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1、 课课件导导航新课讲授结束作 业小 结高等代数面向21世纪纪新教材矩阵阵乘法的定义义矩阵阵乘法的应应用高等代数面向21世纪纪新教材矩阵阵乘法的性质质先从一个例子开始 :第一周牛肉、羊肉、鸡鸡蛋的价格： 假设设牛肉、羊肉、鸡鸡蛋的价格在一周之 内不发发生变变化，记录记录 近三周牛肉、羊肉、鸡鸡 蛋的价格，得到如下价格矩阵阵(人民币币/千克) .第二周牛肉、羊肉、鸡鸡蛋的价格： 第三周牛肉、羊肉、鸡鸡蛋的价格： 设设某个家庭每周对对牛肉、羊肉、鸡鸡蛋的需求分 别别是3千克、4千克、2千克。则则需求矩阵阵B表示为为： 这这个家庭近三周对对上述三种食品的需求开支分别为别为 ：这这个计计算过过程可以用如
2、下的矩阵阵形式来表示：第一周：12 3+11 4+6 2=92（元）第二周：11 3+11 4+7 2=91（元）第三周：11 3+10 4+7 2=87（元）定义义 设设A=(aij)是mn矩阵阵，B=(bij)是np 矩阵阵，则则A与B的乘积积AB是一个mp矩阵阵，这这 个矩阵阵的第i行第j 列位置上的元素cij等于A 的 第i行的元素与B的第j列的对应对应 元素的乘积积的 和. 即运算过过程演示演示返回由矩阵阵的定义义可以看出 :两个矩阵阵的乘积积AB亦是矩阵阵, AB的行数 等于矩阵阵A的行数, AB的列数等于矩阵阵B的 列数. 前行乘后列: 乘积积矩阵阵AB中第i行第j列的 元素等于
3、A的第i行与B的第j列对应对应 元素乘 积积之和, 简简称行乘列的法则则。1.2.想一想:两个非零矩阵阵的乘积积可能是零矩阵吗阵吗 ？矩阵阵要满满足什么条件才能相乘呢 ？矩阵阵的乘法是否满满足交换换律呢?1.2.3.矩阵阵的乘法适合消去律吗吗 ?4.返回矩阵阵乘法的性质质:1. 结结合律 (AB)C=A(BC),其中A=aijmn, B=bijnp, C=cijpq. 2. 数乘结结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k为为任意实实数. A=aijms ， B=bijsn . 3. 分配律 (A+B) C=AC+BC,其中A, B都为为mn矩阵阵, C=cijns. C(A+B)
4、=CA+CB,其中C为为mn 矩阵阵, A, B都为为ns矩阵阵. 返回任意给给定r个矩阵阵A1, A2, , Ar, 只要前一个矩阵阵的列数等于后一个矩阵阵的行数, 就可以把它们们依次相乘, 由于矩阵阵的乘法满满足结结合律, 在作这样这样 的乘积时积时 , 可以把因子任意结结合, 而乘积积A1A2Ar有完全确定的 意义义.我们们再约约定A0=In . 这样这样 , 一个n阶阶方阵阵的任意非负负整数次方有意义义(以后要定义义某些特殊方阵阵的负负整数次方, 将会看到,并不是每个方阵阵都有负负整数次方). 多个矩阵阵的乘积积 Ar=AAA.r个A特别别地,一个n阶阶方阵阵A的r次方(r是正整数)有
5、意义义.例7 设设A是n阶阶数量矩阵阵. 即B=(bij)是np矩阵阵, 计计算AB.因此有AB=kB. 即用数量矩阵阵A乘以矩阵阵B时时, 相当于用数k乘矩 阵阵B. 如果C 是mn矩阵阵, 那么类类似地容易验证验证CA=kC. 即C乘以数量矩阵阵A时时,相当于用数k乘矩阵阵C. 这这就是数量矩 阵阵有时时也叫做数乘矩阵阵的原因.特别别地, 在n阶阶数量矩阵阵中, 当k=1时时, A就变变成 为为称In为为n阶单阶单 位矩阵阵, 这时这时 , 有In B = B, C In= C .因此, n阶阶方阵阵In在矩阵阵的乘法运算中所起的作用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用, 这这就是为为什么
6、把 In称为单为单 位矩阵阵的原因. 我们们以后还还会发发现现In的更多的类类似于数1的性质质.例8 考虑虑一般形式的线线性方程组组其系数矩阵阵和增广矩阵阵分别别是则线则线 性方程组组可由它的增广矩阵阵唯一确定. 反过过来, 线线性方 程组组也唯一地确定它的增广矩阵阵, 我们们令称此式为线为线 性方程组组的矩阵阵形式.因此原线线性方程组组可写为为AX=B.计计算矩阵阵乘积积AX计计算 A1X:在上题题中,令:同样计样计 算A2X, , AnX 可得,所以A=A1+A2+AnAX=(A1+A2+An)X=A1X+A2X+AnX.因此线线性方程组组的矩阵阵形式可写成如下形 式这这个形式叫做线线性方
7、程组组的向量形式 .,系数矩阵阵把n元线线性方程组组所有未知量的系数按 原来的顺顺序排列, 得到一个mn矩阵阵.我们们称A为线为线 性方程组组的系数矩阵阵 . 返回增广矩阵阵把常数项项添到系数矩阵阵A的最后一项项, 则则可得到一个m行n+1列的矩阵阵.为线为线 性方程组组的增广矩阵阵 .我们们 称返回例8 (计计算机机时汇总时汇总 ) :一台智星计计算机, 完成某个项项 目,该项该项 目有6项类项类 型1的工作,8项类项类 型2的工作,10项类项类 型3的工作,问这问这 台计计算机完成该项该项 目需要多长长的工作 时间时间 ?类类型1的问问 题题需用3 分钟钟!需用4 分钟钟!类类型2的问问
8、题题类类型3的问问 题题需用2 分钟钟!则则表示各种类类型工作所需的时间时间 矩阵阵可令为为 : 表示各种类类型工作的个数矩阵阵可令为为:那么所需时时 间间的总总数可 如下计计算:这这里(70)是一个11矩阵阵(可以把(70)和70看成是一 样样的),即所需总时总时 数为为70分钟钟.假设设不仅仅有一台计计算机,而是有4台计计算机:智星, 神童,奔腾腾及银银河,那么我们们有一个不同的计计算机完成 不同类类型工作的机时时矩阵阵: 智星完成类类型1、2、3的工作所需的时间时间 :银银河完成类类型1、2、3的工作所需的时间时间 :神童完成类类型1、2、3的工作所需的时间时间 :奔腾腾完成类类型1、2
9、、3的工作所需的时间时间 :为为了计计算每台计计算机完成6项项 类类型1的工作,8项类项类 型2的工作,10 项类项类 型3的工作,所需的时间时间 分别别 有多长长,只需进进行如下计计算:所以选择选择 智星计计算机完成这这个项项目比较较省 时时.下面让让我们们不只对对一个项项目, 而是对对3个项项目进进 行计计算. 假设设3个项项目所包含的类类型1,2,3的工作个数如 下矩阵阵表示:矩阵阵中每一列表示每一个项项目 所包含类类型1, 2, 3的个数.进进行如下计计算T1N1矩阵阵的每一行表示每台计计算机完成3个项项目分别别需要的时时机数,可以看出,如果安排智星计计算机完成第一个项项目,由奔腾腾完成第二个项项目,由银银河完成第三个项项目,所需的机时总时总 数较较少.返回这这一节节主要讲讲了矩阵阵乘法的定义义, 矩阵阵乘法 的性质质以及矩阵阵乘法的应应用.小结结1. 矩阵阵乘法的定义义 主要讲讲了定义义, 相乘的条件:前列数等于后行数. 乘法的法则则:前行乘后列.乘法不满满足交换换律,不适合 消去律.2. 矩阵阵乘法的性质质 乘法的结结合律, 乘法对对加法的分配律 .3. 矩阵阵乘法的应应用实际应实际应 用的例子比较较多, 还还有如建筑耗材问题问题 , 图图的邻邻接矩阵阵等例子, 请课请课 后阅读阅读 教材.返回作业业:教材P105 第7、第8 、第9题题.返回
