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1、 1.掌握两条直线的距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离2掌握直线和平面的距离的概念3掌握两个平行平面间的距离的概念1七种空间距离(1)两点间的距离连结两点的 的长度(2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂线，的长度(3)点到平面的距离从点向平面引垂线， 的长度点到垂足之间线段线段点到垂足间线段(4)平行直线间的距离从两条平行线中任一条上任意取一点向另一条直线引垂线， 的长度(5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度(6)直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意取一点向平面引垂线， 的长度(7)两平行平面间的距离夹在
2、这两个平面之间的 的长度这点到垂足间线段线段这点到垂足间线段公垂线段2求距离的步骤1已知直线a平面，且a与平面间的距离为d，a在平面内的射影为a，l为平面内与a平行的任一直线，则a与l间的距离的取值范围为 ( )Ad，) B(d，)C(0，) Dd解析：过直线a上的任意一点A作直线a的垂线，垂足为A1，则AA1.过A1作A1A2l，垂足为A2，连结AA2，则AA2l.易证|AA2|AA1|d.答案：B2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离是 ( )A BC D解析：点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离，如图：
3、B1O平面ABC1D1，且B1O答案：B3正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图所示)M为矩形AEFD内的一点，如果MBCMBE，MB和平面BCFE所成角的正切值为 ，那么点M到直线EF的距离为 ( )A B1C D解析：过M作MOEF于O，则MO平面BCFE.作ONBC于N，连结ME、OB、MN、MC.设OMx，又tanMBO ，BO2x.又SMBE BEMBsinMBE BEME，SMBC BCMBsinMBC BCMN.MEMN.答案：A而ME= ，MN= 解得x=4正三棱锥PABC的高为2，侧棱与底面ABC成45角，则点A到侧面PBC的
4、距离为_解析：作PO平面ABC于O，连结AO并延长交BC于D，连结PD，作AEPD，由正三棱锥的性质可得AE为所求由已知可得AD3，AB2 ，PC2 ，PD 在PAD中有POADPDAE即23AE ，AE 答案：5在ABC中，C90，AB8，ABC30，PC平面ABC，PC4，Q是AB边上的一个动点，则PQ的最小值为_解析：作CDAB于D，连结PD.由三垂线定理可知PD即为所求，且可求得PD2 答案：2求点到直线的距离的关键是作出点到直线的垂线，在垂足的位置不易确定时通常可以借助三垂线定理或其逆定理寻找垂线在平面内有ABC，在平面外有点S，斜线SAAC，SBBC，ACBC且斜线SA、SB与平面
5、所成的角相等，点S到平面的距离为4 cm，且AB6 cm，求点S到直线AB的距离思路点拨课堂笔记 如图，过S作SD平面于D点，连结DA、DB，则SAD、SBD分别为SA、SB和平面所成的角，SADSBD，RtSADRtSBD，SASB.SAAC，SBBC，SACSBC90.又SCSC，RtSACRtSBC，ACBC.取AB的中点O，连结SO，则由SASB，可得SOAB，从而SO的长就是点S到直线AB的距离SD，DA是SA在平面上的射影又SAAC，根据三垂线定理的逆定理可得DAAC.同理，DBBC，又ACBC，ACBC，四边形ACBD是正方形连结OD，O是对角线AB的中点，OD AB3 cm.在
6、RtSOD中，SD4 cm，OD3 cm，SO 5 cm，即点S到直线AB的距离等于5 cm.求点P到平面的距离的常用方法1定义法：过点P向平面引垂线，找到垂足A，则PA的长即为点P到平面的距离，这时常用解直角三角形解决问题；2转化法：常用的转化法有下列几种：(1)当过点作平面的垂线的垂足位置难确定时，可以化为三棱 锥的高，采用等体积法解决问题基本方法是：对三棱锥“换顶点”计算两次，解方程求得点到平面的距离(即三棱锥的高)(2)如果直线l是过P且与平面平行的一条直线，则直线l上任意一点到平面的距离均等于点P到平面的距离(3)若线段PM与平面交于A且点A恰为PM的中点，则点M到平面的距离等于点P
7、到平面的距离特别警示 (1)“一作二证三计算”中的证明必不可少，应引起充分的注意(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理以及有关三角函数知识进行计算(2009江西高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成的角；(3)求点O到平面ABM的距离思路点拨课堂笔记 (1)证明：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BMPD.因为PA平面ABCD，则PAAB.又ABAD，所以AB平面PAD，则ABPD，因
8、此有PD平面ABM，所以平面ABM平面PCD.(2)设平面ABM与PC交于点N，因为ABCD，所以AB平面PCD，则ABMNCD，由(1)知，PD平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，所以PNM就是PC与平面ABM所成的角，且PNMPCD，tanPNMtanPCD 所求角为arctan2 .(3)因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由(1)知，PD平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM的距离因为在RtPAD中，PAAD4，PDAM，所以M为PD中点，DM2 ，则O点到平面ABM的距离等于 .关于空间距离的相互转化空间的线线距离通常可转化为
9、线面距离或者是面面距离；而线面距离和面面距离又可转化为点面距离，然后将这点的位置选择恰当，可简化图形，简化运算，其关系如下：1线面距离点面距离点线距离两点间距离；2面面距离点面距离点线距离两点间距离；3异面直线的距离线面距离点面距离点线距离两点间距离如图所示，已知ABCA1B1C1是正三棱柱，E、E1分别是AC和A1C1的中点(1)求证：平面AB1E1平面BEC1；(2)当该棱柱各棱长都为a时，求(1)中两个平行平面间的距离思路点拨(1)可转化为证BE平面AB1E1，EC1平面AB1E1；(2)找到两个平行平面的公垂线，解三角形或转化为点到平面的距离求解课堂笔记 (1)因为在正三棱柱ABCA1
10、B1C1中E、E1分别是AC和A1C1的中点，所以AE C1E1，所以AEC1E1是平行四边形，所以EC1AE1.又因为AE1平面AB1E1，EC1平面AB1E1，所以EC1平面AB1E1.连结E1E，因为EE1 CC1，CC1 BB1，所以EE1 BB1，所以BB1E1E为平行四边形，所以BEB1E1.又因为B1E1平面AB1E1，BE平面AB1E1，所以BE平面AB1E1.又BEEC1E，所以平面AB1E1平面BEC1.(2)取CC1的中点F，连结A1F分别交AE1，EC1于M，N.因为各棱长都为a，所以ACC1A1为正方形，所以A1FEC1，A1FAE1.因为E为AC中点，所以BEAC.
11、又因为平面ABC平面ACC1A1，所以BE平面ACC1A1，所以BEA1F.又因为EC1BEE，EC1平面BEC1，BE平面BEC1，所以A1F平面BEC1.又平面BEC1平面AB1E1，所以A1F平面AB1E1，所以A1F为平面AB1E1和平面BEC1的公垂线，MN为这两个平面的公垂线段，求得MN a.所以平面AB1E1与平面BEC1的距离为 a.以选择题或填空题的形式考查空间两点间的距离、点到平面的距离的求法，或以解答题的形式考查点到平面的距离的求法是高考对本节内容的常规考法，09年重庆高考以解答题的形式考查了直线与平面的距离，也是高考的重要考查方向考题印证(2009重庆高考)(12分)如
12、图，在五面体ABCDEF中，ABDC，BAD ，CDAD2.四边形ABFE为平行四边形，FA平面ABCD，FC3，ED 求：(1)直线AB到平面EFCD的距离；(2)二面角FADE的平面角的正切值【解】 (1)因为ABDC，DC平面EFCD，所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离如图，过点A作AGFD于G.因BAD ，ABDC，故CDAD.又FA平面ABCD，由三垂线定理知CDFD，故CD平面FAD，知CDAG.故AG为所求的直线AB到平面EFCD的距离(3分)在RtFDC中，FD由FA平面ABCD，得FAAD，从而在RtFAD中，FA 1，所以，AG (6分)(2)由已
13、知FA平面ABCD，得FAAD，又由BAD ，知ADAB，故AD平面ABFE，从而ADFE.所以，FAE为二面角FADE的平面角，记为.(9分)在RtEAD中，AE由四边形ABFE为平行四边形，得FEBA，从而EFA ，(10分)在RtEFA中，EF故tan (12分)自主体验如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且ABCD，BAD90，PAADDC2，AB4.(1)求证：BCPC；(2)求PB与平面PAC所成的角的正弦值；(3)求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD90，ADDC2，ADC90，且AC2取AB的中点E，连结CE，由题
