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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报数学周报杯杯”2009 年全国初中数学竞赛试题参考答年全国初中数学竞赛试题参考答案案一、选择题（共一、选择题（共 5 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 35 分分. 以下每道小题均给出了代以下每道小题均给出了代号为号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选请将正确选项的代号填入题后的括号里项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得不填、多填或错填都得 0 分）分）1已知非零实数 a，b 满足 ，则2242(3)42ababa等于（
2、 ） ab（A）1 （B）0 （C）1 （D）2【答】C解：解：由题设知 a3，所以，题设的等式为，于是22(3)0bab，从而132ab ，ab2如图，菱形 ABCD 的边长为 a，点 O 是对角线 AC 上的一点，且 OAa，OBOCOD1，则 a 等于（ ） （A） （B） （C）1 （D）251 251 2【答】A解：解：因为BOC ABC，所以，即BOBC ABAC，1 1a aa所以， 210aa 由，解得0a 15 2a3将一枚六个面编号分别为 1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于ab（第 2 题）x，y
3、的方程组 只有正数解的概率为（ ） 3 22axby xy ，（A） （B） （C） （D）121 92 185 3613【答】D解：解：当时，方程组无解20ab当时，方程组的解为02ba62,2 23.2bxab ayab由已知，得即或 , 0232, 0226baabab , 3,23, 02baba . 3,23, 02baba由，的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得ab共有 5210 种情况；或共 3 种情况2 3 4 5 6 12a b ， ，1 4 5 6a b ， ，又掷两次骰子出现的基本事件共 6636 种情况，故所求的概率为36134如图 1 所示，在直角梯形 ABCD
4、 中，ABDC，. 动点 P 从90B点B 出发，沿梯形的边由 BCDA 运动. 设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y. 把 y 看作 x 的函数，函数的图象如图 2 所示，则ABC 的面积为（ ） （A）10 （B）16 （C）18 （D）32【答】B解：解：根据图像可得 BC4，CD5，DA5，进而求得 AB8，故（第 4 题）图 1图 2SABC8416.1 25关于 x，y 的方程的整数解（x，y）的组数为（ 22229xxyy） （A）2 组 （B）3 组 （C）4 组 （D）无穷多组【答】C解：解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为x22(229)0xyxy由于该
5、方程有整数根，则判别式，且是完全平方数0由 ，2224(229)7116yyy 0解得 于是2y11616.5772y01491611610988534显然，只有时，是完全平方数，符合要求216y 4 当时，原方程为，此时；4y 2430xx121,3xx 当 y4 时，原方程为，此时2430xx341,3xx所以，原方程的整数解为111,4;xy 223,4;xy 331,4;xy 443,4.xy 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 35 分）分）6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行
6、驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km 【答】3750解：解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为.又设一对新轮5000k 3000k胎交换位置前走了 x km，交换位置后走了 y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxkykkykxk 两式相加，得 ，()()250003000k xyk xyk则 2375011 50003000xy 7已知线段 AB 的
7、中点为 C，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段 AB 的延长线上取点 D，使得 BDAC；再以点 D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与A 分别相交于 F，G 两点，连接 FG 交 AB 于点 H，则的值为 AH AB解：解：如图，延长 AD 与D 交于点 E，连接 AF，EF 由题设知，在FHA 和EFA 中，1 3ACAD1 3ABAE，90EFAFHA FAHEAF 所以 RtFHARtEFA，.AHAF AFAE而，所以.AFABAH AB1 38已知是满足条件的五个不同的12345aaaaa，123459aaaaa整数，若是关于 x 的方程的整数b123452009xaxa
8、xaxaxa根，则的值为 b【答】 10解：解：因为，且123452009bababababa（第 7 题）是五个不同的整数，所有也12345aaaaa，12345bababababa，是五个不同的整数又因为，所以 2009117741 1234541bababababa由，可得123459aaaaa10b 9如图，在ABC 中，CD 是高，CE 为的平分线若ACBAC15，BC20，CD12，则 CE 的长等于 【答】60 2 7解：解：如图，由勾股定理知 AD9，BD16，所以 ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB 为直角三角形，且90ACB作 EFBC，垂足为 F设 EFx，由，
9、得1452ECFACBCFx，于是 BF20x由于 EFAC，所以 ，EFBF ACBC即 ，20 1520xx解得所以60 7x 60 227CEx1010 个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来若报出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数是 【答】2解：解：设报 3 的人心里想的数是，则报 5 的人心里想的数应是x8x于是报 7 的人心里想的数是 ，报 9 的人心里想的数是 12(8)4xx，报 1 的人心里想的数是 ，报 3 的人心里16(4)12xx20(12)8xx（第
10、 9 题）（第 10 题）想的数是所以4(8)4xx ，4xx 解得2x 三、解答题（共三、解答题（共 4 题，每题题，每题 20 分，共分，共 80 分）分）11函数的图象与轴的两个交点是否都在直线22(21)yxkxkx的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x 的右侧时 k 的取值范围1x 解：解：不一定，例如，当 k0 时，函数的图象与 x 轴的交点为（0，0）和（1，0） ，不都在直线的右侧 51x 分设函数与 x 轴的两交点的横坐标为，则，12,xx2 1212(21),xxkx xk 当且仅当满足如下条件 10 分12120, (1)(1)0,(1)(1)0
11、xxxx 时，抛物线与轴的两交点都在直线的右侧x1x 由 222(21)40,210,20,kkkkk 解之，得 151,4 1,2 20.kkkk 或分所以当时，抛物线与轴的两交点在直线的右侧 2k x1x 20 分12在平面直角坐标系中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方xOy数的点称为“好点” ，求二次函数的图象上所有“好点”的2(90)4907yx坐标 解：解：设，m，k 都是非负整数，则2,ym22(90)xk，227 7011 4907km 即 10 分()()7 7011 4907km km 则有 701,4907, 7;1.kmkm kmkm 解得 1212354,2454,
12、347;2453.kkmm 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.xxxxyyyy 故“好点”共有 4 个，它们的坐标是：444 120409264 1204092544 60172092364 6017209（，），（，），（，），（，）.20 分13如图，给定锐角三角形 ABC，AD，BE 是它的两条高，过BCCA点作ABC 的外接圆的切线 ，过点 D，E 分别作 的垂线，垂足分别为CllF，G试比较线段 DF 和 EG 的大小，并证明你的结论解法解法 1：结论是下面给出证明 5 分DFEG因为，所以 RtFCD RtEAB于是可得FCDEAB CDDFBEAB同理可得 CEEGADAB10 分又因为，所以有，于是可得tanADBEACBCDCEBE CDAD CE 20DFEG分解法解法 2：结论是下面给出证明 DFEG（第 13 题） 5 分连接 DE，因为，所以 A，B，D，E 四点共圆，故90ADBAEB 10 分CEDABC 又 l 是O 的过点 C 的切线，所以 15 分ACGABC 所以，于是 DEFG，故 DFEG CEDACG 2
