测量误差和数据处理

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1、2018/9/8,建筑环境测量,第2章 测量数据处理及测量误差分析,建筑环境测量 主讲：蔡伟,主要内容,2.1 随机误差 2.2 数据处理的基本原理与基本概念 2.3 直接测量值的处理 2.4 间接测量值的处理 2.5 误差分析在数据处理中的应用举例 2.6 系统误差分析,建筑环境测量 主讲：蔡伟,难点与重点,正态分布的标准差、近似标准差 直接测量的数学表达式 误差的合成 间接测量误差的传递 最小二乘法,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.1 随机误差,单次测量随机误 差没有规律。 但当测量次数足 够多时，则服从正 态分布规律，随机 误差的特点为对称 性、有界性、单峰 性、抵偿性。,建筑环境测量 主

2、讲：蔡伟,存在的问题?,测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少 难以确定，那么从测量值如何得到真实值呢？例如，室温的测量结果分别为19.2， 19.3, 19.0, 19.0,22.3,19.5，那么室 温究竟是多少呢？,x=A，置信概率为p x的真值落在A-，A+区间内的概率为p A和如何确定呢？,建筑环境测量 主讲：蔡伟,数学期望和标准差,1数学期望对被测量x进行等精度n次测量，得到n个测量值x1、x2、x3、xn，则n个测得值的算术平均值为：,建筑环境测量 主讲：蔡伟,当测量次数 时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。,当测量次数 时，测量值的数学期望等于被测量的真值。,?,数学期

3、望,建筑环境测量 主讲：蔡伟,根据随机误差的抵偿特性， 当,分析：,数学期望,时,即,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.1.2 剩余误差（残差）,当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。,数学表达式：,对上式两边求和得：,所以可得剩余误差得代数和为0。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,标准差（标准误差，均方根误差）对方差开平方,反映了测量的精密度，小表示精密度高，测得值集中，大，表示精密度底，测得值分散。,2.1.3 方差与标准差,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.1.4 误差正态分布规律,1、正态分布 高斯于1809年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。,随机误差,标准误差,曲线下

4、面的面积对应误差在不同区间出现的概率。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,例如：,建筑环境测量 主讲：蔡伟,绝对值越小， 愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。 大小相等符号相反的误差出现的概率相等。,分析得到,建筑环境测量 主讲：蔡伟,愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈大，正态分布曲线愈平缓。说明反映了测量的精密度。,=1=2,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2 极限误差,从上式可见，随机误差绝对值大于3的概 率很小，只有0.3%，出现的可能性很小。 因此定义极限误差：,建筑环境测量 主讲：蔡伟,随机误差的特点,单峰性 误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越大，出现密度越小 对称性 绝对值相同，符号相反的误

5、差出现的概率相等 抵偿性 测量次数n时，误差总和为零 有界性 误差落-3, 3的概率为0.9973 3也称为极限误差或者误差限,建筑环境测量 主讲：蔡伟,经实测得 到n组数据（xi , yi），i=1, n。见 图。令 该直线方程 为y=ax+b，进而利用数据来求参 数a和b。由于该直线只近似满足的关系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望,min,对a和b的偏导数均 为0，解得：,2.2 数据处理,建筑环境测量 主讲：蔡伟,多项式拟合（可编程）,此时 称为数据拟合多项式，上述拟合称为多项式拟合。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,多项式形式的确定,注：最小二乘问题中，如何选择数学模型

6、很重要，即如何选取函数空间 ，通常根据物理意义，或所给数据分布情况来选取合适的数学模型。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,可得方程,解得,所以此数据组的二次最小二乘拟合多项式为,注：(1) 若题目中没有给出各点的权值 pi ，默认为pi = 1。(2) 该方法不适合 n 较大时的情形。（病态问题）,例1 二次多项式,建筑环境测量 主讲：蔡伟,例2 举重成绩的比较,建筑环境测量 主讲：蔡伟,模型1（线性模型）,建筑环境测量 主讲：蔡伟,模型2（幂函数模型）,建筑环境测量 主讲：蔡伟,模型3（经典模型）,(1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截面积A，即Y=k1A (2)A正比于身高 L的平方，即 A=k

7、2L2 (3)体重正比于身高 L三次方， 即B=k3L3,根据上述假设，得,K越大成绩越好，可用 来比较选手成绩的优劣。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,模型4（O Carroll公式）,(1) Y=k1Aa, a1 (2) A=k2Lb, b2 (3) B-Bo =k3L3,假设(1)、(2)是解剖学中的统计规律，在假设 （3）中将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。,故有：,根据三条假设得L=k(B-B0),k和为两个常数，,根据统计结果，得出B035公斤，,建筑环境测量 主讲：蔡伟,模型5（Vorobyev公式）,建筑环境测量 主讲：蔡伟,各公式对各级别成绩优劣排序,建筑环境测

8、量 主讲：蔡伟,例3 体重与身高的关系,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.3 直接测量值的处理,采用残差代替随机误差 （2）有限次测量标准误差的最佳估计值（近似标准误差）,（1）标准差（标准误差，均方根误差）,贝塞尔公式,建筑环境测量 主讲：蔡伟,（3）算术平均值的标准差,（4）平均值标准误差的最佳估计值（最优概值的标准误差）,最佳估计值,建筑环境测量 主讲：蔡伟,有限次测量下测量结果表达式1）列出测量数据表；,2）计算算术平均值 、 、 ；,3）计算 和 ；,置信概率0.9973,置信概率0.9545,置信概率0.6827,4）给出最终测量结果表达式：,建筑环境测量 主讲：蔡伟,建筑环境测量 主

9、讲：蔡伟,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.4 间接测量值的处理,研究函数误差一般有以下三个内容： 已知函数关系及各个测量值的误差，求函数即间接测量的误差。 已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。 确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,间接测量的误差传递,假设间接测量的数学表达式为：,将上式按泰勒级数展开,直接测量值,间接测量值,建筑环境测量 主讲：蔡伟,略去高阶项 绝对误差：,相对误差：,间接测量的误差传递,建筑环境测量 主讲：蔡伟,1、和差函数的误差传递 设 ，则绝对误差,若误差符号不确定:,相对误差：,常见函数的误差传递,建筑环境测量 主讲：蔡伟,设

10、，则绝对误差,若误差符号不确定：,相对误差：,积函数误差传递,建筑环境测量 主讲：蔡伟,已知：R1=1k，R2=2 k，求,解：,结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差保持不变。,例 题,建筑环境测量 主讲：蔡伟,温度表量程为100 精度为1级，t1=65，t2=60 试计算温差的相对误差。,解1： ,例 题,建筑环境测量 主讲：蔡伟,设 ，则绝对误差,相对误差:,若误差符号不确定：,商函数误差传递,建筑环境测量 主讲：蔡伟,幂函数的误差传递,设 ，则绝对误差,相对误差 :,若误差符号不确定：,建筑环境测量 主讲：蔡伟,已知 ， ，求 。,解：,例 题,建筑环境测量 主讲：蔡伟,已知各

11、个直接测量的标准误差 ，,部分误差,间接测量的误差分配,建筑环境测量 主讲：蔡伟,相对误差,建筑环境测量 主讲：蔡伟,解决误差分配问题。通常采取的方法为 等作用原则， 调整原则。 等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等D1=D2=Dn,按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因:在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价 而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。,间接测量的误差分配,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.5 测量误差数据处理,2.5.1 有效数字的处理 1 有效数字：从第1个不为0数字到最后数字(包括0） 2 舍入原则：四舍六入，等于5时采取偶数法则。12

12、.5写作12；13.5写作14 有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差项为基准。 加减法运算以小数点后位数最少的为准。 乘除法运算以有效数字位数最少的数为准。 乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.5 等精度测量结果的处理,处理步骤 1）利用修正值等方法对测得值进行修正；将数据列成表格。,3）列出残差： ，并验证,2）求算术平均值：,4）计算标准偏差：,建筑环境测量 主讲：蔡伟,5）按照 原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到2从新计算，直到没有坏值为止。,6）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差, 若有应查明原因，消除后

13、从新测量。,7）求算术平均值的标准偏差：,8）写出最终结果表达式。,等精度测量结果的处理,建筑环境测量 主讲：蔡伟,散热器装置 ，设计工况L=50 L/h 进出口温差 。,按照题意，误差应写成极限误差的形式。,分析：直接测量为流量L，散热器进出口温度t1、t2。间接测量为热量Q。要求测量误差小于等于10%。,例 题,建筑环境测量 主讲：蔡伟,按照等作用原则，可得流量及温差的部分误差分别为7.1%。 再根据实际情况选择调整。,例 题,建筑环境测量 主讲：蔡伟,例题,使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了 16次等精度测量，测量结果列于表中。该温度 计的检定书上指出该温度计具有0.05的恒定 系

14、统误差。请写出最后的测量结果。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,解 答,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.6 系统误差分析,系统误差的特性 不具备补偿性 寻找麻烦 处理困难,建筑环境测量 主讲：蔡伟,系统误差的判断,1理论分析法 定性分析发现方法或原理引入的系统误差。 2校准和比对法 高级别仪器定期校准或检定并给出修正值 多台同型号仪器无法发现理论误差 3改变测量条件法 根据在不同的测量条件下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。 4剩余误差观察法 根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律判断有无系统误差及误差类型，该方法不能发现定值系统误差,建筑环境测量 主讲：蔡伟,剩余误差的判断,N(t),A,x

15、,N(t),A,x,N(t),A,x,累进系统误差,恒定系统误差,周期性系统误差,分类 恒定系统误差 变化系统误差,建筑环境测量 主讲：蔡伟,消除系统误差的根源,要减少系统误差要注意以下几个方面。 采用的测量方法及原理正确。 仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。 测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，正规使用。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。 条件许可时尽量采用数显仪器。 提高操作人员的操作水平及技能。,建筑环境测量 主讲：蔡伟,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2.6.5 削弱系统误差的方法,1零示法:,建筑环境测量 主讲：蔡伟,2 替代法（置换法）在测量条件不变的情况 下，用一标准已知量替代待 测量，通过调整标准量使仪 器示值不变，于是标准量的 值等于被测量。这两种方法主要用来消除定 值系统误差。,