y1Yn 补 +X 补 因为0.Y1Yn 0，所以： X0.Y1Yn 补 =X补（0.Y1Yn） 所以：Y0时，XY补 =X补（0.Y1Yn）+ -X补,例如：X=+0.1011，Y=-0.1101，用补码一位
8、乘法的校正法计算P=XY。 X补=00.1011 Y补=11.0011 -X补=11.0101,XY补 = 1.0111 0001 XY = -0.1000 1111,例：设X=-0.1101,Y=-0.1011,即：X补=11.0011,Y补=11.0101,求X*Y补 解：计算过程如下：,计算结果： X*Y补=0.10001111,2、补码一位乘法Booth算法 做出如下推导 ： XY补 = X补（0.Y1Yn）+ Y0-X补 = X补（Y12-1 + Y22-2 + + Yn2-n -Y0） = X补Y1（20 - 2-1）+ Y2（2-1 - 2-2）+ + Yn（2-n+1 - 2-
9、n）-Y020 = X补Y120 - Y12-1 + Y22-1 - Y22-2 + + Yn2-n+1 - Yn2-n -Y020 = X补（Y1-Y0）20 +（Y2- Y1）2-1 +（Y3- Y2）2-2 + + （Yn- Yn-1）2-n+1 - Yn2-n = X补（Y1-Y0）20 +（Y2- Y1）2-1 +（Y3- Y2）2-2 + + （Yn- Yn-1）2-n+1 +（Yn+1 - Yn）2-n = X补（a020 + a12-1 + a22-2 + + an-12-n+1 + an2-n） 其中，将乘数Y的补码在最末位添加一位附加位Yn+1（初始为0），ai= Yi+1
10、- Yi ，i=0，1，n-1，n。,0,被乘数X和乘数Y均以补码的形式参加乘法运算，运算的结果是积的补码 部分积和被乘数X采用双符号位，乘数Y采用单符号位。 Y补后添加附加位Yn+1初值为0（Yn Yn+1判断操作） 右移时遵循补码的移位规则 累加右移n次，最后累加不右移,例如：X=+0.1011，Y=-0.1101，用补码一位乘法的Booth算法计算P=XY。 解：X补=00.1011 Y补=11.0011 -X补=11.0101,XY补 = 1.0111 0001 XY = -0.1000 1111,3、Booth乘法的硬件实现,控制逻辑电路,补码乘法的Booth算法流程,补码的两位乘法
11、,三、阵列乘法器 1、绝对值阵列乘法器,位积的每一位XiYj都可以用一个与门实现，而每一位的相加均可以使用一个全加器来实现。,4位4位绝对值阵列乘法器,2、补码阵列乘法器 原码的阵列乘法器 在绝对值阵列乘法器的基础上，添加一个异或门，以产生积的原码的符号位。 补码的阵列乘法器， 先通过一个补码求绝对值的逻辑电路变为绝对值后，送入绝对值阵列乘法器，运算得到积的绝对值，然后再通过一个绝对值求补码的逻辑电路，根据积的符号求出积的补码形式。(例10001),补码求绝对值电路,（n+1）位（n+1）位补码阵列乘法器框图,4.3 定点数除法运算及实现,一、原码除法及实现 1、原码除法算法 手工除法算法,改
12、进手工算法即可适合机器运算： （1）计算机通过做减法测试来实现判断：结果大于等于0，表明够减，商1；结果小于0，表明不够减，商0。 （2）计算机将余数左移一位，再直接与不右移的除数相减。,原码恢复余数算法 假设X原=XS .X1 X2 Xn ，Y原=YS .Y1 Y2 Yn ，Q是XY的商，QS是商的符号，R是XY的余数，RS是余数的符号 原码除法运算的规则是： QS = XS YS ，RS = XS，|Q| = |X|Y|-|R|Y| 余数和被除数、除数均采用双符号位；初始余数为|X|。 每次用余数减去|Y|（通过加上-|Y|补来实现），若结果的符号位为0，则够减，上商1，余数左移一位；若结
13、果的符号位为1，则不够减，上商0，先加|Y|恢复余数，然后余数左移一位。 循环操作步骤（3），共做n+1次，最后一次不左移，但若最后一次上商0，则必须+|Y|恢复余数；若为定点小数除法，余数则为最后计算得到的余数右移n位的值。,例如： X=+0.1011，Y=-0.1101，用原码恢复余数算法计算XY。 解：X原=0.1011 Y原=1.1101 |X|=0.1011 |Y|=0.1101 -|Y|补=11.0011 QS = XS YS = 1 RS = 0,得Q原=1.1101 R原=0.00000111,原码不恢复余数算法（加减交替法） 加减交替法是对恢复余数除法的一种修正。当某一次求得
14、的差值（余数Ri)为负时，不是恢复它，而是继续求下一位商，但用加上除数（+Y）的办法来取代（-Y）操作，其他操作依然不变。其原理证明如下： 在恢复余数除法中，若第一次i-1次求商的余数为Ri-1，下一次求商的余数为Ri，则： Ri=2Ri-1-Y 如果Ri0,商的第i位上0，并执行操作：恢复余数（+Y），将余数左移一位，再减Y，得Ri+1。其过程可用公式表示如下： Ri+1=2（Ri+Y）-Y=2Ri+2Y-Y=2Ri+Y由此得到证明。 所以可得出加减交替法的规则如下： 当余数为正时，商上1，求下一位商的办法，是余数左移一位，再减去除数；当余数为负时，商上0，求下一位商的办法，是余数左移一位，再加上除数。此办法不用恢复余数，所以又叫不恢复余数法。但若最后一次上商为0，而又需得到正确余数，则在这最后一次仍需恢复余数。,例如：X=+0.1011，Y=-0.1101，用原码不恢复余数算法计算XY。 解：X原=0.1011 Y原=1.1101 |X|=0.1011 |Y|=0.1101 -|Y|补=11.0011 QS = XS YS = 1 RS = 0,
