2007年四川高考理科数学试卷和答案详解

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷 1 至 2 页第Ⅱ卷 3 到 10 页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第第ⅠⅠ卷卷注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上 3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(BPAPBAP24 RS如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半 径球的体积公式)()()(BPAPBAP如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 34RVn 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径knkk nnPPCkP)1 ()(一．选择题：(1)复数的值是2 11iii（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1 (2)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)2211lim21xx xx（A）0 (B)1 (C) (D)21 32(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （A）BD∥平面 CB1D1 （B）AC1⊥BD （C）AC1⊥平面 CB1D1 （D）异面直线 AD 与 CB1角为 60°（5）如果双曲线上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离12422 yx是（A）（B）（C）（D）364 3626232（6）设球 O 的半径是 1，A、B、C 是球面上三点，已知 A 到 B、C 两点的球面距离都是，且2三面角 B-OA-C 的大小为，则从 A 点沿球面经 B、C 两点再回到 A 点的最短距离是3（A） （B） （C） （D）67 45 34 23（7）设 A｛a,1｝ ，B｛2，b｝ ，C｛4,5｝ ，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为〔〔〔〔 OCOBOA(A)(B)354 ba345 ba (C) (D) 1454 ba1445 ba（8）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点 A、B，则|AB|等于32xy0 yx（A）3（B）4（C）（D）2324（9）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得320.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后， 在这两个项目上共可获得的最大利润为 （A）36 万元（B）31.2 万元（C）30.4 万元（D）24 万元 （10）用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有 （A）288 个（B）240 个（C）144 个（D）126 个 （11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与 l2间的距离是 1，l2与 l3间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3上， 则△ABC 的边长是（A）（B）（C）（D）32364 4173 3212（12）已知一组抛物线，其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数，b 为 1,3,5,71212bxaxy中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平 行的概率是（A）（B）（C）（D）121 607 256 255二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在横线上. （13）若函数 f(x)=e-(m-u)2 (c 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数，则 m+u= .(14)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为 1，2则 BC1与侧面 ACC1A1所成的角是 . (15)已知⊙O 的方程是 x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向⊙O 和⊙O’所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题： ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是.②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=|.Zkk,2 ③在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin36)32sin(3〔〔〔〔〔〔〔〔〔〔〔〔xyxy⑤函数.0)2sin(〔〔〔〔〔〔〔〔〔xy其中真命题的序号是 （写出所言 ）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17） （本小题满分 12 分）已知<<<,0,1413)cos(,71cos〔2(Ⅰ)求的值.2tan（Ⅱ）求.（18） （本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商 家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 件进行检验.求至少有 1 件是合格品的概率; （Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件， 都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.E（19） （本小题满分 12 分）如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，PCBMPCBPMBC ＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所PMBCACACBABPCAMPC 成的角为 60°.（Ⅰ）求证：平面⊥平面;PACABC （Ⅱ）求二面角的大小;BACM （Ⅲ）求三棱锥的体积.MACP （20） （本小题满分 12 分）设、分别是椭圆的左、右焦点.1F2F1422  yx（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;P1PF2PF（Ⅱ）设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中)2 , 0(MlABAOB为坐标原点） ，求直线 的斜率的取值范围.Olk已知函数,设曲线在点()处的切线与 x 轴线发点()()其中 xn 为实数42)( xxf)(xfy （21） （本小题满分 12 分）(22)(本小题满分 14 分)设函数.), 1,(11)(NxnNnnxfn 且(Ⅰ)当 x=6 时,求的展开式中二项式系数最大的项;nn11(Ⅱ)对任意的实数 x,证明＞2)2()2(fxf);)()()((的导函数是xfxfxf(Ⅲ)是否存在,使得 an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求Na nkk111na) 1( 出 a 的值;若不存在,请说明理由.2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考答案理科数学参考答案一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分 （1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C （7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B 二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分（13） （14） （15） （16）① ④163 2x 三．解答题： （17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角 以及计算能力。

解：（Ⅰ）由，得1cos,0722 214 3sin1 cos177∴，于是sin4 37tan4 3cos71222tan2 4 38 3tan21tan4714 3 （Ⅱ）由，得0202又∵，∴13cos142 2133 3sin1 cos11414由得：coscoscoscossinsin1134 33 31 7147142所以3（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期 望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力 解：（Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A用对立事件 A 来算，有  411 0.20.9984P AP A  （Ⅱ）可能的取值为0,1,2，，2 17 2 201360190CPC11 317 2 20511190C CPC2 3 2 2032190CPC136513301219019019010E  记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率 136271119095PP B  所以商家拒收这批产品的概率为27 95（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知 识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和 推理运算能力。

解法一：012P136 19051 1903 190（Ⅰ）∵,,PCAB PCBC ABBCB∴，PCABC 平面又∵PCPAC 平面∴PACABC平面平面（Ⅱ）取的中点，则，连结，BCN1CN ,AN MN∵，∴，从而//PMCN//MNPCMNABC 平面作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，NHACACHMH ，ACNH从而为二面角的平面角MHNMACB直线与直线所成的角为AMPC060∴060AMN在中，由余弦定理得ACN2202cos1203ANACCNAC CN在中，AMN3cot313MNANAMN在中，CNH33sin122NHCNNCH 在中，MNH12 3tan33 2MNMNMHNNH故二面角的平面角大小为MACB2 3arctan3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形PCMN∴0113sin1203212P MACA PCMA MNCMACNVVVVAC CNMN解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）ABCCCDCBCxyz由题意有，设，31,,022A000,0,0Pzz 则000310,1,,,,,0,0,22MzAMzCPz  由直线与直线所成的解为，得AMPC060，即，解得0cos60AM CPAMCP     22 00032zzz01z ∴，设平面的一个法向量为，3。