《（线性代数）第二章_n维向量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（线性代数）第二章_n维向量（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教学内容和基本要求,第二章 n 维 向 量,第二章 n 维 向 量,二.向量组秩的性质,2.1 n维向量及其运算,二. 线性组合和线性表示,一. 向量组的秩与线性相关性,一. n维向量的线性运算,2.2 向量组的秩与线性相关性,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,2.1 n维向量及其运算,1. n维向量,一. n维向量的线性运算,只有一列的矩阵,几何空间3维向量向n维向量的推广,2. 向量的线性运算,k l = (kai lbi),2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,二. 线性组合和线性表示,1. 给定向量组I: 1, 2, , s , 对于任意一组实数,k1, k2, , k
2、s, 称,k11 + k22 + + kss为I的一个,线性组合,k1, k2, , ks称为组合系数.,2. 线性表示,给定向量组1, 2, , s , 和一个向量,若存在一组实数k1, k2, , ks, 使得, = k11 + k22 + + kss,则称向量 能由向量组1, 2, , s 线性表示.,若k1, k2, , ks, 使得, = k11 + k22 + + kss,称向量能由向量组1, 2, , s线性表示.,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,几何意义:,在平面上, R2能由R2线性表示., = k, /,共线,在空间上, R3能由1,2R3线性表示., = k1
3、1 + k22, 在1,2所在平面上, , 1,2共面,I: 1, 2, , r II: 1, 2, , s,若I组中的每个向量都能由II组中的向量线性表示, 则称向量组I能由向量组II线性表示.,若向量组I能由II线性表示; II能由I线性表示, 则称这两个向量组等价.,3. 给定两个n维向量组,注1：若I与II等价, 则I (或II) 与I, II,注2：若I能由II线性表示，它们的线性表示关系可能不唯一.,第二章 n维向量,设为矩阵ARnr,设为矩阵BRns,注3：若II能由I线性表示，,若I能由II线性表示，则BY=A有解.,等价.,则AX=B有解.,例2. 验证下面两个向量组等价：,
4、故向量组I可由II线性表示.,解：,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,若I能由II线性表示，则BY=A有解.,解(续)：,例2. 验证下面两个向量组等价：,故II可由I线性表示.,所以I与II等价.,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,选取了最简单的一种线性表示关系,若II能由I线性表示，则AX=B有解.,故 可由1, 2, 3 线性表示.,证明：将(2)代入(1)得,说明线性表示关系具有传递性,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,注: 向量组之间的等价关系具有以下三条性质:,反身性: 每个向量组都与它自身等价.,对称性: 若向量组I与II等价, 则II与I等价.,传
5、递性: 若向量组I与II等价, II与III等价, 则I与III等价.,数学中把具有上述三条性质的关系称为 等价关系.,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,若向量组I能由II线性表示; II能由I线性表示, 则称这两个向量组等价.,4. 矩阵相抵与向量组等价, B的行向量组能由 A的行向量组 线性表示, A的行向量组能由 B的行向量组 线性表示,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量, B的列向量组能由 A的列向量组 线性表示, A的列向量组能由 B的列向量组 线性表示,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,注1:,矩阵A与B的行向量组等价, 但列向量组不等价.,矩阵C与B的
6、列向量组等价, 但行向量组不等价.,注2:,2.1 n维向量及其运算,第二章 n维向量,三.向量组秩的性质,2.1-2 向量组的秩和线性相关性,一. 线性组合、线性表示,二. 向量组的秩和线性相关性, 能由1, 2, , s线性表示 Ax = 有解.,向量组的等价关系满足反身性,对称性,传递性.,第二章 n 维 向 量,4. 矩阵相抵与向量组等价,A与B的行(列)向量组等价, 但列(行) 向量组不一定等价.,二. 向量组的秩和线性相关性,1. 向量组1, 2, , sRn的秩:,注1. 矩阵行向量组的秩等于列向量组的秩.,为其对应的矩阵ARns的秩.,如果 r(1, 2, , s) s;,2.
7、 向量组1, 2, , sRn 线性相关:,r(1, 2, , s),如果 r(1, 2, , s) = s;,向量组1, 2, , sRn 线性无关:,linearly dependent,l.d.,linearly independent,l.i.,注2. 0 r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) = 0,1= 2 = = s = 0,1, 2, , sRn 线性相关: r(1, 2, , s) n)个n维向量,线性相关.,r( Ans ),(3) 若s个n维向量线性无关，,第二章 n维向量,(2) , 线性无关,(1) 线性相关, = 0., 与的分量不成比例.,(1)
8、 线性无关 0.,(2) , 线性相关, /, 与的分量成比例., minn,s = n, s,1, 2, , sRn 线性相关: r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) = r(A),1, 2, , sRn 线性无关: r(1, 2, , s) = s,则s n.,2.2 向量组的秩和线性相关性,3. 几个常用的结论,第二章 n维向量,(2) , 线性无关,(1) 线性相关, = 0., 与的分量不成比例.,(1) 线性无关 0.,(2) , 线性相关, /, 与的分量成比例.,1, 2, , sRn 线性相关: r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) = r
9、(A),1, 2, , sRn 线性无关: r(1, 2, , s) = s,(4) , R3线性相关,r(, )3,|, |=0, 一个向量可由另两向量线性表示,共面,线性相关是几何空间中共线、共面的推广.,三.向量组秩的性质,2.1-2 向量组的秩和线性相关性,一. 线性组合、线性表示,二. 向量组的秩和线性相关性, 能由1, 2, , s线性表示 Ax = 有解.,1, 2, , sRn 线性相关: r(1, 2, , s) n)个n维向量,线性相关.,(3) 若s个n维向量线性无关，,则s n.,定理2.1. 若向量组II: 1, 2, , t 可由向量组,I: 1, 2, , s 线
10、性表示, 则 r(II) r(I);,证明：,则 r(B) = r(AX),三.向量组秩的性质,若II能由I线性表示，则AX = B有解.,设B=(1, 2, , t), A=(1, 2, , s)., r(A), r(II) r(I).,推论2.1. 若向量组II: 1, 2, , t 可由向量组,I: 1, 2, , s 线性表示, 且t s, 则 II 线性相关.,证明：,r(II) r(I), s,n, I l.d.,定理2.1. 若向量组II: 1, 2, , t 可由向量组,I: 1, 2, , s 线性表示, 则 r(II) r(I).,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n
11、维向量,三.向量组秩的性质,推论2.1. 若向量组II: 1, 2, , t 可由向量组,I: 1, 2, , s 线性表示, 且t s, 则 II 线性相关.,证明：,则t s;,推论2.2. 若向量组II与I等价, 则r(II) = r(I).,推论2.3. 若II与I等价, 且都线性无关, 则 s = t.,若II可由I线性表示, II线性无关,则 s t;,若I可由II线性表示, I线性无关,例5. 设1,2,3Rn. 1=1+2+3, 2=2+3, 3=3. 证明: 1, 2, 3线性无关1,2,3线性无关.,证明:,3=3, 2= 23, 1=1 2.,I 与II等价.,r(I)
12、= r(II).,I线性无关II线性无关.,2.2 向量组的秩和线性相关性,第二章 n维向量,定理2.1. 若向量组II: 1, 2, , t 可由向量组,I: 1, 2, , s 线性表示, 则 r(II) r(I).,推论2.2. 若向量组II与I等价, 则r(II) = r(I).,证2:,由B=(1,2,3) = (,2,3)P=AP.,r(A) = r(B).,r(A) = 3 r(B) = 3.,I线性无关II线性无关.,其中 可逆.,三.向量组秩的性质,2.1-2 向量组的秩和线性相关性,一. 线性组合、线性表示,二. 向量组的秩和线性相关性,1, 2, , sRn 线性相关: r(1, 2, , s) n)个n维向量线性相关.,定理2.1. 若II可由I线性表示, 则 r(II) r(I).,推论2.1. 若II可由I线性表示且t s, 则 II 线性相关.,推论2.2. 若向量组II与I等价, 则r(II) = r(I).,推论2.3. 若II与I等价, 且都线性无关, 则 s = t.,三.向量组秩的性质,2.1-2 向量组的秩和线性相关性,一. 线性组合、线性表示,二. 向量组的秩和线性相关性,1, 2, , sRn 线性相关: r(1, 2, , s) s,r(1, 2, , s) = r(A),
