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1、第3章 计算机控制系统分析,3.1 离散系统的稳定性分析,一个控制系统稳定，是它能正常工作的前提条件。连续系统的稳定性分析是在S平面进行的，离散系统的稳定性分析是在Z平面进行的。 3.1.1 S平面与Z平面的关系 S平面与Z平面的映射关系，可由 来确定。 设 则有,在Z 平面上，当为某个定值时z=eTs随由-变到的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为z=eTs ，而圆心角是随线性增大的。 当=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平面上的是以原点为圆心的单位圆。 当0时，|z|1，即S平面的右半面映射到Z平面上的是以原点为圆心单位圆的外部。 S平面与Z平面的映射关系如图3.1所示。,S,-1
2、,1,-j,j,Z,j,jIm,Re,0,0,图3.1 S平面与Z平面的映射关系,于是得到下面结论： 1S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。 在S平面上，每变化一个s时，则对应在Z 平面上重复画出一个单位圆，在S平面中-s/2s/2的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多个）。S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称为频率混迭现象，由于实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工作频率都在主频区内。,2S平面的左半面对应于Z平面的单位圆内部。 3S平面的负实轴对应于Z平面的单位圆内正实轴。 4S平面左半面负实轴的无穷远处对应于Z平面单位圆的圆心。 5S平面的右半面对应于Z平面单
3、位圆的外部。 6S平面的原点对应于Z平面正实轴上z=1的点。在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在S平面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平面中的单位圆内时，系统是稳定的。,3.1.2 离散系统输出响应的一般关系式,设离散系统的闭环Z传递函数为：设有n个闭环极点zi互异，mn，输入为单位阶跃函数，则 其中,取Z反变换得：上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。 若离散系统稳定，则当时间k时，输出响应的暂态分量应趋于0，即：这就要求
4、zi1 因此得到结论，离散系统稳定的充分必要条件是：闭环Z传递函数的全部极点应位于Z平面的单位圆内。,例3.1 某离散系统的闭环Z传递函数为 则w(z)的极点为 ： z1=-0.237，z2=-1.556 由于| z2 |=1.5561，故该系统是不稳定的。,3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用,连续系统的Routh稳定性准则不能直接应用到离散系统中，这是因为Routh稳定性准则只能用来判断复变量代数方程的根是否位于S平面的左半面。如果把Z平面再映射到S平面，则采样系统的特征方程又将变成S的超越方程。因此，使用双线性变换，将Z平面变换到W平面，使得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半
5、面。 设 （或 ）则 （或 ）其中z，w均为复变量，即构成W变换，如图3.2所示。,这种变换称为W变换，它将Z特征方程变成W特征方程，这样就可以用Routh准则来判断W特征方程的根是否在W平面的左半面，即系统是否稳定。,例3.2 某离散系统如图3.3所示，试用Routh准则确定使该系统稳定k值范围，设T=0.25s。解：该系统的开环Z传递函数为：,r(t),y(t),T,图3.3 例3.2离散系统,该系统的闭环Z传递函数为：求得该系统的闭环Z特征方程为：对应的W特征方程为：Routh表为 w2 0.158k (2.736-0.158k) w1 1.264 0 w0 (2.736-0.158k)
6、 0 解得使系统稳定的k值范围为0k17.3,显然，当k17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有影响。缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，可以得到k值的范围为0k40.5。但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。,3.2 离散系统的过渡响应分析,一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。
7、一般认为被控变量进入新稳态值附近5%或3%的范围内就可以表明过渡过程已经结束。通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特性)。如果已知线性离散系统在阶跃输入下输出的Z变换Y(z)，那么，对Y(z)进行Z反变换，就可获得动态响应y*(t)。将y*(t)连成光滑曲线，就可得到系统的动态性能指标（即超调量%与过渡过程时间ts），如图3.4所示。,0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T 10T 11T 12T 13T,1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2,y(t),t,ts,图3.4 线性离散系统的单位阶跃响应,首
8、先研究离散系统在单位脉冲信号作用下的瞬态响应，以了解离散系统的动态性能。式中zi与zj分别表示闭环零点和极点。利用部分分式法，可将W(z) 展开成 由此可见，离散系统的时间响应是它各个极点时间响应的线性叠加。,设系统有一个位于zi的单极点，则在单位脉冲作用下，当zi位于Z平面不同位置时，它所对应的脉冲响应序列如图3.5所示。,-1,1,-j,j,jIm,Re,0,图3.5 不同位置的实极点与脉冲响应的关系,(1)极点在单位圆外的正实轴上，对应的暂态响应分量y(kT)单调发散。 (2)极点在单位圆与正实轴的交点，对应的暂态响应y(kT)是等幅的。 (3)极点在单位圆内的正实轴上，对应的暂态响应y
9、(kT)单调衰减。 (4)极点在单位圆内的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的衰减振荡。 (5)极点在单位圆与负实轴的交点，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的等幅振荡。 (6)极点在单位圆外的负实轴上，对应的暂态响应y(kT)是以2T为周期正负交替的发散振荡。,例3.3 某离散系统如图3.6所示，分析该系统的过渡过程。 设系统输入是单位阶跃函数 解： (1)设 K=1，T=1；则,从上述数据可以看出，系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程具有衰减振荡的形式，故系统是稳定的。其超调量约为40%，且峰值出现在第3、4拍之间，约经12个采样周期过渡过程结束，如图3.7
10、曲线a所示。,(2)现将图中的保持器去掉，k=1，T=1；则 由以上数据可知该二阶离散系统仍是稳定的，超调量约为21%，峰值产生在第3拍，调整时间为5拍，如图3.7曲线b所示。可见，无保持器比有保持器的系统的动态性能好。这是因为保持器有滞后作用所致。,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15,1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2,y(t),t,a,b,图3.7 离散系统的响应曲线,(3)现将图中保持器去掉，设K=5，T=1，则由上面数据可以看出，当K=5，T=1时，没有保持器的二阶系统是不稳定的，且是正负交替的发散式振荡较剧烈。,但我们知
11、道，对于二阶的连续系统无论K为何值都是稳定的，而采样控制系统则不然。 以上说明，利用Z变换本身含有时间概念的特点，分析采样控制系统的运动特性是很方便的，且很适用于计算机。,3.3 离散系统的稳态准确度分析,利用Z变换的终值定理方法，求取误差采样的离散系统在采样瞬时的终值误差。设单位负反馈误差离散系统如图3.8所示。其中G(s)为连续部分的传递函数，e(t)为系统连续误差信号，e*(t)为系统采样误差信号，其闭环误差Z传递函数为,如果We(z)的极点（即闭环极点）全部严格位于Z平面的单位圆内，即若离散系统是稳定的，则可用Z变换的终值定理求出采样瞬时的终值误差为上式表明，线性定常离散系统的稳态误差
12、，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关，除此之外，离散系统的稳态误差与采样周期的选取也有关。,在离散系统中，也可以把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数v作为划分离散系统型别的标准，把G(z)中v=0,1,2,的系统，称为0型，型和系统等。 1单位阶跃输人时下稳态误差 对于单位阶跃输入r(t)=1(t)时，则 称为位置放大系数。在单位阶跃函数作用下，0型离散系统在采样瞬时存在位置误差；型或型以上的离散系统，在采样瞬时没有位置误差。,2单位速度输入时的稳态误差 对于单位速度输入r(t)=t 时则 称为速度放大系数。在单位速度函数作用下，0型离散系统在采样瞬时稳态误差无穷大，型离散系统在采样瞬时存在速度误差；型或型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。,3单位加速度输入时的稳态误差 对于单位加速度输入 时则 称为加速度放大系数。0型及型系统Ka=0；型系统的Ka为常值，型及型以上系统Ka=。因而，0型和I型离散系统不能承受单位加速度函数作用，型离散系统在单位加速度信号作用下存在加速度误差，只有型或型以上的离散系统，在采样瞬时不存在稳态误差。,例3.4 对于图3.8所示的离散系统，设 求该系统在三种典型信号的作用下的稳态误差。 解： (1)单位阶跃函数输入时,(2)单位速度函数输入时 (3)单位加速度函数输入时,
