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1、人教A版高中数学必修 章节复习*第第4 4讲讲 函数的值域与最值函数的值域与最值1人教A版高中数学必修 章节复习理解函数的单调性、值域和最理解函数的单调性、值域和最 值的概念；掌握求函数的值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最 值的常用方法与变形手段值的常用方法与变形手段. .2人教A版高中数学必修 章节复习1. 1.函数函数y y=3=3x x(-1(-1x x33，且，且x xZ Z) )的值的值 域是域是 . .-3,0,3,6,9-3,0,3,6,9由由-1-1x x33，且，且x xZ Z知知x x=-1,0,1,2,3,=-1,0,1,2,3,代入代入y y=3=3x x，得所求值
2、域为，得所求值域为-3,0,3,6,9-3,0,3,6,9. . 2. 2.函数函数f f( (x x)= ()= (x xR R) )的值域是的值域是( )( )A.(0,1) B.A.(0,1) B.（0 0，1 1 C.C.0 0，1) D.1) D.0,10,1B B函数函数f f( (x x)= ()= (x xR R), ),所以所以1+1+x x2 2 , , 所以原函数的值域是所以原函数的值域是(0,1(0,1. .3人教A版高中数学必修 章节复习3. 3.函数函数f f( (x x)=)=x x2 2-2-2x x( (x x0,40,4) )的最大值的最大值 是是 ，最小值
3、是，最小值是 . .8 8-1-1f f( (x x)=()=(x x-1)-1)2 2-1.-1.当当x x=1=1时时, ,f f( (x x) )minmin=-1;=-1;当当x x=4=4时，时，f( f(x x) )maxmax=4=42 2-24=8.-24=8. 4. 4.函数函数f f( (x x)= ()= (x x-1/2)-1/2)的值域是的值域是 . .(-,-2(-,-2当当x x=-1=-1时，时， 取最大值取最大值-2-2. .4人教A版高中数学必修 章节复习5. 5.已知已知x x00，y y00，且，且x x+2+2y y=1=1，则，则 2 2x x+3+
4、3y y2 2的最小值为的最小值为 . .因为因为x x+2+2y y=1=1，x x00，y y00，所以所以0202y y11知知00y y ，2 2x x+3+3y y2 2=2-4=2-4y y+3y+3y2 2=3(=3(y y- )- )2 2+ + ，所以当所以当y y= = 时，时，(2(2x x+3+3y y2 2) )minmin=3( - )=3( - )2 2+ = .+ = .5人教A版高中数学必修 章节复习1. 1.函数的值域与最值函数的值域与最值(1)(1)函数的值域是函数的值域是 的集合的集合, ,它是由定义它是由定义 域和对应法则共同确定的，所以求值域时应域和
5、对应法则共同确定的，所以求值域时应 注意函数的注意函数的 . .(2)(2)函数的最值函数的最值. .设函数设函数y y= =f f( (x x) )的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数MM满满 足：足：( () )对于任意的对于任意的x xI I, ,都有都有f f( (x x)MM;( ;() )存在存在x x0 0I I, ,使得使得f f( (x x0 0)=)=MM, ,则称则称MM是函数是函数y y= =f f( (x x) )的的 . .类似地可定义类似地可定义f f( (x x) )的最小值的最小值. .函数值函数值定义域定义域最大值最大值 6人教A版高中数学
6、必修 章节复习2. 2.基本初等函数的值域基本初等函数的值域(1)(1)一次函数一次函数y y= =kxkx+ +b b( (k k0)0)的值域为的值域为 . .(2)(2)二次函数二次函数y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c( (a a0)0)的值域：的值域：当当a0a0时，值域为时，值域为 ; ;当当a00且且a a ) )的值域为的值域为 . .R R ,+),+)(-, (-, y y| |y y00(0,+)(0,+)7人教A版高中数学必修 章节复习(5)(5)对数函数对数函数y y= =logloga ax x( (a a00且且a a ) )的值域为的值域为 .
7、 .(6)(6)正、余弦函数正、余弦函数y y= =sinsinx x( (x xR R) )、 y y= =coscosx x( (x xR R) )的值域为的值域为 ; ;正切函正切函 数数y y= =tantanx x( (x x k k + + , ,k kZ Z) )的值域为的值域为 . .R R-1,1-1,11111R R8人教A版高中数学必修 章节复习9人教A版高中数学必修 章节复习3. 3.求函数的值域（最值）常用的方法求函数的值域（最值）常用的方法(1)(1)二次函数用配方法二次函数用配方法. .(2)(2)单调性法单调性法. .(3)(3)复合函数的值域由中间变量的范围确
8、定复合函数的值域由中间变量的范围确定. .此外还有换元法、数形结合法、基本不等式此外还有换元法、数形结合法、基本不等式 法等法等. .(4)(4)导数法导数法( (选修内容选修内容). ).4. 4.若若f f( (x x) )为闭区间为闭区间a a, ,b b上的连续函数，则上的连续函数，则 f f( (x x) )在在a a, ,b b上一定有最大、最小值上一定有最大、最小值. .10人教A版高中数学必修 章节复习已知函数已知函数y y= =f f( (x x) )的值域为集合的值域为集合D D ，函数，函数y y= =f f( (x x) )的最大值、最小值分别为的最大值、最小值分别为
9、MM、N N，则，则MM、N N、D D的关系是的关系是( )( )题型一题型一 值域与最值的关系值域与最值的关系例例1 1A.A.D D=N N，MM B. B.MM D D N NC.C.D D N N，MM D. D.MM、N ND DD D11人教A版高中数学必修 章节复习不妨设不妨设f f( (x x)=3)=3x x(-1(-1x x33，且，且x xZ Z) ) ，可知，可知D D=-3,0,3,6,9=-3,0,3,6,9，MM=9=9，N N=-3=-3， 可知，可知，A A、B B、C C错误，选错误，选D D. .1. 1.函数的值域是函数值的集合，函数的值域是函数值的集
10、合， 函数的最值是该集合中的元素函数的最值是该集合中的元素. .2. 2.当函数当函数y y= =f f( (x x) )在其定义域上是连续函数在其定义域上是连续函数 时，时，D D=N N，MM ，其中，其中N N= =f f( (x x) )minmin， MM= =f f( (x x) )maxmax. .12人教A版高中数学必修 章节复习题型二题型二 函数值域的求法函数值域的求法例例2 2求函数求函数f f( (x x)=lg(1-)=lg(1-x x2 2) )的值域的值域. .由由1-1-x x2 200，得，得f f( (x x) )的定义域为的定义域为 x x|- |- 10,
11、-10,从而从而y y1,1,所以该函数的值域为所以该函数的值域为(-(-，-1)-1)（1,+1,+）. .17人教A版高中数学必修 章节复习已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x2 2-4-4axax+2+2a a+6(+6(a aR R). ).（1 1）若函数若函数f f( (x x) )的最小值为的最小值为0 0，求，求a a的值；的值；（2 2）若函数若函数f f( (x x)0)0对任意对任意x xR R都恒成立，求都恒成立，求 函数函数g g( (a a)=2-)=2-a a| |a a+3|+3|的最小值的最小值. .题型三题型三 函数的值域与最值的综合问题函数的值
12、域与最值的综合问题例例2 218人教A版高中数学必修 章节复习（1 1）因为因为f f( (x x)=()=(x x-2-2a a) )2 2+2+2a a+6-4+6-4a a2 2, , 且且f f( (x x) )minmin=0=0，所以，所以2 2a a+6-4+6-4a a2 2=0=0，所以所以a a=-1=-1或或a a= = . .（2 2）因为因为f f( (x x)0,)0,由由 0 0知知,2 ,2a a2 2- -a a+30+30，解得解得 a a -1. -1. 所以所以g g( (a a)=2-)=2-a a| |a a+3|=2-+3|=2-a a( (a a
13、+3)=-a+3)=-a2 2-3a+2-3a+2-( -(a a+ )+ )2 2+ (+ (a a- , - , 1),1),所以当所以当a a=-1=-1时，时，g g( (a a) )minmin= =4 4. .19人教A版高中数学必修 章节复习1. 1.因为二次函数因为二次函数f f( (x x) )在在R R上连续，所以上连续，所以 f f( (x x) )的最小值为的最小值为0 0，即，即f(xf(x) )的值域为的值域为 0,+).0,+).2. 2.由于函数的最值不过是函数值域中的由于函数的最值不过是函数值域中的 一个元素而已，故求值域的方法都适一个元素而已，故求值域的方法都适 用于求函数的最值用于求函数的最值. .20人教A版高中数学必修 章节复习1. 1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围和新变量的范围. .2. 2.均值不等式法均值不等式法: :利用基本不等式或均值不等利用基本
