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1、第三章 统计量、参数估计与区间估计分析测试都采取抽样检验，通过样本测试 对 总体的某个或某些特征进行估计与作出推断 。 统计推断: 参数估计、假设检验 参数估计：随机变量分布函数已知，须通 过 样本值估计分布的参数 假设检验：假设随机变量分布具有某种函 数 分布形式, 根据样本值通过检验分布参数来 推断 其假设是否正确。已知随机变量分布函数为正态分布，而表示其分布特性的参数有、2，为总体的参数。确定了、2，就可以预测和估计任何测量值落在某一区间的概率，了解总体分布的基本特征。 参数的点估计实际分析测试中，对样本进行的是有限次的测定，只能得到样本的平均值 和样本方差s2，那么，能否用样本平均值
2、和样本方差s2来分别估计总体均值和总体方差2，如果理论上证明是可行的，就可将求总体均值和总体方差2简化为求样本的平均值 和样本方差s2。所以，参数估计是根据样本数据估计总体参数的值，如估计总体均值、总体方差，称为参数的点估计。估计值不正好等于待估参数，而只是其近似值。参数的区间估计它包括参数存在的区间，同时也给出此区间包含待估参数真值的概率，常以置信区间的形式给出 。 第一节 加和号和期望值的运算一、加和号的运算1. 2. , 或 4. 4. 5. 6. （a为常数）7.8. （ 当样本一定， 为常数）即9. 10. （ 即一组随机样本值对于样本平均值的偏差的加和等于零。 ） 二、期望值及其运
3、算1.定义 对于一个测量值来说，其期望值就是总体的平均值（在无系统误差时）。期望值就是理想值-真值。即我们并不期望在一次给定的试验中， 会取它的期望值，然而在大量的试验中，我们可合理地预料， 的平均值将在 的 期望值的附近。2. 表示符号 ： ，对于方差2（ ）表示3. 运算规则（1） 为常数， ；（2） 若 是随机变量的随机样本值 总体均值（3） （4）（5） （6） 证明：（7）若 和 是两个互相独立的随机变量 ,如:即对于相互独立的随机变量，各变量之和（或差）的方差，都等于各方差之和。（8） （9） 平均值的方差，等于各别测量值的方差的 （10） 证明：由于随机变量相对于它们的平均值的偏
4、差的加和等 于零。所以:（11）证明： 上式 若 则整理得： 又 由上式得： 由上可见。S是由平均值计算出来的。但通常并不是有限小数，绝大多数都按数字修约规则获得的近似值，于是各偏差也都是近似值，其平方再加和，会把舍入误差累积起来，使 S、s2、s受影响。为了消除上述弊病，同时为了计算机编程方便起见，可由样本值按上式直接求出方差和S、s2、s 。第二节 统计量 一 、统计量1.定义 将样本值经过加工运算得到 的样本函数值，称为统计量。它可以把关于总体的有用信息更明确更 集中地反映出来, 如 、R、s2、s、S 等 ，这些数值都是由随机变量的随机样本值 得到的。所以，统计量也是随机变量。2. 作
5、用 利用统计量可以对被测物理量 的数值作出统计意义的推断 选定一个概率（置信概率），并在真 值统计量的两边，各定出一个界限（置 信限），由此画出的区间置信区间 ，然后才能断然说，这个区间包含真值 在内的概率是多少，这叫做区间估计 而被推断出物理量真值的某个统计量 叫做参数的点估计。例如，样本平均值 作为总体均值的估计值，记做 。 二、一些统计量的计算1.平均值 简化计算法-编码变换（大的变小，小数变整数）（1） (2) (3) ( 表示一个数)注意：当测定精密度好，可多保留一位；当离散度大时，位数与测量值相同或少一位 。 2. 差方和（离差平方和） 方差 标准差 S的计算方法：（1） 由样本值
6、直接求:利用简化计算法 与 的关系： 各样本值同减去一个数 a，其差方和不变令 则 各样本值同乘以一个数 b，其差方和增 大 b2倍令 例21 用K2Cr2O7法测定某赤铁矿中铁的含量，数据如下：66.64， 66.56， 66.65， 66.62， 66.63计算方法的精密度。解：编码公式: 66.6466.5666.6566.6266.634-4523101616254970 （2）先计算平均值 ，再由 ， 求 S。第三节 参数的点估计一、参数的点估计点估计：用样本的统计量作为总体参数 的估计值，叫做总体参数的点估计。 表示测定值集中趋势的参数: 均值、中 位值等， 表示测定值离散特性:
7、算术平均偏差、 极差、方差和标准差。二、参数的点估计值1 .算术平均值 （指各测量值的方差都相等的等 精度 的测量）（1） 平均值 是总体均值的无偏估计量，这是因为参数的估计量的期望值等于被估参数，即 无偏估计量是说由测定值计算的估计值 离被估参数很近，由不同样本得到的估计值 在被估参数附近波动。（2） 是出现概率最大的值p23在正态总体中，随机抽出容量为 的样本，独立进行测定，得到 个测定值 测定值 出现的概率 是指随机变量出现在区间的概率（即具有各种大小偏差的样本值出现的概率）。假设最佳值为 ，则 为各次测量值所对应的误差 由于各次测量值独立进行 ，所以在 次测定中，总概率 F 为：而在一
8、组测量中，最佳值或最可信赖值乃是 当总概率P最大时所求出的那个值。由指数关 系可知，当 F 最大时，则 为最小，亦即在一组测量值中各偏差的平方 和最小，而S为极小值的条件： 当S最小， 算术平均值由此可得结论(最小二乘法原理)： 在一组等精度测量中， 为其最佳值 或最可信赖值； 各测量值与 的偏差的平方和为最 小由正态分布图形也可看出，由于正态分布概率密度函数曲线对对称，各测定值对真值的偏差有正有负，正负偏差出现的机会相同。当对测定数据进行算术平均后，一部分正负误差相互抵消 ，因此，用 来估计偏差会更小。（3）在一组测量值中，测定值对算术平均 值的偏差之和为零由上可见，算术平均值充分利用了样本
9、测 定所提供的全部信息，在等精度的测定中 ，是出现概率最大，偏差平方和最小的值 ，因而是最可信赖的。算术平均值是的无 偏估计量，用它来估计是最有效的。2. 加权平均值设有m组精度分别为S1、S2、 Sm的不等精度的平均值 （不同的人、不同的 室、或一个人用不同的方法测定同一试样）被测 定量的最佳值或最佳估计值是样本测定值的加权平均值 ：（ 表示 ） 式中 权数与测定值的方差成反比 。权重 : 表示某个精度测定值在样本平均值中所占的地位、比例或贡献，即表示测量值可信赖程度的数值。可见，测量值的可信赖程度与标准差有关 ，标准差愈小其可信赖程度愈大，因而其权 愈大。正态分布的条件下，给于较大权数的
10、测定值必定是最可信赖值，即误差最小，概 率最大的测定值。加权平均值的特性:（1） 不等精度测定中， 是总体均 值的无偏估计量（2） 在不等精度测量中， 是出现概率最 大的值 （3） 对于精密度S相同，但测量次数不同 的几组测量值，各组测量值 平均值的精密 度不同，所以（权数测定次数）在等精度的测定条件下，各测定值的权相同，则加权平均值等于算术平均值，这是不等精度测定的一种特殊情况，即无论是等精度还是不等精度的测量，都可用加权平均值表示测定结果。例 22 某一实验室三个分析人员分别用光 谱法、原子吸收法和化学法测定耐火材料中的CaO ，测定结果分别为(%)：1.65，1.67，1.70，标准差
11、分别为0.043，0.024，0.020 ，问该实验室应如何报分析结果？解 : 这是一组不等精度的测量，应用加权平均值报分析结果三、总体方差2及总体标准差的点估计1. 参数2和的点估计常用样本的方差 s2（单次测定方差）和 样本的标准差s作为总体方差2和总体标准 差的点估计值。上式表明，样本方差S2和标准差S分别 是总体方差2和标准差的无偏估计量。证明： 即样本的方差是总体方差的无偏估计量上式中：证明： S2 表示在等精度测定条件下单次测定的方差，其统计含义是，在多次测定中平均在每次测 定上的方差，即方差的统计平均值。单次测 定的方差不是一次测定的方差，因一次测定不能 求方差。 S2 是总体方
12、差2 的无偏估计量，以2为其期望值。当 很大时，用2 与 S2 估计测定精度，其差别 很小（比如， ，差别只有2）。但分析 测定中，通常只有少数几次测定，应用2的无偏 估计量S2来估计测量数据的精密度。当测定是分m组进行的，总的测定方差由m组的 方差共同决定。当各组测定次数相等时，单次测 定的方差按并合方差公式计算。并合方差式中 是第 组第 次测定值， 是第 组测定的 平均值， 是第 组的测定值的数目， 是第 组测定的方差。当各组测定值的数目不相同时，则用加权平 均值求并合方差。加权并合方差的计算公式是：式中，称为自由度，是指独立变量的数目，在这 里表示差方和中独立项的数目。作为各组差方和 的权值。样本方差 S2 充分利用了测定所提供的全部信息，是总体方差2的无偏估计值，而且在
