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1、第一、二节,第二章,一、矩阵的定义,二、矩阵的运算（-）,三、矩阵表示与线性变换,由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的m行n列的数表:,称为m行n列的矩阵,简称mn矩阵。,一、矩阵的定义:,简记为A=Amn=(aij)mn=(aij)，这mn个元素称 为矩阵A的元素，简称为元。,主对角线,副对角线,例如,是一个24实矩阵,是一个33 复矩阵,(4),分别是一个31、 14、 11矩阵。,（一）矩阵与行列式的区别：1. 行列式：表示数 ；n行n列；n阶；两杠。 2.矩阵：表示数表；m行n列；mn阶；括号。,（二）特殊矩阵1.零阵：,2.行（列）矩阵：,3.负矩阵,4.三角阵（
2、方阵）,上三角阵,下三角阵,5.对角阵、单位阵、数量阵 （均为方阵）,对角阵 （方阵）,单位阵 （方阵）,数量阵 （方阵）,6.对称矩阵、反对称矩阵（方阵）,反对称阵 （方阵） 主对角线元素为零,对称阵 （方阵）,同型矩阵与矩阵相等,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。,例如,为同型矩阵.,2.两个矩阵A=(aij) 与B=B(bij) ，当aij=bij， 1i,jn(对应元素相等!),则称A与B相等。,、矩阵的线性运算 设有两个mn矩阵A=(aij), B=(bij) ，矩阵A与B的和记作A+B，规定为,说明： 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。,二、矩阵的运算,
3、例如,矩阵加法的运算规律:,数乘矩阵的运算规律：,（设A、B为mn 矩阵，、 为数）,矩阵相加与数乘矩阵，统称为矩阵的线性运算。,数与矩阵相乘: 数与矩阵A的乘积记作A,或A，规定为,并把此乘积记作C=AB。,2、矩阵与矩阵相乘,设A=(aij) 是一个ms 矩阵， B=(bij)是一个sn矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积AB是一个矩阵(cij) ，其中,例,故,解,BA的行数与列数分别是4和4，即为4行4列。,矩阵的乘法一般不满足交换律,矩阵的乘法一般不满足消去律.,矩阵乘法的运算规律：,（其中 为数）;,(5)若A是n阶矩阵，则Ak为A的k次幂，即,并且,1.性质,2.方阵的行列式：,（1）性质,（2）定理,注意：,可推广至有限项！,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意：,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,三、矩阵表示与线性变换,1. 线性方程组的矩阵表示,真简洁！,间的关系式,线性变换。,2.线性变换的概念,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.,若线性变换为,称之为恒等变换.,单位阵.,
