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1、第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数矩、协方差矩阵4.1 数学期望一.数学期望的定义例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分 人数如下表所示：数学期望数学期望描述随机变量取值的平均特征描述随机变量取值的平均特征则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2定义 1. 若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称定义 2. (p110)若XPX=xk=pk, k=1,2,且 为离散型随机变量X 的数学期望，简称期望或均值。，则称为离散型随机变量X 的数学期望例2 掷一颗均匀的骰
2、子，以X 表示掷得的点数，求X 的数学期望。定义 3 若X f (x), -0)定理2 若Xf (x), -0,D(Y)0，则称为X与Y的相关系数. 注：若记称为X的标准化，易知E（X*）=0，D（X*）=1.且2.相关系数的性质(1) |XY|1；(2) |XY|=1存在常数a , b 使PY= aX+b=1；(3) X与Y不相关 XY=0;1.设(X, Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分 布,求X与Y的相关系数D1x=y解以上E(X )的结果说明了什么？解1)2)可见，若（ X ， Y ）服从二维正态分布，则X与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 4.4 矩、协方差矩阵(p133
3、)1. k阶原点矩 Ak=E(Xk), k =1, 2, 而E(|X|k)称为X的k阶绝对原点矩；2. k阶中心矩 Bk=EXE(X)k, k=1, 2, 而E|XE(X)|k称为X的k阶绝对中心矩；3. k +l阶混合原点矩 E(Xk Yl), k, l =0, 1, 2, ；4. k +l阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l, k, l=0, 1, 2, ；. 协方差矩阵(p134) 1.定义 设X1， , Xn为n个r.v., 记cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, , n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1， , Xn的协方差矩阵C。即P135 n维正态分布例4 设(X, Y)服从 N(1,0,32,42,-0.5)分布， Z=X/3+ Y /21)求Z的概率密度2)求X与Z的相关系数3)问X与Z是否相互独立？为什么？六种常用随 机变量的期 望与方差小结
