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1、第7章 板壳结构分析7.1 概 述1、板壳结构：平板、壳体。 平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方 向 。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向 变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线 性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。 壳体：壳体的变形除了横向弯曲变形外，同时存在 中面变形。因此可以认为壳体是平面应力问题和平 板弯曲问题的组合。当然：对于厚壳结构，仍需要 横向剪切变形的影响。2、薄板理论 基本假设 （1）直法线假设：薄板中面法线变形后仍保持为法线。由 此，板中面内剪应变为零。 （2）忽略板中面的法线应力分量，且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行于中面
2、的位移，即中面不 变形。利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且 全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。 基本方程 （1）位移：由假设（1）、（3），有(2)应变由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考 虑三个分量。根据几何方程，应变可表示为形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向的扭 率。chi器应力内力：板单位宽度上 弯矩Mx 、 My和 Mxy ， 为应力分量在板截面上 的合力矩 ：弹性矩阵zxyfzhxyxxxzyxyyyzO薄板弯曲问题中的弹性矩阵 Df 内力矩表示薄板应力的公式7.2 薄板矩形单元shell63结点位移 单元结点位移列阵 1、结点位移与结点力单元结点力 2、
3、位移模式 矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分 量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原 则，取：1-3项刚体位移4-5项常应变非协调元单元间法线导数 可能不连续将结点坐标和结点位移代入上式），可解出 a1a12，再代入该式并整理得位移函数式中形函数3、单元应变3、单元应力4、内力矩 B去掉 z 得 形变矩阵BS分块矩阵形式 5、单元刚度矩阵基本公式 子矩阵为 式中其中D为薄板刚度 6、等效结点力板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为 例7-1 受中心集中力的四边支承板的计算结果 (边长为1，厚度为0.01，弹模为1，波松比为0.3) 单元数 （1/4板）四边固定板中心挠度 wD/
4、PL2边中点弯矩 M/P220.00614-0.1178440.00580-0.1233660.00571-0.1245理论解0.00560-0.12577.3 薄板三角形单元1、位移模式三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应 用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi和绕x ，y轴的转角xi、yi，独立变量为wi。三角形单元 位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式 ，则有10个参数: 若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。 无法保证对称。经过许多研究，问题最后在面积坐 标下得以解决。 对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以 下项：Li Lj Lm及其一阶导数在三个结点
5、为零， 对于确定待定参数无用；考虑到用结点位移表示待定参数时计算方便，不考虑二 次和三次的前三项。因此，只能在剩下的6个三次项中选择三个或利用某种线性组合。考虑对称性，假设位移模式为：采用“”组合不行将三个结点的位移和面积坐标代入上式，可得 ：a1=wi ， a2=wj， a3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得将结点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于 a4a9的方程，求解后可得a4a9：最后，待定常数a1a9代入位移模式，整理后得：将w,Lii和w,Lji变换成xi、 yi，从而得到相应于xi、 yi的形函数Nxi、 Nyi利用：利用求得位移函数，可以得到应变列
6、阵和相应的 应变矩阵B，进一步可得到形变列阵和相应的 形变矩阵B。四边将简支板的中心挠度系数单元数 （1/4板）板中心挠度wD/qL4220.004249440.004153880.004098解析解0.004042 有限元大于解析解，原因是单元为非完全协调单元。7.4 考虑横向剪切影响的平板弯曲单元在薄板单元中，构造协调单元的困难在于单元 间要求斜率的连续性。如果放弃薄板理论的直法 线假设，考虑横向剪切的影响，有可能绕过这一 困难。假设：中面法线变形后仍为直线，但绕x、 y轴转动了x、y.。上述假定基于汉盖理论。根据该假定，则板 内任意一点的位移分量具有如下形式：增加自由：扭率或曲率增加边中
7、结点或限制。代入几何方程，应变矩阵：应力矩阵弹性矩阵 平板的变形由中面挠度w和法线绕x、y轴的转角x、y.确 定。每个结结点取它们们作为为自由度，采用8结结点平板 单单元。可以参照8结结点等参单单元。 中面上任意点的挠度和转角可以表示为： 由此可得位移模式应变分量 应力分量 内力计算 单元刚度矩阵等效结点荷载：设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷 载为例：承受均布荷载q的方板和板中心处受集中荷载 P的方板，四边固定和简支。4X4网格，挠度？h/L有限元 厚板薄板 0.010.0443 80.04439 0.044370.10.0462 80.04632 0.044370.20.05
8、20 20.05217 0.044370.30.0616 00.06192 0.044370.40.0750 00.07557 0.04437四边简支板7.5 平面壳体单元平面壳体单元的应力状态是由平面应力和弯曲 应力单元的叠加，因此，构造壳体平面单元时， 只需要将前面的两种单元简单叠加组合即可。值 得注意的时，壳体平面单元用于分析壳体结构时 ，需要对单元刚度矩阵、等效结点荷载和结点位 移等进行坐标变换。 结点位移：5个位移，即ui,vi,wi,xi, yi,前两个 对应为平面应力问题，后三个对应平板弯曲问题 。对应结点力为 在局部坐标中，节点位移不含z，但为了将局部坐标 下的刚度矩阵转换到整
9、体整体坐标系，须将z加入节点 位移中。即：平板壳体单元刚度矩阵的子块矩阵7.6 考虑横向剪切影响的壳体单元采用平面单元模拟曲面结构，不够理想，而采用 曲面单元效果更好，单元数量也会相应减少。 采用薄板理论的直法线假设使得中面转动依赖于 中面位移，给位移模式的构造带来困难。如果考虑 横向剪切变形的影响，就可以认为中面转动是独立 变量而不在依赖于位移的一阶导数。因此，只需要 单元边界上的位移函数的连续性就可以，从而避开 了要求一阶导数的连续性。 实际中常用八结点40自由度四边形单元来考虑剪 切变形对壳体单元的影响。该类单元适合于薄壳和 厚壳。1、单元几何形状的确定8结点壳单元，象类似空间等参单元一样，引入一个自 然坐标系o。命为壳体中面上的曲线坐标；=1 对应顶面， =-1对应底面。在单元中面上选8个结点，过 各结点i(i=1,28)作中面的法线，交顶面和底面的点称为 结点i的对点。其坐标记为：显然，结点i处中面法线方向可以用下列单位矢量确定单元类任意一点的坐标可以通过形函数 Ni(,)的插值表示： 这样，利用8对点的整体坐标，按上式就可近似 地确定单元的形状。2、位移模式假定中面法线V3i变形后仍为直线，但是不再是 变形后的中面法线，有绕V1i和V2i的转角i、i。则 单元内任意点的位移可以表示为写成标准形式应变计算应力计算（单元坐标）单元刚度矩阵（单元坐标）等效结点荷载体力面力
