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1、 2.7 MATLAB中数学模型的表示与线性微分方程求解 2.7.1 MATLAB中数学模型的表示 1.传递函数的表示 单输入单输出线性控制系统的传递函数为 其中：ai ,bi 是常系数， nm ，因果系统的G(s)是关于 复变量 s 的真有理分式. 特征方程：D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an=0 特征多项式：D(s)=a0sn+a1sn1+an1s+an1在MATLAB中，传递函数可由其分子和分母多项式唯一确定。 表示方法1： 格式为: num =b0,b1,b2,bm；numerator,分子多项式den =a0,a1,a2,an； denominator,分母多项式 sys
2、= tf (num,den) 列传递函数表达式例1: 希望表示：输入： num=1,2,3; den=4,5,6; sys=tf(num,den)输出： Transfer function:s2 + 2 s + 3-4 s2 + 5 s + 62表示方法2：对于下列形式表达式输入： num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6); den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4); G=tf(num,den) Transfer function: 32. 传递函数的特征根 1.多项式求根函数MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用 格式为: root
3、s(p)(其中p为多项式) 例: p=1,3,0,4; % p(s)=s3+3s2+4r=roots(p) % p(s)=0的根r=-3.35330.1777+1.0773i0.1777-1.0773i 42. 由已知特征多项式的特征根, 求按降幂排列的 多项式各项系数: poly( )函数例: 已知特征多项式的特征根r = -3.35330.1777+1.0773i0.1777-1.0773i则: poly(r)p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000即对应于: p(s)=s3+3s2+45p,z= pzmap(num,den)其中, p 传递函数G(s)的极点z 传递
4、函数G(s)的零点3. 画传递函数在复平面上的零、极点图采用 pzmap() 函数可自动画出系统传递函数的零、极点图。在零极点图上,零点用“。” 表示, 极点用“”表示。 函数调用格式为：6例: 已知传递函数：要求用MATLAB求：(1) G(s)的零极点; (2) H(s)的多项式形式; (3) G(s)、H(s)的零极点图 7(1) 求 G(s) 的零、极点 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1; z=roots(numg)z=0+0.4082i00.4082i %G(s)的零点p=roots(deng)p=1.0000+0.0000i1.0000+0.0000i %G(s)的
5、极点1.0000+0.0000i8(2) 求H(s)的多项式形式 n1=1,1; n2=1,2; d1=1,2*i; d2=1,-2*i; d3=1,3;numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3); printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表达式(3) pzmap(num,den) %零极点图 title(pole-zero Map) 9零极点图如图所示 ：104. 模型形式转换传递函数可以是多项式比的形式, 也可以是零 、极点形式。MATLAB控制系统工具箱提供了零 、极点模型与多项式比模型之间的转换函数,其调 用格式分别为
6、 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k) 第一个函数将传递函数多项式比形式转换成零极点表示形式。 第二个函数将零极点表示形式转换成多项式比形式。 11例： G(s)= 用MATLAB语句表示： num =12 24 12 20; den =2 4 6 2 2;z,p,k= tf2zp(num,den)z= 1.9294 0.03530.9287i0.03530.9287i 12p=0.95671.2272i 0.95671.2272i 0.04330.6412i 0.04330.6412ik=6即变换后的零极点模型为： G(s)= 13可以验证MA
7、TLAB的转换函数,调用zp2tf()函 数将零极点形式还原为多项式比模型。 num,den=zp2tf(z,p,k)num = 0 6.0000 12.0000 6.0000 10.0000den = 1.0000 2.0000 3.0000 1.0000 1.0000 即：14MATLAB提供了residue()函数，可用于部分分式展开：调用格式为：r,p,k=residue(num,den)其中，r, p 分别为各部分分式的留数和极点，k为整数项。例1. 已知传递函数为：求其部分分式展开式。2.7.2 用MATLAB求多项式的部分分式展开解线性常微分方程的一种方法15解：输入以下MATL
8、AB命令 num=2 1 6 10 24; den=1 10 35 50 24; r,p,k=residue(num,den)运行结果：r = - 88.000091.5000-26.00003.5000p = - 4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k = 2对应的部分分式表示为：16例2. 已知传递函数为： 求该系统的单位阶跃响应。 解：由于 R(s) = 1/s则：C(s) = R(s) G（s）（部分分式表示）17n用MATLAB对C(S)式作部分分式展开 num=2 1 6 10 24; den=1 10 35 50 24 0; r,p,k=residue(num,
9、den) 运行结果：r = 22.0000-30.500013.0000-3.50001.0000p = - 4.0000-3.0000-2.0000-1.00000.0000k = 0.0000（部分分式表示）18n对C(s)式求逆拉氏变换，得该系统的单位阶跃响： 系统传递函数的极点位置决定系统暂态响应的响应模式。(t0)1920第3章 自动控制系统的时域分析时域分析法是以系统的微分方程为数学模型,直接求系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。时间响应包括瞬态响应（暂态响应）和稳态响应，时域分析也涉及到系统的稳定性问题。21
10、3.1 时域分析基础3.1.1 时域分析法的特点 时域分析法是一种直接的、基本的分析方法，具 有直观和准确的优点。 时域分析可以提供系统时间响应的全部信息，包 括瞬态响应（暂态响应）和稳态响应，时域分析 也涉及到系统的稳定性问题。 控制系统的基本性能指标是在时域定义的。223.1.2 典型初始状态，典型外作用典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，系统响应（被控量） 及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处 于相对平衡状态。23典型外作用（典型输入信号）为了评价不同系统的响应特性，需要给系统加入 一 些标准的（典型的）测试信号。通过分析控制系 统对这些信号
11、的响应，便于直观地评价系统的快速性 、准确性和稳定性。 典型输入信号主要有单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、单位脉冲（冲击）函数、正弦 函数。241阶跃信号( Step Function ) 数学表达式：拉氏变换： 当 R0 =1 时，称为单位阶跃函数:1(t) r(t)t0R0阶跃信号 r(t)=0t0R0t0R(s)=SR0252斜坡信号 ( Ramp Function ) 数学表达式：拉氏变换：斜坡信号 当V0=1 时，称为单位斜坡函数。 r(t)t01V0r(t)=0t0V0tt0R(s)=S2V0特点：斜坡信号的一阶导数为常数，故称恒速信号。26抛物线信号 3抛物线信号 数
12、学表达式：拉氏变换：当A0=1 时，称为单位抛物线函数。 r(t)t0A0/21R(s)=S3A0t2A01 2r(t)=0t0t0特点：抛物线信号的二阶导数为常数，故称恒加速信号。274. 冲激函数 (Impulse Function)数学表达式：(t)r(t)t0(t)=0t0t=0拉氏变换： R(s)=1 (t)dt=1-+特点：285正弦信号数学表达式：拉氏变换：r(t)=0t0Asintt0R(s)=A S2 +2t0r(t)29几种典型信号及响应之间的关系冲激信号、阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号之间存在：互为积分（或导数）关系，因此系统对它们的零状态响应也存在相应的积分（或导数）关
13、系。303.1.3 控制系统的时域性能指标阶跃响应性能指标由于阶跃相应能够方便、全面地反映系统的时域响应性能差异，因此控制系统的时域性能指标是在阶跃响应的基础上定义的。31 控制系统的时域性能指标，可分为动态（暂态）性能指标和稳态性能指标两部分。 稳态性能指标 表征系统输出复现输入的程度（或：暂态消失之后输出跟踪输入变化的程度），用于描 述系统的稳态精度。 动态（暂态）性能指标 表征系统输出在各个瞬时偏离输入的程度以及相关时间间隔的信息，用于描 述系统的暂态性能。3233 动态（暂态）性能指标： （1）延迟时间 td ：输出响应第一次达到稳态值50的时间.（3）峰值时间tp ：输出响应超过稳态
14、值c（），达到第一个峰值的时间。（2）上升时间tr ：输出响应第一次达到稳态值 c（）的时间. 当响应为无超调时，上升时间指响应从稳态值的10到 90所经历的时间。 34（5）最大超调量（简称超调量）：输出响应的最大值 Cmax 超过稳态值C(）的部分占稳态值 C(）的百分数，即（4）调节时间ts ：输出响应与稳态值间的偏差开始达到允许范围并维持在 此范围内所需的时间。 通常该偏差范围叫作允许误差带，一般取稳态值 c（） 的 2 或 5，用符号 表示为： =2 或 =535时间tr上 升峰值时间tpAB超调量% =A B100%调节时间ts性能指标定义36上升时间tr调节时间 ts性能指标定义
15、237 稳态性能指标 稳态误差ess：指响应的稳态值与期望值之差。对于稳定的反馈控制系统，当t时，系统响应的实际值与期望值（即输入量）之差，定义为稳 态误差。它反映系统复现输入信号的精度(稳态精度或跟踪精度)。一般以超调量、调节时间ts和稳态误差ess 作为评价系统响应的主要性能指标。(分别评价：平 稳性、快速性、稳态精度)383.2 一阶统的阶跃响应定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。3.2.1 一阶系统的数学模型39 一阶系统数学模型 (典型模式)微分方程：动态结构图：传递函数：403.2.2 一阶系统单位阶跃响应输入 ： 输出 ：41单位阶跃响应曲线初始斜率：42性能指标1. 平稳性：2. 快速性 ts：3. 准确性 ess：非周期、无振荡、
