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1、二次函数知识点导航：,1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a，b，c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的应用题 8、二次函数的综合运用,1、二次函数的定义,定义： y=ax bx c （ a 、 b 、 c 是常数， a 0 ） 定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式 练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x， y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。,2.当m_时,函数y=(m+1) - 2+1 是二次函数？,2、二次函数的图像及性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向
2、,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0,开口向上,a 0,当-3 x 1时，y 0,开口向下,a0,交点在x轴下方,c0,与x轴有一个交点,b2-4ac=0,与x轴无交点,b2-4ac0,则a+b+c0 当x=1时，y0,则a-b+c0 当x=-1，y0,则a-b+c0 B、a0,c0 D、a0,b0,c0,b0,c=0 B、a0,c=0C、a0,b0,b=0,c0,0 B、a0,c0,b=0,c0 D、a0,b=0,c0,0,B,A,C,o,o,o,练习：,熟练掌握a，b， c，与抛物线图象的关系,(上正、下负）,(左同、右异),c,4.抛物线y=ax2+b
3、x+c(a0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.,=,=,6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a0，b0，c,3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： a+b+c=0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个,D,x,-1,1,0,y,要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。,5、抛物线的平移,左加右减，上加下减,练习 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数
4、y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。 二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。,下,3,右,3,左,1,上,2,练习：（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.,y=x2-5x+6,6二次函数与一元二次方程的关系,一元二次方程根的情况与b-4ac的关系 我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.,二次函数y=axbxc的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程axbxc=0的解。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两
5、个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点,二次函数与一元二次方程,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac,0,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有个交点.,(2)已知抛物线 y=x2 8x +c的顶点在 x轴上,则c=.,
6、1,1,16,(3)一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,（-2、0）（5/3、0）,1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5(3) y=-(x-1)2+
7、5 (4) y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.,7二次函数的综合运用,2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.,分析:,(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0),(2) 新抛物线向右平移5个单位,再向上平移4个单位即得原抛物线,答案:y=-x2+6x-5,(2008年24题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动 （1）求线段OA所在直线
8、的函数解析式； （2）设抛物线顶点M的横坐标为m,用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短； （3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使 QMA的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由,所在直线的函数解析式为,（2）顶点M的横坐标为，且M在线段上移动， （0m2）. 顶点的坐标为(m,2m). 抛物线函数解析式为 当x=2时， （0m2）. P点的坐标是（2， ） PB= = 又0m2， 当m=1时，PB最短.,24 . （丽水2009年）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P,
9、Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.,(1)填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、 高BE的长是 ； (2)探究下列问题： 若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值； 若点P的速度为每秒1个单位 ,2）由题意，得AP=t，AQ=10-2t. 如图1,过点Q作QGAD，垂足为G，由QGBE得 AQGABE, , QG= ( t5) ( t5). 当t= 时，S最大值为6,24. （2010丽水）ABC中，A=B=30，AB= 把ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，ABC可以绕点O作任意角度的旋转 (1) 当点B在第一象限，纵坐标是 时，求点B的横坐标；(2) 如果抛物线 (a0)的对称轴经过点C，请你探究： 当 ， ， 时，A，B两点是否都 在这条抛物线上？并说明理由； 设b=-2am，是否存在这样的m的值， 使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？ 若存在，直接写出m的值；若不存在，请 说明理由,
