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1、三垂线定理的证明及应用教案三垂线定理的证明及应用教案三垂线定理的证明及应用教案三垂线定理的证明及应用教案教学目的教学目的使学生掌握三垂线定理及其应用，同时培养学生观察、猜想和论证能力使学生掌握三垂线定理及其应用，同时培养学生观察、猜想和论证能力教学过程教学过程一、复习和新课引入一、复习和新课引入师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题：师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题：(1)(1)直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义(2)(2)直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理(3)(3)何谓平面的斜线、斜线在平面上的射影何谓平面的斜线、斜线在平面
2、上的射影生：略生：略师：师：( (板书板书) )设斜线设斜线l l=O，作出=O，作出l l在平面在平面 上的射影上的射影( (师生共同完成图师生共同完成图 1 1学生叙述画法，教师画图，再次深化概念学生叙述画法，教师画图，再次深化概念) ) 平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而知新是十分必要的知新是十分必要的 二、猜想与发现二、猜想与发现师：师：根据直线和平面垂直的定义，根据直线和平面垂直的定义，我们知道，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直线垂
3、直现在我们想一想，现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？三、证明三、证明师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式( (学生叙述，教师板书学生叙述，教师板书) )已知：如图已知：如图 4 4，PAPA、POPO 分别是平面分别是平面 的垂线和斜线，的垂线和斜线，AOAO 是是 POPO 在平面在平面 上上求证：aPO求证：aPO师：师：这是证明两条直线互相垂直的问题这是证明两条直线互相垂直的问题在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直在立体几何中怎样证明两条直线互相垂
4、直呢？呢？( (学生思考、议论，教师归纳学生思考、议论，教师归纳) )师：常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面现在要证明师：常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面现在要证明a平面a平面 PAOPAO 呢？只要证明呢？只要证明 a平面a平面 PAOPAO 内的两条相交直线即可内的两条相交直线即可证明证明 ( (师生共同完成师生共同完成) )师：师： 这个命题的证明，这个命题的证明， 体现了“由线面垂直证线线垂直”的方法体现了“由线面垂直证线线垂直”的方法 这个方法很重要，这个方法很重要，大家要给以足够的重视大家要给以足够的重视上述命题反映了平面内的一条直线、上述命题反映
5、了平面内的一条直线、 平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系之间的垂直关系这就是有名的三垂线定理这就是有名的三垂线定理下面请大家根据已知条件和结论，下面请大家根据已知条件和结论，把三垂把三垂线定理完整地表达出来线定理完整地表达出来( (学生叙述，教师板书学生叙述，教师板书) )三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么那么它也和这条斜线垂直它也和这条斜线垂直 这样由具体到抽象地研究问题，这样由具体到抽象地研究问题， 能够培养学生的概括能力能够
6、培养学生的概括能力 从“猜想”到“证明”从“猜想”到“证明”是质的升华！是学习数学必须具备的重要素质，引导学生证明猜想结果，总结定理，比是质的升华！是学习数学必须具备的重要素质，引导学生证明猜想结果，总结定理，比直接给出定理记得牢，理解得深刻，又能培养学生的能力直接给出定理记得牢，理解得深刻，又能培养学生的能力 四、剖析定理四、剖析定理师：师： ( (逐字逐句地阅读定理，逐字逐句地阅读定理， 同时圈点重要字眼，同时圈点重要字眼， 并提出下面几个问题让学生讨论并提出下面几个问题让学生讨论 ) )(1)(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面本定理的证明过程是对水平位置的平面 而进行的而进行的 那
7、么定理对其他位置的平那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由面是否成立？并说明理由(2)(2)直线直线a a是平面是平面内垂直于内垂直于AOAO的任意一条直线，的任意一条直线， a a和斜线和斜线POPO的位置关系有几种？的位置关系有几种？反映三垂线定理的图形有几种可能的情况？并画出图形反映三垂线定理的图形有几种可能的情况？并画出图形( (学生分组讨论，教师巡回指导，适时点拨，解答疑难，启发诱导，掌握讨论情况，学生分组讨论，教师巡回指导，适时点拨，解答疑难，启发诱导，掌握讨论情况，然后教师总结然后教师总结) )师：师：(1)(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立因为定理中并没有水平平面的限
8、三垂线定理对任意位置的平面都成立因为定理中并没有水平平面的限制制 定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关三者的垂直关系，与平面的位置无关(2)(2)因为因为 a a 是平面是平面 内的任意一条直线，内的任意一条直线， 所以所以 a a 与斜线与斜线 POPO 的位置关系有两种情况：的位置关系有两种情况：一是不过斜足一是不过斜足 O O 的异面垂直；的异面垂直；一是过斜足一是过斜足 O O 的相交垂直的相交垂直反映三垂线定理的图形有四种反映三垂线定理的图形有四
9、种情况情况( (如图如图 5)5)以上四种情况的图形在证题时都是经常遇到的，应该灵活运用三垂线定理以上四种情况的图形在证题时都是经常遇到的，应该灵活运用三垂线定理a a 不过不过斜足斜足 O O 时的情况容易被忽略，时的情况容易被忽略，这是证题时确定三垂直关系的一个难点，这是证题时确定三垂直关系的一个难点，应当给以足够的应当给以足够的重视重视 剖析定理是几何教学中的一个重要环节通过剖析，可以加深对定理的理解，为剖析定理是几何教学中的一个重要环节通过剖析，可以加深对定理的理解，为应用定理奠定基础，这是提高教学质量的重要措施应用定理奠定基础，这是提高教学质量的重要措施 五、定理的应用五、定理的应用
10、 定理的应用是学习定理的重要环节它既能巩固所学知识又能培养能力定理的应用是学习定理的重要环节它既能巩固所学知识又能培养能力 师：请同学们证明下题：师：请同学们证明下题：已知：如图已知：如图 6 6，O O 是ABC是ABC 的垂心，PO平面的垂心，PO平面 ABC ABC，连结，连结 PAPA求证：BCPA求证：BCPA( (学生思考后，教师分析学生思考后，教师分析) )ABCABC，所以，要证明，所以，要证明BCPA，只要证明BCPA，只要证明 BCBC 垂直垂直 PAPA 在平面在平面 ABCABC 上的射影即可那么，怎上的射影即可那么，怎样确定样确定 PAPA 的射影呢？的射影呢？请大家
11、把证明过程写在练习本上请大家把证明过程写在练习本上( (同时指定一学生上黑板板演同时指定一学生上黑板板演) )生：生：( (板演板演) )因为因为 POPO、PAPA 是平面的垂线和斜线，连结是平面的垂线和斜线，连结AOAO 且延长交且延长交 BCBC 于于 D(D(图图 7)7)，则，则AOAO 是是 PAPA 在平面在平面 ABCABC 上的射影又上的射影又O O 是ABC是ABC 的垂心，所以的垂心，所以ADBC，由三垂线定理可得ADBC，由三垂线定理可得BCPABCPA师：请谈谈证明的思路师：请谈谈证明的思路生：先找出平面的垂线、斜线以及这条斜线在平面上的射影，生：先找出平面的垂线、斜
12、线以及这条斜线在平面上的射影，师：他回答完整吗，师：他回答完整吗，生：应先确定一个平面及平面内的一条直线生：应先确定一个平面及平面内的一条直线师：师：这点补充得好！这点补充得好！三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法应用三应用三垂线定理的思维过程是：垂线定理的思维过程是：“一定”定平面及平面内的一条直线；“一定”定平面及平面内的一条直线；“二找”找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；“二找”找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；“三证”证明平面内的一条直线与射影垂直“三证”证明平面内的一条直线与射影垂直 在复杂图形中应用
13、三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后在复杂图形中应用三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的 师：我们来研究第二道题师：我们来研究第二道题( (板书板书) )已知：正方体已知：正方体 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1求证：求证：(1)A(1)A1 1CBCCBC1 1；(2)A(2)A1 1C平面C平面 C C1 1DBDB先考虑先考虑 A A1 1CBCCBC1 1如何证明？如何证明？( (在此指导下，学生们通过认真观察，独立思考
14、，确定平面在此指导下，学生们通过认真观察，独立思考，确定平面 BCCBCC1 1B B1 1及平面内的一条及平面内的一条直线直线 BCBC1 1，A A1 1B B1 1是平面是平面 BCCBCC1 1B B1 1的垂线，的垂线，A A1 1C C 是斜线，从而找到了反映三垂线定理的基本图是斜线，从而找到了反映三垂线定理的基本图形连结形连结 B B1 1C C，用三垂线定理证明，用三垂线定理证明 A A1 1CBCCBC1 1) )证明略证明略师：把第师：把第(1)(1)小题作为条件证明第小题作为条件证明第(2)(2)小题，只需再证小题，只需再证 A A1 1CBDCBD 就可以了就可以了 学
15、生连结学生连结 ACAC，顺利地证明了，顺利地证明了A A1 1CBD，第CBD，第(2)(2)小题的证明就水到渠成了证明过程小题的证明就水到渠成了证明过程是：是：师：师：在数学证明中，在数学证明中，相同的证明方法可用“同理可证”代替推理过程相同的证明方法可用“同理可证”代替推理过程但必须注意但必须注意推理的严密性例如，上面的证明过程中，要防止漏掉推理的严密性例如，上面的证明过程中，要防止漏掉 BC BC1 1DB=BDB=B( (证明时，有些同证明时，有些同学漏掉了这一点，经教师指导才改正，“同理”的运用也是如此学漏掉了这一点，经教师指导才改正，“同理”的运用也是如此) ) 讲定理的应用时，
16、关键是选好例题这两道题的安排是由易到难，第一道题是直讲定理的应用时，关键是选好例题这两道题的安排是由易到难，第一道题是直接应用定理，接应用定理，第二道题难度增大，第二道题难度增大，要求学生在复杂的图形中通过观察和分析确定反映三要求学生在复杂的图形中通过观察和分析确定反映三垂线定理的基本图形，再应用定理，以培养学生灵活应用定理的能力垂线定理的基本图形，再应用定理，以培养学生灵活应用定理的能力 六、小结六、小结( (师生共同进行师生共同进行) )(1)(1)本节课的教学可概括为四个字：猜、证、剖、用，即猜想平面内的直线与平面本节课的教学可概括为四个字：猜、证、剖、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线
17、垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题(2)(2)叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂直法方法，称为线面垂直法(3)(3)此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关运用定理的步骤此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关运用定理的步骤是：“一定、二找、三证明”是：“一定、二找、三证明”七、课外作业七、课外作业课本习题：略课本习题：略补充题：补充题：写出三垂线定理的逆定理，并加以证明
18、写出三垂线定理的逆定理，并加以证明课后扎记课后扎记学生们反映这样讲定理好，记得牢，理解得深刻不仅学习了知识，而且培养了能学生们反映这样讲定理好，记得牢，理解得深刻不仅学习了知识，而且培养了能力从学生的作业来看，书写规范，推理正确，这反映学生对此定理掌握得好，运用得力从学生的作业来看，书写规范，推理正确，这反映学生对此定理掌握得好，运用得好这类课型是体现教师为主导、学生为主体的教学思想的好形式好这类课型是体现教师为主导、学生为主体的教学思想的好形式 课后扎记是课堂教学的继续，是不教学的教学主要记载来自学生的信息，教师课后扎记是课堂教学的继续，是不教学的教学主要记载来自学生的信息，教师教学中的点滴体会及失败的教训教学中的点滴体会及失败的教训 为改进教学和总结经验提供参考资料，为改进教学和总结经验提供参考资料， 本人长期坚持，本人长期坚持，收到了较好效果收到了较好效果
