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1、现代电力系统分析（下册）任课教师：葛少云研究生学位课：第二节 暂态稳定分析的数值解法一、全系统数学模型的组成 实际系统的运行经验表明，在一般情况下失去暂态 稳定的过程发展比较迅速，通常根据扰动后1秒左右 (即第一个摇摆周期)或几秒钟(开始几个摇摆周期)内 发电机转子间相对角度的变化情况，便可以判断系 统是否稳定。 因此，从50年代中期开始，大量研究工作主要针对 如何计算扰动后这段短时间内系统的机电暂态过程 ，包括元件所采用的数学模型、网络求解和数值积 分方法的研究。到70年代中期，这类数值解法已经 相当成熟，并已开发出不少适合于工程应用的计算 程序。 由于所计算的暂态过程持续时间较短，因而对于
2、交 流系统，通常只考虑发电机及其励磁系统、原动机 及其调速系统以及负荷特性等对暂态稳定性的影响 。这些元件在机电暂态过程中的相互关系如图所示 。为简单起见，图中只画出具有代表性的一个发电 机组和两个采用不同数学模型的负荷。在忽略发电机定子绕组和电网中电磁暂态过程影响的情况下，由第一章中所介绍的各元件数学模型和上 页图3-2所示各元件间的相互关系，可列出描述全系统暂态过程的微分方程和代数方程组，一般形式为：px=f(x,y) (3-1) g(x,y)=0 (3-2)微分方程由下列各部分组成：(1)各发电机暂态和次暂态电势变化的微分方程(2)各发电机的转子运动方程式。(3)各发电机励磁系统暂态过程
3、的微分方程 。(由传递函数框图决定。)(4)各原动机及调速系统暂态过程的微分方 程。 (由传递函数框图决定。）(5)负荷中感应电动机的暂态过程方程式。 (转子运动及暂态电势变化方程。)微分方程式的状态向量 x 中包括：(1)各发电机的(2)各励磁系统与传递函数框图相对应的微分方程中的有关状态变量；(3)各原动机的Pm、m (4)调速系统与传递函数框图相对应的微分方程中的有关状态变量；(5)各感应电动机的s 和 。代数方程包括：(1)网络方程式。用以描述在同步旋转坐标参考轴x、y 下，各节点电压、电流之间的关系。(2)各发电机定子绕组电压平衡方程式。(3)对于用静态特性模拟的负荷，其功率与节点电
4、压之间的关系式(1-137)；对于综合负荷中的感应电动机，计算电磁转矩、机械转矩、等值阻抗或者定子电流的方程式。总之：微分方程式的组成与所考虑的元件种类和元件数学模型的精确程度有关。代数方程式有时仅为网络方程式，其它代数方程则通过直接计算或者在形成微分方程式时加以适当处理。在暂态稳定计算中，对于微分方程和代数方程需特别指出以下几点 ：（1） 微分方程和代数方程的组成及其中的函数关系式在整个暂态过程中 可能发生变化。在切除输电设备、发生短路故障、故障元件的清除、线路自动 重合、串联电容的强行补偿以及制动电阻的投入或退出等情况下， 由于网络的结构或参数发生变化，使网络方程发生相应的变化。当切除发电
5、机、投入强励或灭磁以及进行汽门快速控制时，有 关发电机和调节系统的结构或参数将发生变化，从而使微分方程发 生相应的变化。上述各种情况统称为“故障或操作”，其中某些情况 在暂态过程中可能相继发生。由于在调节系统中存在各种限制环节，在计算过程中当有关变 量超出下界或上界时，它们将被限制在其下界或上界处，直至变量 重新回到其上、下界范围以内为止。上述各种因素将造成暂态过程 计算中微分方程和代数方程的不连续性，在计算方法和程序中应加 以考虑和处理。（2） 由于忽略网络中的电磁暂态过程，各节点的电压、电流以及发电机和负荷的功率，在网络故障或操作瞬间将发 生突变，但状态变量 x 则是连续变化的。为此，在发
6、生故障或操作后，需要根据故障或操作瞬间 x 的取值重新求解网络方程或整个代数方程式。（3） 各发电机和负荷只通过网络相互影响，它们之间无直接联系。因此，微分方程式在各个发电机和各个负荷感应电动机之间没有直接耦合关系。二、微分方程和代数方程组的求解方法应用数值解法计算暂态稳定时，在每一个积分步长内必须同时求解微分方程和代数方程 ，这就需要在一般单纯求解微分方程组的数值 积分方法基础上加以扩展。为此有两种不同的 方法：交替求解法和联立求解法。(一)交替求解法 当微分方程的数值解采用显式积分方法时，交替求解 法的原理和过程比较简单。 以显式欧拉法为例，对于 时刻t 到t+t 的积分步长来说，在t 时
7、刻的x(t)和y(t)是 已知量，计算步骤为：(1) 对微分方程式(3-1)应用欧拉公式计算x(t+t)， 即 x(t+t) = x(t)+ t . f x(t), y(t)(2)应用x(t+t)求解代数方程式(3-2)，即求解gx(t+t), y(t+t)=0 从而得出y(t+t) 这样便求出了t+t 时刻的x(t+t)和y(t+t) ，它 们将用于下一个积分步长的计算。 当采用隐式积分方法求解微分方程式时，交替求解法的计算过程要复杂得多。以梯形积分法为例，上述步长内的积分公式为：(3-5)显然式(3-5)中的x(t)和y(t)已知，但y(t+t)未知，它通过代数方程式 g(x, y)=0
8、依赖于x(t+t) ，从而使上式不能单独求解。 一种可行的方法是应用迭代法对上页公式和式 g(x, y) = 0 进行交替迭代求解，其步骤为：(1)给定y(t+t)的初始估计值 y (0)(t+t) ，应用式(3-5)求解 x(t+t) 的估计值 x (0)(t+t) ，即求解方程(2)用所得出的 x (0)(t+t)求解代数方程式(3-2)，即求解 gx(0)(t+t), y(1)(t+t)=0 得出y(t+t) 新的估计值 y(1)(t+t) 。(3)以 y(1)(t+t) 代替初始估计值 y(0)(t+t) ，返回第(1)步，并反复迭代，直至收敛。这样便可得出 t+t 时刻的 x(t+t
9、) 和y(t+t) ，它同时满足梯形积分式(3-5)和代数方程式(3-2)。 交替求解法是目前暂态稳定分析所采用的主要方法，其中微分方程的数值积分方法和代数方程的求解方法原则上可以分别进行选择。数值积分方法的选取主要应考虑方法的计算速 度、精度、数值稳定性和对刚性微分方程组的 适应性。已经研究和使用过的方法很多，包括显式欧拉 法、改进欧拉法、显式龙格库塔法、隐式梯 形积分法、预测校正法和隐式多步法等，它 们各自有不同的特点。目前一般认为隐式梯形 积分法对于计算速度、精度、数值稳定性和对 刚性微分方程组的适应性等要求都较为满意， 并且在发生不连续时无需重新起步。 代数方程式的求解主要是解网络方程
10、，所使用过的方法有直接解法、高斯塞德尔迭代法、阻抗矩阵迭代法、导纳矩阵迭代法和牛顿迭代法。由于矩阵稀疏三角分解技巧的发展，导纳矩阵迭代法目前应用比较广泛。(二)联立求解法联立求解法仅适用于各种隐式积分方法。在 t 到 t+t 的积分步长内，将微分方程式 (3-1)按照所采 用的数值积分方法化成相应的差分方程 例如式 (3-5)，然后与 t+ t 时刻的代数方程式，即gx(t+t)，y(t+t)0一起组成两组代数方程式，再对它们进行联立求 解，从而同时得出 x(t+t) 和 y(t+t) 。联立求解 的方法通常采用牛顿-拉夫逊法。由于联立求解法的计算工作量很大，目前只在少数几个程序中使 用。三、
11、暂态稳定数值解法的一般过程在各种应用数值解法计算暂态稳定的程序中，除 了微分方程和代数方程所采用的求解方法有所不 同以外，其它部分都基本相同。因此，下面介绍 计算过程的一般框图数值解法的一般过程可以用图3-3所示的框图来表示，其中各框的作用和内容现简单说明如下。第三节 暂态稳定分析的直接法一、研究概况(一)直接法的简单概念 根据暂态稳定性的定义，在遭受扰动后如果系统是 稳定的，则它最终将过渡到一个稳态运行情况，那 时各发电机的转子角度、转速和其它所有状态变量 将重新保持不变，即到达一个平衡状态。这一平衡 状态一定是静态稳定的，否则这种稳态运行情况将 不可能存在。对于故障后稳态运行情况下各个状态
12、 变量的取值，可以用状态空间中的点xs 来表示，并 称为稳定平衡点(SEP，Stable Equilibrium Point)。然而，系统能否稳定决定于故障切除时间(如故障切除后还有其它故障或操作，则为最后一次 操作的时间) tc ，即与切除瞬间系统状态变量的取值有关，对应地用状态空间的点 x c 表示。临界切除时间tc r 所对应的点表示为x c r 。 系统是否稳定将决定于状态空间内点xs、xc和xcr三者之间的相对位置。如果能知道在怎样的相对位置情况下 系统是稳定的，那么只需要计算出xs、xcr和xc，然后便可以直接进行稳定性判断，而无需再对tc时刻以后系统的暂态过程进行计算。 以上便是
13、应用直接法分析暂态稳定的基本思想。寻求 点xs、xc和xcr三者相对位置与稳定性之间的关系，实质上属于李雅普诺夫直接法(简称直接法)所要解决的问题。点xc相对于点xs的位置(用状态向量表示时便是xc-xs)称为对稳定平衡点xs的扰动。注意，这里所谓的扰动不要与暂态稳定性定义中所指的扰动相混淆。 直接法的基本方法是:在状态空间中找出一个包围稳定平衡点xs的区域RV，使得凡是属于这一区域的任何扰动，系统以后的运动最终都趋于稳定平衡点。这一区域称为关于稳定平衡点的渐近稳定域，简称稳定域。 为了求得稳定域，需要构造一个适当的函数V(x-xs)，它满足一定的性质和要求，这种函数称为李雅普诺夫函数，或称V函数。通过 V函数和系统的状态方程，就可以决定稳定域。稳定域的最简单形式是：RV=(x|V(x-xs)tcr的情况，(3)点(d c ,w c)正好位于图3-9中通过不稳定平 衡点(d u，0)的轨迹4上，例如图中的C点。显 然，这种情况是稳定与不稳定之间的临界情况 ，它对应于tc=tcr 。由轨迹4中的 C-c1-c2-C所围 成的闭合曲线便是稳定域的边界，其内部的全 体点所形成的区域为稳定域。
