《【优品课件】北师大版高中数学（必修5）1.2《等差数列》（第2课时） 课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优品课件】北师大版高中数学（必修5）1.2《等差数列》（第2课时） 课件（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 22 等差数列的前n项和 一、等差数列an的前n项和公式 一般地，我们称a1a2a3an为数列 an的前n项和，用Sn表示，即Sn _. 对于等差数列an来说，设其首项为a1， 末项为an，项数为n，由倒序相加法可知其 前n项和Sn_.这个公式表明： 等差数列前n项和等于首末两项的和与项 数乘积的一半如果代入等差数列通项公 式ana1(n1)d，Sn也可以用首项a1与 公差d来表示，即Sn_. 二、等差数列前n项和的常见性质 (1)若在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在_. 友情提示：若等差数列an中a10，d0，ak10，ak10，则SkSk1且均为 最大值若Sn存在最小值，则情况与
2、此 相似 (2)等差数列中依次k项和成等差数列，即 Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，且 公差为_(d是原数列公差) (3)项数为偶数2n的等差数列an，有 S2nn(a1a2n)n(anan1)(an与an1 为中间的两项)； S偶S奇_；_. (4)项数为奇数2n1的等差数列an，有 S2n1(2n1)an(an为中间项 )；S奇S偶 _； _. S奇、S偶分别为 数列中所有奇数项的和与 所有偶数项的和 (5)等差数列an中，若anm，amn(mn) ，则amn_. (6)等差数列an中，若Snm，Smn(mn) ，则Smn_. (7)等差数列an中，若SnSm(mn)，则Smn
3、_. (8)若an与bn均为等差数列，且前n项和 分别为 Sn与Sn，则_. 1.为何课本上在推导前n项和公式时，没有 首尾相加而是采用倒序相加法？ 对于123100？可用以下方法 计算： 1011100299398这样的 数共有50对，则501015050，运用的是 等差数列的一个性质 而对于123101？将首尾相加 ：10211012100399，这 样的数除有50对外，还多了一个中间数51. 2如何理解等差数列中奇数项和、偶数 项和的问题？ (1)当等差数列an有偶数项时，设为2n项 ， 设S偶a2a4a6a2n， S奇a1a3a5a2n1， 得：S偶S奇nd， 得：S偶S奇S2n， (
4、2)当等差数列an有奇数项时 ，设项 数为 2n1， 设S奇a1a3a5a2n1， S偶a2a4a6a2n， 得：S奇S偶a1ndan1， 得：S偶S奇S2n1(2n1)an1， 此时，当a10，等差数列的各项均是0， 则Sn的最大值和最小值都是0；当a10，Sn f(n)a1n是一次函数，并且是增函数， 由于函数的定义域是nN*，则Sn存在最 小值S1，不存在最大值；当a10，a10时，等差数列an中所有项都 是正数，则Sn存在最小值S1，不存在最大 值； 当d0，a10，该等差数列是 递增数列，那么必存在mN*，使得 即等差数列中，前m项都是非正数，从第 m1项开始，以后各项都是正数，则S
5、n不 存在最大值，存在最小值，Sn的最小值是 Sm. 当d0时，由于d0，此时bn|an|an， bn的前n项和Sn100nn2. 当n51时，an 当1n5时，an0；当n6时，an0，S130，S13a2a3a12a13. 因此，若在1n12中存在自然数n，使得 an0，an10，S1313a70，a7a70，因为a60，a70，a130，a140， 故n13时，Sn有最大值169. 解法4：由d2得Sn的 图像如图所示(抛物线上 一些孤立点)，由S17S9 知图像对称轴为n 13， 当n13时，Sn取得最 大值为169. 已知等差数列的奇数项和与偶数项和，解 题思路可以转化为求基本特征量
6、a1与d.但充 分利用奇数项和、偶数项和与数列和之间 的关系，可使问题简 化 解法2：设S偶a2a4a10，S奇a1 a3a9，则S偶140125155a6( 因为a2a10a4a82a6)，所以a63. 变式训练5 (1)在项数为2n1的等差数 列中，所有奇数项的和为165，所有偶数 项的和为150，则n等于( ) A9 B10 C11 D12 (2)有2n1项的等差数列，其奇数项与偶 数项的和之比为( )答案：(1)B (2)B 分析：要根据条件寻找通项与前n项和的 关系 此类问题 仍可转化为利用基本特征量进 行解决，这是最基本的方法，是必须要掌 握的但在此基础上，深刻理解等差数列 的和与
7、等差数列之间的关系，可以使自己 的学习得到提升 例7 等差数列的前n项和为Sn，若S41 ，S84，求a17a18a19a20. 解法2：S4，S8S4，S12S8，S16S12，S20 S16构成等差数列，令b1S4，b2S8S4 ，则b51429. 变式训练7 (一题多解)等差数列an的前 m项的和为30，前2m项的和为100，则它的 前3m项的和为 ( ) A130 B170 C210 D260 解析：解法1：将Sm30，S2m100代入前 n项和公式有答案：C 变式训练8 在数列an中，Snan2bn c(a0)，求证：an是等差数列的等价条 件是c0. 证明：(1)n1时，a1S1a
8、bc； (2)n2时，anSnSn1 an2bnca(n1)2b(n1)c 2an(ba)， an1an2a， 而a2a12a2(ba)(abc) 3ababc2ac， 所以c0时，an是等差数列 例9 甲、乙两物体分别从相距70 m的两 处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后 每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返， 甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续 每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第 二次相遇？ 分析：本题实质上是数列求和问题，因此 应将实际问题转化成数学问题 变式训练9 (数学与经济科技)甲
9、、乙两人连 续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供 两个不同的信息图如下图所示： 甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只 鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡 乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到 第6年10个 请你根据提供的信息回答： (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只 数； (2)到第6年这个县的养鸡业规模比第一年是 扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)哪一年的规模最大？请说明理由 分析：由信息图数据可直接做出(1)、(2)， 建立数学模型，可解决第(3)问 解析：(1)由图可知，第2年养鸡场的个数 是26个， 那么全县出产鸡的总数是S2261.2 31.2(万只) (2)第一年总共出产鸡的只数：S1301 30(万只)， 第六年总共出产鸡的只数：S6210 20(万只) 由此得S1S6302010(万只)这说明 规模缩小了 同步检测训练检测训练
