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1、波动 (Wave)1. 行波 (Traveling Wave)一定扰动的传播称为波动，简称波。例如， 机械波：机械扰动在介质中的传播。声波、超声波、水波、地震波等。 电磁波：变化电场和变化磁场在空间的传播。无线电波、光波、X 射线、 射线等。扰动的传播叫行波。例如脉冲波、简谐波。注意 这里是扰动在传播，介质并没有沿传播方向迁移。横波：质元运动方向 波的传播方向 纵波：质元运动方向 / 波的传播方向(Transverse and longitudinal waves)q 数学描述：取行波的传播方向为 x 轴，当波经过原点时，起 初处于原点的质元发生位移 y0，它与时间 t 的函数关 系为 y0
2、= f (t)。设波沿 +x 方向传播, 坐标为 x 的点在 t 时刻的位 移 y 与原点在 t x/u 时刻的位移相同，即它可以表示任意位置的质元在任意时刻的位移，称为 波函数。（沿 +x 传播）（沿 x 传播）如果波沿 x 方向传播，则波函数为2. 简谐波 (Simple Harmonic Wave)简谐振动的传播叫做简谐波，它是最简单的波。设原点振动函数为 ，则沿 +x 方 向传播的简谐波的波函数 (wave function) 为沿 x 方向传播的简谐波的波函数为其中 A, , u 分别为简谐波的振幅、角频率和传播速 度 (相速度，或波速)。(amplitude, angular fr
3、equency)可理解为 x 点振动相位比 原点振动相位落后 x / u可理解为 x 点振动相位比 原点振动相位超前 x / u讨论1. 波函数变形形式：其中，表征时间周期性的量有周期 频率表征空间周期性的量有波长 波数Period FrequencyWavelength Wave Number2. 在空间某位置 x = x1，有它表示 x = x1 处的振动函数，其中 为初相。3. 在某时刻 t = t1，有它表示 t = t1 时刻的波形。 yxOt1t2x = u(t2 - t1)4. 质元运动速度与 u 无直接关系。质元运动加速度5. 如果在 x = x1 点处有一个简谐波源，其振动函
4、数为则该波源引起的简谐波的波函数为源疏密疏密q 半波损失 (Half-wave Loss)：当波由波疏介质向波密介质垂直入射时，界面的 反射波不是入射波的反向延伸，而有 的相位突变， 也就是半个波长的损失，这种现象称为半波损失。用 u 表示介质对波的 疏密程度, 其中 是介质的 密度, u 是波在介质中的传 播速度。u 小表示波疏介质，u 大表示波密介质。对于 光波, 折射率 n 小的为光疏 介质，n 大的为光密介质。反射波有半波损失反射波无半波损失惠更斯原理与波的反射和折射(Reflection and Refraction) 一、波线和波面 (wave line and surface)：
5、波传播方向的直线形象地称为波线。 波传播过程中相位相同的点组成的平面叫波面。 波传播时最前面的波面称为波阵面或波前。 一般情况下，波线垂直于波面。 波面是平面的波叫做平面波。u波面波线 S1S2根据能流密度的定义，如果介质 不吸收能量，则 I1S1T = I2S2T，所以 A1 = A2 ，即在均匀的不吸收 能量的介质中传播的平面波的振幅保持不变。波面是球面的波叫做球面波。OS1S2r1 r2波面波 线从波源 O 发出的球面波沿半径方向 传播，无吸收介质中，一定时间内 通过 S1 和 S2 面的能量相等，即 A1r1 = A2 r2 ， 球面波振幅与到点波源的距离成正比。球面简谐波的波函数为实
6、际的波由于介质的吸收等原因，其强度及振幅 都要沿传播方向逐渐减小。二、惠更斯原理：惠更斯原理是有关波的传播方向的规律：波阵面上的各点都可以看作是发 射子波的波源，其后任一时刻的波阵 面就是这些子波的包迹 (包络面)。平面波在某一时刻的波前是平面， 在下一时刻的波前仍是平面。新 的 波 前球面波在某 一时刻的波前是 球面，在下一时 刻的波前仍是球 面。新 的 波 前三、利用惠更斯原理解释波传播的一些现象：1. 衍射：波遇到障碍物而改变传播方向。障碍物2. 波的反射定律：入射角等于反射角，i = i / 。ABCDii/i/i3. 波的折射定律：ABCiu1rrDiu2n1n2两式相除，得n21
7、称为第二种介质相 对于第一种介质的相对折射率。n1, n2 为绝对折射率。90o12 全反射以 90o 入射角从介质 1 向界面 入射，折射角 为全反射的临界角介质 2 中大于 的入射波有全反射。2.6 波的干涉 (Interference) 一、波的叠加原理：波在传播过程中相遇，各自独立，互不干扰（振 幅、频率、波长、振动方向、传播方向都不变）。任 一点的位移, 为各个波单独在该点产生的位移的合成。 这个规律叫做波的叠加原理或波的独立传播原理。满足条件的波为较弱波和经典波。 二、波的干涉： 1. 现象：波相遇时，空间上周期性地出现加强或减弱的现象，而且图案不随时间而改变。2. 条件 (相干条
8、件)：频率相同、相位差恒定、振动方向相同；振幅相差不大。相应的波叫相干波。无振动振动最强振动最强无振动无振动振动最强振动最强3. 规律：两列平面简谐波在某点引起振动，r1, r2 为各自振源到该点的距离根据同频同向简谐振动的合成规律，仍得简谐振动当 = 2k 时，A = A1 + A2，振动互相加强；当 = (2k+1) 时，A = | A1 A2| ，振动互相减弱。若 1 = 2 , 则波程差加强减弱例 S1, S2 为两相干波源，坐标如图，它们在 x1 = 9cm,x2 = 12cm 处产生相邻的干涉极小，求波长，以及波源 的最小正相位差。O9 1230xS1x1x2S2解：设波源 S1,
9、 S2 振动函数分别为则它们发出两列波的波函数为由 x1 点干涉极小得由 x2 点干涉极小得两式相减得波长而波源的相位差为最小为 2.7 驻波 (Standing Wave)同一介质中两列频率、振动方向、振幅都相同的 简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时形成驻波。相加得驻波表达式 x = 0, y = 2Acost x = /6, y = Acost x = /4, y = 0 x = /3, y = Acost = Acos(t+) x = /2, y = 2Acost = 2Acos(t+) y 2A2AOx波节 4波腹2. 由驻波表达式 得波腹波节所以相邻两波腹 (或相邻两波节) 之间的
10、距离为 /2 。讨论1. 驻波振幅随 x 周期性变化，同波腹内质元振动同相，相邻波腹内的质元反相。3. 驻波的平均能流密度为零。 4. 利用驻波可测波长：利用入射波和反射波叠加成驻波，相邻波腹 (或波节) 距离为半个波长。xOxL5. 设入射波波函数为则由波密介质向波疏介质入射的反射波波函数为驻波两种情况反射面 L 处分别为波腹和波节。若由波疏介质向波密介质入射，反射波波函数为(半波损失)2.8 多普勒效应 (Doppler Effect)火车鸣响音调变化：当其驶近时，音调变高；当 其驶离时，音调变低。接收器接收到的频率依赖于波源或观察者运动的现象叫多普勒效应。一、声多普勒效应： 介质：不动，
11、波在介质中的传播速度为 u 。 波源 (Source)：发射频率为 vS 的波。相对于介质的运动速度为 vS，当波源靠近观察者时 vS 0，反之 vS 0，反之 vR 0。假设 u, vS, vR 在一条直线上：uvSvRSRuvSvRSR1. vS = 0, vR = 0, 单位时间通过观察者的完整波的个数u vR2. vS = 0, vR 0, vRvRvR单位时间观察 者多接收了一些完整波/3. vS 0, vR = 0, 观察者接收 到的球面波是非同心的， 某一时刻的波形如图。观 察者接收到的波的波长变 为 vS ，所以vSvS4. vS 0, vR 0, 两种机制同时存在，vSvR蝙
12、蝠和一些鸟类利用超声波的多普勒效应确定昆 虫的距离和飞行速度，所以能在黑暗中捕食昆虫。海豹、海豚也能利用声多普勒效应捕食或与同类联系。鲸、例1 一警笛发射频率为 1500Hz 的声波，并以 22m/s 的 速度向某方向运动，一人以 6m/s 的速度跟踪其后，求 他听到警笛发出声音的频率，以及在警笛后方空气中 声波的波长。空气中声速为 330m/s。解： 所以人听到声波的频率警笛后方空气中声波波长即相对于空气静止的观察者 听到的声波频率所以空气中声波波长例2 (习题2.27) 一停在海面上的驱逐舰的声纳向一驶 进的潜艇发射 1.8104Hz 的超声波。 的超声波的频率和发射的相差 220Hz，求
13、潜艇速度。 海水中声速为 1.54103m/s。由潜艇反射回来解：设潜艇以速度 向海面移动，驱逐舰发射频率为 vS 的超声波，波速为 u，则潜艇接收到的波的频率为潜艇把这个频率的波发射出去，驱逐舰接收到的波的频率为二、光多普勒效应：光的传播不必需介质；对任何惯性系，光在真空 中的传播速度相同。所以 “光源向观察者运动” 和 “观 察者向光源运动” 是等价的， 因此光多普勒效应决定 于光源和观察者的相对速度。SR设光源 S 在真空中相对于观 察者 R 以速度 运动， 与 夹角 ，则其中 c 为真空光速。1. 时，为纵向光多普勒效应。2. 时，为横向光多普勒效应。注意横向没有声多普勒效应。应用1.
14、 雷达发射电磁波，比较反射波与发射波的频率，通过光多普勒效应测量飞机和卫星的速度和距离。3. 将地外星球光谱与地球上相同元素的光谱比较，发现星球光谱几乎都发生 “红移” (频率变小)，说明星体都远离地球向四面飞去，这被认为是 “ 宇宙大爆炸” 理论的重要证据。4. 彗星向地球袭来时，其光谱发生 “蓝移”。2. 用基于光多普勒效应的激光流速仪测量流体的流速和血流速度。小 结1. 行波： x 方向波函数u 为波速波形曲线振动曲线2. 简谐波： x 方向波函数周期 频率 波长 波数3. 半波损失：当波由波疏介质向波密介质垂直入射时，界面的反射波有 的相位突变，即半个波长的损失。4. 波动方程：固体中
15、纵波波速横波波速液体气体纵波波速平均能量密度平均能流密度 (波的强度)5. 简谐波的能量：6. 惠更斯原理：介质中波阵面上各点都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻的波阵面就是这些子波的包迹 (包络面)。7. 波的干涉：波相遇时，空间上周期性地出现加强或减弱的现象。相干条件：频率相同、相位差恒定、振动方向相同； 振幅相差不大。相应的波叫相干波。8. 驻波：两列频率、振动方向、振幅都相同的简谐波在同一直线上沿相反方向传播时形成驻波。它是稳定的分段振动，有波节和波腹。9. 多普勒效应：接收器接收到的频率依赖于波源 (S) 和接收器 (R) 的运动。机械波多普勒效应：光多普勒效应：光源 S 在真空中相对于观察者 R 以 速度 运动， 与 夹角 ，真空光速为 c，则
