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1、一、集合二、函数的定义三、函数的性质第一节 函数的基本概念和简单性质一、集合 （一）定义1.集合(set):具有确定性质的对象的总体.组成集合的每一个对象称为该集合的元素.例如：太阳系的九大行星；教室里的所有同学。如果 a 是集合 M 中的元素，则记作否则记作 由有限个元素组成的集合称为有限集由无限个元素组成的集合称为无限集2分类：3表示方法：列举法描述法4. 子集：例如 ：例如 ：规定 空集为任何集合的子集.不含任何元素的集合称为空集5. 数集分类:N 自然数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集数集间的关系:正整数集研究某一问题时所考虑的对象的全体 称为全集，用 I 表示；把差集 I A 特别
2、称为余 集或补集，记作Ac .1. 并集:2. 交集:3. 差集:4. 余集:（二）集合的运算5. 运算规律:交换律:结合律:分配律:对偶律:6 .直积或笛卡儿（Descartes）乘积为 A 与 B 的直积，记作 A B .设 A、B 是两个任意集合，则称集合例如：RR=(a，b)| a R ， b R 即为xOy平面上全体点的集合， RR常记作R 2 .（三）区间和邻域1.区间(interval):是指介于某两个实数之间的称为开区间,称为闭区间,全体实数.这两个实数叫做区间的端点.有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.称为左闭右开区间,称为左开右闭区间
3、,2.邻域(neighborhood):点 的去心 邻域把开区间称为a 的左邻域，把开区间称为a 的右邻域，定义域1.定义自变量因变量变量 y 按照一定的对应法则 f二、二、函数的概念函数的概念总有唯一确定的值与之对应，则称 y 为x 的函数.记作 函数在点 的函数值自变量因变量对应法则f2.函数的两要素:定义域与对应法则.约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取 的一切实数值.定义:如果自变量在定义 域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有 一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫做多值 函数是多值函数(1) 符号函数3.几个特殊的函数举例1-1xyo(2) 取整函数 y=xx表示不超过 的
4、最大整数1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线显然:有理数点无理数点1 xyo(3) 狄利克雷函数(4) 取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1解综上，有:综上，有:例2解4、基本初等函数（1）.幂函数：（2）.指数函数 ：（3）.对数函数 ： （4）.三角函数 ：（5）.反三角函数 ：（ 是常数）（ 是常数， ） （ 是常数， ）三、函数的简单性质（1）函数的奇偶性(parity):偶函数yxox-x奇函数yxox-x（2）函数的周期性(periodicity):（通常说周期函
5、数的周期是指最小正周期）.（3）函数的单调性(monotonicity):xyoxyoM-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX（4）函数的有界性(bounded):6、复合函数(compound function)定义:复合函数，其中例3因此能够形成复合函数注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;2.复合函数可以由两个或两个以上的基本 初等函数经过复合构成.例4找出下列复合函数的复合关系：7、反函数(inverse function)DWDW反函数.直接函数与反函数的图形关于直线 对称.定理（反函数存在定理）：单调函数 f 必存在单调的反函数 ，且此反函数与 f 具有相同的单调性.例5解8、函数的运算的下列运算： 函数的和（差）函数的积函数的商 函数的由常数及基本初等函数经过有限次的复合运算 和四则运算所构成并且可以用一个式子表示的函 数，叫作初等函数.例如9、初等函数
