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1、第七章 线性离散控制系统采样控制系统X(t)e*(t)X*(t)G(s)H(s)-b*(t)T b(t)y(t)T结构图： 有一处或几处 的信号是时间 的离散函数。简化 简化后 X(t)e*(t)G(s)H(s)-b(t)Ty(t)e(t)离散系统举例：1.直接数字控制系统(DDC-Direct Digital Control）数字 计算机执行器过程模/数 转换器测量 传感器数/模 转换器输入模拟量输出模拟量数字量数字量2. 计算机监督控制系统(SCCSurveillance Computer Control System)计算机模数转换数模转换输入输出模拟控制器传感器被控过程执行器3. 集散
2、控制系统 (TDCTotal and Distributed Control) MISSCCSCCSCCDDCDDCDDCDDC被控过程被控过程MISMISSCC集中调度控制中心 子调度控制中心 .DDC系统x(t)e*(t)m*(t)y(t)b(t)DG0(s)H(s)TT简化后数字计算机x(t)数模A/D DD/AG0(s)x*(t)e*(t)m*(t)m(t)y(t)H(s)A/D数模b*(t)数字部分连续部分7.1 采样过程的数学描述 一、采样过程 采样器：完成采样功能的装置。采样开关经一定时间T 重复闭合，每次 闭合时间为 ，且 T 长除法例 2 部分分式法例 Az+p11X(z)
3、z=Az+p22+ （3）逐项求Z反变换 展成部分分式和X(z) z（1）将（2）将等号两边各项同时乘以复变量 z求X(z)= 的反变换，其中e-aT =0.5 1 1-e z-aT -1 解 用长除法将X(z)展开为无穷级数形式 )LL0.1251250.-250.0.250.250.5 0.1250.25 332221321-+zzzzzz10.5 -z0.5111-z10.5 -0.511-zzzz返回0.5L0.1250.25321-+zzzX(z)=1所以例求 的Z反变换 2)1)(10)(-=zzzzX解 首先将 展开成下列部分分式zzX)(210 110- 2)1)(10)( -
4、+-=-=zzzzzzX得 210 110-)(-+-=zz zzzX由表查得 k- zz zz221,111=-=-ZZ因此 x(kT )=10(-1+2k ) k =0，1，2，=-+=0)()2(-110)(kkkTttxd*返回例求 的Z反变换 21)2)()(-= zzzzXL0,1,2, 122)(11 211)(221)(1)2)(dd 1)!-(212)(1)2)(1)2)(res)(解2212 2221 2=-=-+-=-+-=-=-kkkzzzz zzzzzzzzzkTxkkzkzk k=-=0)(1)(2)(kkkTtktxd*或 返回例7.3 采样系统的数学模型 一、差
5、分方程 反映离散系统输入-输出序列之间的 运算关系一阶惯性环节 x(t)K T s+1 1y(t)其微分方程为：ab一阶线性常系数差分方程x(t) K T s+1 1TT递推法：差分方程的求解令k=0，求令k=1，求 用Z变换解差分方程例7-13 设系统有如下差分方程已知：输入：求系统响应解：根据超前定理和求z反变换（k =2，3，）设离散系统的差分方程为 y(k)+3y(k -1)+2y(k -2)=x(k -2) 式中 = 0 00 1)( 0,(0)(-1)kkkxyy 求系统的响应y(k) 解 对差分方程取Z变换(1+3z-1+2z-2)Y(z)=X(z)z-2)(+-+=+= 212
6、31)(1-2zz zzzzZ zY查表，并应用延迟定理，得 y(k)=(-1)k -1-(-2)k -1 k =1，2，3，Y(z)= X(z)1 z +3z+22整理，得X(z)=1，因此7-14二、脉冲传递函数（Z传递函数） x(t)G(s)y(t)1. 如一个单位脉冲加在线性环节上0t 0t单位脉冲响应记为2. 如一串脉冲依次加到线性环节上x(t)G(s)y(t)x*(t)y(t)0tx*(t)t0y(t)=x(0)g(t)+x(T)g(t-T)+x(kT)g(t-kT)所以在采样时刻由z变换定义设 k-i=n脉冲传递函数X(Z)G(Z)Y(Z)在Z域：用Z变换分析采样系统时，系统传递
7、函数 G(s)的极点数目必须比零点数目多两个以上 ，这样在t=0时，系统的脉冲响应没有跃变。注意：说明：所求的z传递函数，是取系统输出的脉冲 序列作为输出量。x*(t)x(t)Y (t)Y(z)G(s)TTY*(t)X(s)Y(s)G(s)表示的是线性环节本身的传递函数， 而G(z)表示的是线性环节与采样开关组合 体的传递函数。已知 ，求Z传递函数G(z) 10)(10)(+=sssG解：将G(s)分解成部分分式 1011)(+-= sssG逐项求Z变换，得-)1)() (11)(101010TT TezzezezzzzzG- = - -=例7-15系统如图：T=1s, a=0.693, Xr
8、(t)=1(t)， 求脉冲传函和输出响应 解: (1)(2) Xr(t)的Z变换为例7-16输出函数的Z变换为：求Z反变换：阶跃响应序列：(a)输入脉冲序列(c)阶跃响应三、开环系统的Z 传递函数 (1) 串联环节之间无采样器Y(z) X(z)=ZG (s)G (s)=G G (z)1212x(t)x*(t)TG (s)1G (s)2y (t)1y(t)y*(t)x(t)x*(t) TG (s)G (s)1y(t)y*(t)2 串联环节之间无采样开关时，总开环脉冲 传函等于各环节传递函数之积的Z变换。 (2) 串联环节之间有采样器总的Z传递函数等于各串联环节Z 传递函数的乘积 Y(z) X(z
9、)=G (z)G (z)12通常 G1G2(z)G1(z)G2(z)G (s)1G (s)2x(t)x*(t)y (t)1y*(t) 1y(t)y*(t)TT四、闭环系统Z传递函数 x(t)e(t) e*(t)y(t) TG(s)H(s)+-b(t)y*(t)Y(z) X(z)=G(z) 1+GH(z)Y(z)=NG (z) 1+G G (z)212例7.17 x(t)=0y*(t)y(t)n(t)e(t) e*(t) G (s)2G (s)1T+-+设闭环系统结构图如图所示。求系统输 出的Z变换 解 因为 Y(z)=XG(z)-GH(z)Y(z) 整理，得 Y(z)= XG(z) 1+GH(
10、z)返回x(t)e(t)G(s)H(s)y*(t)y(t)y*(t)例7-18. 求离散系统的脉冲传递函数 -G1(s)G2(s)H(s)r(t) e(t) e*(t) d(t) b(t) Y*(t)Y(t)+假定d(t)=0,得结构图如下：G1(s)G2(s)H(s)r(t) e*(t) Y*(t)Y(t)解 ：列方程：联立求解：G1(s)G2(s)H(s)r(t) e*(t) Y*(t)Y(t)-TTb(t)得到输出Z传递函数：假定输入r(t)=0,得离散控制系统的结构图：-G2(s)G1(s)H(s)r(t)=0e*(t)Y*(t) Y(t)d(t) + + 所以，有 因为：例7-19
11、已知采样系统结构如图所示：G(s)H(s)r(t) b*(t)Y*(t)Y(t) 列写如下式子 所以， 不能写出脉冲 传递函数7.5 离散控制系统的分析 一、离散系统的稳定条件1. z平面和s平面之间的关系稳定条件的对应关系jS平面 1-1Re0ImZ平面 s 0 虚轴上(临界稳定) |z|1 单位圆上s0 右半面|z|1 单位圆外 不稳定域不稳定域s0 左半面 |z|1 单位圆内 稳定域稳定域例: Tu=100, T=100, k=10, 判断稳定性解：0)1 ()(1(=-+- ezkezzuTTuTT876. 4076. 00368. 0952. 4212-=+zzzz代入已知量，得：特
12、征根有一个在单位圆外， 闭环系统不稳定。闭环系统的特征方程：1+Gk(z)=02. 代数判据引进w变换令 或 Z和W可写为: Z=x+jy W=u+jv 当x2+y2=1 z的单位圆u=0 w 的虚轴当x2+y21 z单位圆外u0 w右半平面Re Re Im Im zw注意：进行w变换是应用劳斯判据分析线性 离散系统稳定性必不可少的一步。z w的映射:方法为：求出开环脉冲传递函数A(z)将 代入，得到1+D(w)=0应用Routh判据写出闭环特征方程1+A(z)=0例:分析离散系统统的稳稳定性。采样样周期T=1秒。解 ：r (t) y (t) 由1+A(z)=0得将 代入，列劳斯表系统不稳定自
13、学书中第239例7-28例：T=0.1，求使离散系统稳定的K值范围。r(t) y* (t) y (t)T解: 开环脉冲传函：闭环特征方程 1+A(z)=0 即 z2 +(0.632k-1.368)z+0.368 = 0 代入: 0.632Kw2 +1.264w +2.736 -0.632K = 0利用劳斯判据，得稳定的 K值范围 0K4.32二、离散系统的瞬态响应闭环脉冲传递函数当输入为1(t)时展开，取Z反变换得y(k)1、极点位于z平面单位圆内和圆外实轴上时2、极点位于Z平面单位圆内和圆外复平面上时闭环极点分布对瞬态响应的影响 0ImRe闭环极点的瞬态分量 -110t0t0t 0t0t三、Z平面上的根轨迹 离散系统闭环特征方程1+A(z)=0其中A(z)为开环Z传递函数例7.22 z平面上的根轨迹作图方法与s平面上的 作图规则完全一致。需要注意的是：在连续系统中，稳定的边界是虚轴，而在 离散系统中，稳定的边界是单位圆。例7-21 采样周期 T=1s, 作以k为为变 量的根轨迹解：在z=1和z=0.368处有两个极点, z=0处有一个零点ReIm(1)在z=1和z=0.368处有两个极 点, z=0处有一个零点(2)在实轴上根轨迹(3)根轨迹在实轴上的分离点
