高二数学几何学的发展

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1、第五章第五章 几何学的发展几何学的发展形的认识形的认识形是人类对生存空间形式的直接形是人类对生存空间形式的直接 认识认识从无规则图形逐渐制造出一些规从无规则图形逐渐制造出一些规 则的形体，形成抽象意义下的几何图形则的形体，形成抽象意义下的几何图形 。图图5.15.1由鱼形演化出的不规则的几何图形由鱼形演化出的不规则的几何图形从立体图形到平面图形从立体图形到平面图形图腾崇拜和宗教礼仪图腾崇拜和宗教礼仪5.2 5.2 测量与几何测量与几何在几何发展最早的古代埃及，几在几何发展最早的古代埃及，几 何一词具有何一词具有“ “土地测量土地测量” ”的含义。在古希的含义。在古希 腊几何学传入中国之后，汉字

2、用几何一腊几何学传入中国之后，汉字用几何一 词来称谓这门学科，而汉语中词来称谓这门学科，而汉语中“ “几何几何” ”具具 有有“ “多少多少” ”的意思。的意思。5.2.1 5.2.1 经验公式经验公式古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积 的方法的方法三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示圆面积的计算公式是圆面积的计算公式是A A= (8 = (8d d/9)2/9)2，其中，其中d d是是 直径。这就等于取直径。这就等于取为为3.16053.1605。四边形的面积公式：（四边形的面积公式：（a a + + c c）（）

3、（b b + + d d）/4/4 （其中（其中a a、b b、c c、d d依次表示边长）。依次表示边长）。高为高为h h、底边长为、底边长为 a a和和 b b的方棱锥的平头截的方棱锥的平头截 体的体积公式：体的体积公式：V V= (1/3) = (1/3) h h ( (a a2 + 2 + ab ab + +b b2)2)5.2.2 5.2.2 求积方法求积方法勾股术与图证勾股术与图证 插入图插入图5.5 5.5 “ “析理以辞，解体用图析理以辞，解体用图” ” “ “弦图弦图” ” 插入图插入图5.7 5.7 大方大方 = = 弦方弦方 + 2+ 2矩形，矩形， （1 1）大方大方

4、= = 勾方勾方 + + 股方股方 + 2+ 2矩形，矩形， （2 2）比较（比较（1 1）与（）与（2 2），得），得弦方弦方 = = 勾方勾方 + + 股方。股方。阿基米德的双重方法阿基米德的双重方法用力学原理发现公式，用力学原理发现公式， 再用穷竭法加以证明再用穷竭法加以证明 插入图插入图5.11 5.11 如图如图5.115.11抛物线有内接三角形抛物线有内接三角形PQqPQq，其中，其中P P与与QpQp中中 点点V V的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法的连线平行于抛物线的轴。阿基米德从物理的方法 发现：抛物线被发现：抛物线被QpQp截得的抛物线弓形的面积，与三角截得的抛物

5、线弓形的面积，与三角 形形QPqQPq的面积之比是的面积之比是4 4：3 3。阿基米德进而使用穷竭法证。阿基米德进而使用穷竭法证 明明5.2.3 5.2.3 多边形数多边形数 插入图插入图5.12 5.12 插入图插入图5.13 5.13 插入图插入图5.145.14 最早的演绎几何学最早的演绎几何学几何原本几何原本（约公元前（约公元前300300年，古年，古 希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学 理论体系理论体系几何学。标志着人类科学研几何学。标志着人类科学研 究的公理化方法的初步形成，究的公理化方法的初步形成，几何原本几何原本共十三卷，其中第一共十三卷，

6、其中第一 、三、四、六、十一和十二卷，是我们今、三、四、六、十一和十二卷，是我们今 天熟知的平面几何和立体几何的知识，其天熟知的平面几何和立体几何的知识，其 余各卷则是数论和（用几何方法论证的）余各卷则是数论和（用几何方法论证的） 初等代数知识。全书证明了初等代数知识。全书证明了465465个命题。个命题。5.3.1 5.3.1 原本原本的公理化体系的公理化体系原本原本的公理化体系：全书的公理化体系：全书 先给出若干条定义和公理，再按由简到先给出若干条定义和公理，再按由简到 繁的顺序编排出一系列的定理繁的顺序编排出一系列的定理(465(465个命个命 题题) )。使整个几何知识形成了一个演绎。

7、使整个几何知识形成了一个演绎 体系体系公设：（公设：（1 1） 从任一点到任一点从任一点到任一点 作直线是可能的。（作直线是可能的。（2 2） 把有限直线不把有限直线不 断循直线延长是可能的。（注意，这里断循直线延长是可能的。（注意，这里 所谓的直线，相当于今天我们所说的线所谓的直线，相当于今天我们所说的线 段。）（段。）（3 3） 以任一点为中心和任一距以任一点为中心和任一距 离为半径作一圆是可能的。（离为半径作一圆是可能的。（4 4） 所有所有 直角彼此相等。（直角彼此相等。（5 5） 若一直线与两直若一直线与两直 线相交，且若同侧所交两内角之和小于线相交，且若同侧所交两内角之和小于 两直

8、角，则两直线无限延长后必相交于两直角，则两直线无限延长后必相交于 该侧的一点（现今称为平行公理）。该侧的一点（现今称为平行公理）。公理：公理： （1 1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相 等的。等的。（2 2） 等量加等量，总量仍相等。等量加等量，总量仍相等。（3 3） 等量减等量，余量仍相等。等量减等量，余量仍相等。（4 4） 彼此重合的东西是相等的。彼此重合的东西是相等的。（5 5） 整体大于部分。整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，从现代公理化方法的角度来分析，原本原本的公理化体系的公理化体系 存在着以下一些缺陷。存在着以下一些

9、缺陷。没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上原本原本的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得 在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. . 但但 是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的例如例如, , 每一个三角形都是等腰的每一个三角形都是等腰的“ “证明证明” ” 插入图插入图5.185.185.3.2 5.3.2 原本原本中的几何方法中的几何方法原本原本在证明相关结论中使用了多种在证明相关结论中使用了多种

10、 几何方法，如几何方法，如, ,叠合法叠合法, ,归谬法归谬法, ,代数式的几代数式的几 何证法何证法, ,等等。这些方法是人类早期研究图等等。这些方法是人类早期研究图 形性质的数学方法，在现代基础教育中仍形性质的数学方法，在现代基础教育中仍 发挥着积极的作用。发挥着积极的作用。举例如下：举例如下： 毕德哥拉斯定理，毕德哥拉斯定理，原本原本使用几何的证使用几何的证 法如下：法如下： 如图如图5.195.19，先证明，先证明ABDABDFBCFBC，推得矩形推得矩形 BLBL与正方形与正方形GBGB等积。同理推得矩形等积。同理推得矩形CLCL与正与正 方形方形AKAK等积。等积。 5.4 5.4

11、 三大作图问题与三大作图问题与圆锥曲线圆锥曲线三个作图问题：三个作图问题：倍立方，即求作一立方体的边，使倍立方，即求作一立方体的边，使 该立方体的体积为给定立方体的两倍；该立方体的体积为给定立方体的两倍；三等分角，即分一个给定的任意角三等分角，即分一个给定的任意角 为三个相等的部分；为三个相等的部分；化圆为方，即作一正方形，使其与化圆为方，即作一正方形，使其与 一给定的圆面积相等。一给定的圆面积相等。直到直到1919世纪，才证实了只用圆规和直尺来世纪，才证实了只用圆规和直尺来 求解这三个作图题的不可能性，然而对这求解这三个作图题的不可能性，然而对这 三个问题的深入探索引出大量的发现。三个问题的

12、深入探索引出大量的发现。 其中包括其中包括圆锥曲线理论圆锥曲线理论梅内克缪斯（约公元前梅内克缪斯（约公元前4 4世纪）最先发现世纪）最先发现 了圆锥曲线：了圆锥曲线： 插入图插入图5.245.24阿波罗尼斯的阿波罗尼斯的圆锥曲线论圆锥曲线论将圆锥曲将圆锥曲 线的性质全部囊括线的性质全部囊括其中圆锥曲线的定义方法如下：其中圆锥曲线的定义方法如下： 插入图插入图5.255.255.5 5.5 坐标几何与曲线方程思想坐标几何与曲线方程思想17 17世纪法国数学家笛卡尔和费马创世纪法国数学家笛卡尔和费马创 立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几立的。这两位数学家敏锐地看到欧氏几 何方法的局限性，认识到利用

13、代数方法何方法的局限性，认识到利用代数方法 来研究几何问题，是改变传统方法的有来研究几何问题，是改变传统方法的有 效途径。效途径。 并为此开始了各自的研究工并为此开始了各自的研究工 作，把代数方程和曲线、曲面的研究联作，把代数方程和曲线、曲面的研究联 系在一起系在一起笛卡尔的工作笛卡尔的工作几何学几何学是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果是笛卡尔哲学思想方法实践的重要结果 首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图首先运用代数方法解决作图的问题，指出，几何作图 实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可实质是对线段作加减乘除或平方根的运算，所以它们都可 以用代数的术语表示。假定某几何

14、问题归结为寻求一个未以用代数的术语表示。假定某几何问题归结为寻求一个未 知长度知长度x x，经过代数运算知道，经过代数运算知道x x满足满足x x= = ，他画出他画出x x的方法如下：如图的方法如下：如图5.275.27作直角三角形作直角三角形NLMNLM，其，其 中中LM=bLM=b , , NL=a NL=a/2, /2, 延长延长MNMN到到O O，使使NONO= =NLNL= =a a/2/2。于是。于是x x就是就是 OM OM 的长度。的长度。 插入图插入图5.275.27 曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的曲线与方程的思想明确指出：几何曲线可以用唯一的 含含x x和

15、和y y有限次代数方程来表示的曲线有限次代数方程来表示的曲线费马的工作费马的工作费马关于曲线与方程的思想，源于费马关于曲线与方程的思想，源于 对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。对阿波罗尼兹圆锥曲线的研究。 他使用他使用 了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数了倾斜坐标系，建立了圆锥曲线的代数 表述式。表述式。5.6 5.6 罗巴切夫斯基几何学罗巴切夫斯基几何学在欧几里得几何学中第五公设（即在欧几里得几何学中第五公设（即 平行公理）的研究过程中，人们不自觉平行公理）的研究过程中，人们不自觉 地将得到了许多第五公设的等价命题。地将得到了许多第五公设的等价命题。 发现了罗巴切夫斯基几何学发现了罗巴切夫斯基几何

16、学5.6.1 5.6.1 第五公设及其等价命题第五公设及其等价命题等价命题等价命题普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作普莱菲尔的平行公理：过直线外一点只能作 一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等一条直线平行于该直线三角形三个内角之和等 于两个直角；于两个直角； 每个三角形的内角和都相同；每个三角形的内角和都相同； 通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截通过一角内任一点可以作与此角两边相交的截 线；线； 存在两个相似而不全等的三角形；存在两个相似而不全等的三角形； 毕达哥拉斯定理；毕达哥拉斯定理； 过不在一直线上的三点可作一圆；过不在一直线上的三点可作一圆； 圆内接正六边形的一边等于此圆的半径；圆内接正