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1、一、矩阵的谱半径 第六章 解线性方程组的迭代法 3 迭代法的收敛性 二、迭代法的收敛条件三、举例复习：1、矩阵的特征值与特征向量的定义与计算；设A为方阵，Au = u (u 0) 即是方程 |E - A| = 0的根2、矩阵的特征值与特征向量的性质3、Ak = AAA的特征值是:一、迭代法的谱半径称迭代公式中的矩阵 B 为迭代矩阵.定义1：定义2：设A为n阶方阵，i (i = 1,n)为A的 特征值，称特征值模的最大值为矩 阵A的谱半径，记为称为矩阵A的谱.性质： 若矩阵A的谱为 谱半径为则 Ak = AAAk个的谱为( k = 1, 2, )谱半径为定理：设A为任意n阶方阵，|.|为矩阵的任
2、意 诱导范数，则证明：对A的任一特征值i 及相应的特征向量ui，都有因为ui为非零向量，即|ui|0，于是有由i 的任意性得定理：设A为n阶方阵，则对任意正数，存在一种矩阵范数|.|，使得（证明略）注：对n阶方阵，一般不存在矩阵范数|.|，使得但若A为对称矩阵，则有下面的定理对建立迭代法的收敛条件十分重要.定理：设A为n阶方阵，则的充要条件为证明：(必要性)若则而于是由极限存在准则，有故(充分性)若取则存在一种矩阵范数|.|，使得而于是所以再由有限维空间范数的等价性知结论真。定理：设A为n阶方阵，则的充要条件为二、迭代法的收敛条件定理：对任意初始向量 x(0)和右端项g，由迭代格式 x(k+1
3、) = Mx(k) + g产生的向量序列收敛的充要条件为 证明：设存在n维向量x*，使得则 x* 满足由迭代公式有于是有因为x(0)为任意向量，因此即 若 则=1不是M的特征值，所以 |I |0于是对任意n维向量g，方程组(IM)x=g有唯一解，记为x*，即并且此时考虑故对任意初始向量x(0)，都有即由迭代公式产生的向量序列x(k)收敛。推论1：若迭代矩阵满足 |M|1，则迭代公式产生的向量序列x(k)收敛。 推论2：松弛法收敛的必要条件是 02证明:设松弛法的迭代矩阵M有特征值因为由定理，松弛法收敛必有而又于是有所以注：定理表明，迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向量及方程组的右
4、 端项无关。对同一方程组，由于不同的迭 代法迭代矩阵不同，因此可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。举例：解方程组讨论Jacobi法与Gauss-Seidel法的收敛性。解：由定理，迭代法是否收敛等价于迭代矩阵 的谱半径是否，故应先求迭代矩阵。而故A裂解后的各矩阵分别为Jacobi迭代法的迭代矩阵为其特征方程为因此有故Jacobi法收敛如果用Gauss-Seidel迭代，由可得于是迭代矩阵为其特征方程为故 所以Gauss-Seidel迭代法发散。请思考: (1)试推导Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵。(2)试归纳判断迭代法收敛的方法。答: (1)略(2)先用两
5、个推论，再用充要条件，即|M|1迭代法收敛松弛法收敛02迭代法收敛下面对一些特殊的系数矩阵给出几个常用的判 断收敛的条件（代数判据）。定义：若n阶方阵 A=(aij)满足且至少有一个 i 值，使上式中不等号 严格成立，则称A为弱对角占优阵。若对所有 i，不等号均严格成立，则 称A为严格对角占优阵。例如：矩阵是严格对角占优矩阵不严格对角占优， 是弱对角占优定义：如果矩阵A不能通过行的互换和相应列 的互换成为形式其中A11，A22为方阵，则称A为不可约.例如：判断下列矩阵是否可约？矩阵是可约的。矩阵是不可约的。交换第1与3行(列)设有线性方程组Ax=b，下列结论成立：1. 若A为严格对角占优阵或不
6、可约弱对角占优阵，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代1. 法均收敛。2. 2.若A为严格对角占优阵，01，则松弛 法收敛。3. 3. 若A为对称正定阵，02，则松弛法收 敛.4. 即：若A是对称正定阵，则松弛法收敛 的充要条件为02。归纳判断迭代法收敛的方法依次如下：1. 首先根据方程组的系数矩阵A的特点判断；2. 可根据迭代矩阵的某范数判断；3. 只好根据迭代矩阵的谱半径判断；三、举例例1：设有方程组Ax=b，其中讨论用三种迭代法求解的收敛性。解：首先不是对角占优阵，但是对称阵，且其各阶顺序主子式均大于，故为对称正定阵，由判别条件可得Gauss-Seidel法与松弛法(02)
7、均收敛。由因为Jacobi迭代法的迭代矩阵为故|B|1=|B|=1，因此 不能用范数判断。下面计算Jacobi迭代矩阵的谱半径。解特征方程可得谱半径故Jacobi迭代法不收敛。值得注意的是：改变方程组中方程的顺序 ，即将系数矩阵作行交换，会改变迭代法 的收敛性。例2：设方程组Ax=b的系数矩阵为则Jacobi法与Gauss-Seidel法的迭代矩 阵分别是其谱半径分别为故这两种迭代法均不收敛。但若交换两个方程的次序，得原方程组的同 解方程组显然A是严格对角占优阵，因此对方程组用Jacobi法和Gauss-Seidel法均收敛。例3*：设A=(aij)是二阶方阵，且a11a220.试证 求解方程组Ax=b的Jacobi法与Gauss-Seidel法同 时收敛或发散。证明：Jacobi迭代矩阵为其谱半径为而Gauss-Seidel法的迭代矩阵为其谱半径为则有显然同时小于1、等于1或大于1，因此有相同的敛散性。例4：设线性方程组Ax=b的系数矩阵为试求能使Jacobi方法收敛的a的取值范围解：当a 0时，Jacobi法的迭代矩阵为解特征方程得故由得故当时，Jacobi迭代法收敛。作业：习题 1，2（2）
