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1、平稳时间序列模型的性质自回归过程的性质 移动平均过程的性质 自回归移动平均过程的性质自回归过程的性质AR模型平稳性判别 n判别原因nAR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但 并非所有的AR模型都是平稳的 例3.1:考察如下四个模型的平稳性例3.1平稳序列时序图例3.1非平稳序列时序图一阶自回归过程AR(1)的性质一阶自回归模型的形式为：或1、平稳性和可逆性A.可逆性： 一个有限阶的自回归模型总是可逆的， 所以，AR(1)模型总是可逆的。B.平稳性： 为满足平稳性， 的根必须在单位圆外， 于是有：AR模型平稳性判别方法n特征根判别nAR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆 内n根
2、据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等 价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单 位圆外n平稳域判别 n平稳域AR(1)模型平稳条件n特征根n平稳域二阶自回归AR(2)过程的性质n二阶自回归模型的形式为：或B.平稳性： 为满足平稳性， 的根必 须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性： ar(2)模型总是可逆的。注：我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足-202-101实根复根AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示AR(2)模型平稳条件n特征根n平稳域例3.1平稳性判别模 型特征根判别平稳域判别结 论(1)平稳(2)非 平稳(3)平稳(4)非 平稳p阶自回归过
3、程AR(p)np阶自回归模型的形式为：或B.平稳性： 为满足平稳性， 的根必须在单位圆外.平稳性和可逆性 A.可逆性： AR(p)模型总是可逆的。即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值|i|1其实也就是要求特征方程 的特征根都在单位圆内。即如果1，2p是上述特征方程的p个特征根， 那么为满足平稳性条件，必须有|i|p时，上式分母行 列式最后列是同一矩阵前面各列的线性组合。 于是当kp时,有kk=0。 所以，所以， AR(p)AR(p)过程的偏自相关函数过程的偏自相关函数(PACF)(PACF)滞滞 后后p p阶截尾。阶截尾。移动平均过程的性质MA模型的定义n具有如下结构的模型称为 阶自回归
4、模型，简 记为n特别当 时，称为中心化 模型移动平均系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可以 简记为 n 阶移动平均系数多项式MA模型的可逆性nMA模型自相关系数的不唯一性n例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相关 系数和偏自相关系数可逆的定义n可逆MA模型定义n若一个MA模型能够表示称为收敛的AR模型 形式，那么该MA模型称为可逆MA模型n可逆概念的重要性n一个自相关系数列唯一对应一个可逆MA模 型。可逆MA(1)模型n n MA模型的可逆条件nMA(q)模型的可逆条件是：nMA(q)模型的特征根都在单位圆内n等价条件是移动平滑系数多项式的根都在单位 圆外MA(1)过程的平稳性和可逆
5、性nA.平稳性：AR(1)过程总是平稳的。nB.可逆性：n为满足可逆性，(B)=11B=0 的根必须在 单位圆外。注：以后对MA(1)过程性质的讨论中， 都假定可逆性条件满足，即有：|1|0,那么PACF都为负，且呈指数衰减； 如果10,那么PACF正负交替呈指数衰减。MA(2)过程的偏自相关函数(PACF)对于MA(2)过程，我们有如下结论： 如果其特征方程:11B2B2=0 的根是实数，则kk是两个衰减指数 的和；如果其根是复数，则kk 是一 衰减的正弦波。MA(q)过程的偏自相关函数（PACF）n要用明确的公式表示出MA(q)过程的自相关函 数是很困难的，但是从前面我们对MA(1)、 M
6、A(2)的讨论中，可以看出：MA(q)过程的偏 自相关函数是由的根确定的，呈混合指数衰或阻尼正弦波衰减。MA模型的偏自相关系数拖尾n n MA模型的偏自相关系数拖尾n n 自回归移动平均过程的性质ARMA模型的定义n具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型 ，简记为n特别当 时，称为中心化 模型系数多项式n引进延迟算子，中心化 模型又可 以简记为 n 阶自回归系数多项式n 阶移动平均系数多项式ARMA(1,1)的性质ARMA(1,1)过程的平稳性和可逆性2.ARMA(1,1)过程的ACF通过上式可以看出，ARMA(1,1)过程的自相关 函数具有AR(1)过程和MA(1)过程的组合特性。 当k=
7、1时，自相关系数由1和1共同决定。 当k2时，自相关系数仅取决于1即差分方程 (B)=0的根，呈指数衰减。ARMA(1,1)过程的PACFARMA(1,1)过程的PACF和它的ACF一样， 也是呈指数衰减，不过指数衰减的形态 由1和1共同决定，因此指数衰减的形 态比MA(1)过程PACF指数衰减形式更多。平稳条件与可逆条件nARMA(p,q)模型的平稳条件nP阶自回归系数多项式 的根都在单位圆外n即ARMA(p,q)模型的平稳性完全由其自回归部分的平稳 性决定 nARMA(p,q)模型的可逆条件nq阶移动平均系数多项式 的根都在单位圆外n即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移动平滑部分的可
8、 逆性决定传递形式与逆转形式n传递形式n逆转形式ARMA(p,q)模型的统计性质n均值n协方差n自相关系数ARMA模型的相关性n自相关系数拖尾n偏自相关系数拖尾ARMA(p,q)过程的ACF由上推导可以得出结论： ARMA(p,q)模型的自相关函数滞后q阶后拖尾。 当kq时，即前q项自相关系数q,q-11取 决于自回归和移动平均的参数。 当kq+1时，它仅取决于中自回归的参数， 即(B)=0的根，呈指数衰减或阻尼正弦 波衰减，而与移动平均的参数无关。ARMA(p,q)过程的PACFARMA(p,q)过程的PACF的一般形式 比较复杂，由于它包括MA过程这个 特例，所以它的PACF也由(B)=0
9、的 根确定，呈混合指数衰减或阻尼正弦 波衰减。既然ARMA(p,q)模型的ACF和PACF都 呈拖尾形态，那么我们要通过一个时间 序列的样本自相关图判断ARMA模型的 阶数就比较困难。 但是如果通过样本自相关图得到一个时 间序列的ACF和PACF都呈拖尾形态， 那么我们至少能判断出该过程不是纯AR 或纯MA过程，而是混合ARMA过程。 至于模型阶数的确定，第五章将作介绍。例3.7:考察ARMA模型的相关性n拟合模型ARMA(1,1):并直观地考察该模型自相关系数和偏自相关系 数的性质。 自相关系数和偏自相关系数拖尾性n样本自相关图n样本偏自相关图ARMA模型相关性特征模型自相关系数偏自相关系数AR(P)拖尾P阶截尾MA(q)q阶截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾
