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1、AXAX = = b b（3.1） 第三章第三章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法1 1 高斯消去法高斯消去法1三角形方程组的解法（3.2）（3.3） 首先将A化为上三角阵 ，再回代求解 。=(一) 高斯消去法的求解过程,可分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为 “消元”过程;然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程.下面分别写出“消元”和“回代” 两个过程的计算步骤.记Step 1：设 ，计算因子将增广矩阵第 i 行 mi1 第1行，得到其中Step k：设 ，计算因子共进行 ？ 步n 1且计算回代若A的所有顺序主子式 均不
2、为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到惟一解。利用高斯消元法求解方程组: 解：1.2 高斯消元法_例题分析利用得利用得利用得显然，方程组(4)与(1)是等价的，其系数矩阵为上三角状的，易于求解.称以上过程为高斯消去法的消去过程.通过方程组(4)的回代求解，可以得到准确解为这一过程为高斯消去法的回代过程。消元公式消元公式回代公式回代公式1.3 高斯消元法_选主元消去法Gauss消元法第 k 次消元是用第 k 个方程主元素及其选取问题来消去第 k+1,n 个方程中的 xk , 条件是 . 是实现第 k 次消元的关键元素，称为第k次消去的主元.Gauss消元法存在的问题是：例：单精度解方程组/*
3、 精确解为 和 */8个8个用Gaussian Elimination计算：8个用小主元10-9作除数，致使其它元素的数量级大大增加，舍入误差的扩散将准确解淹没了。1.3 高斯消元法_选主元消去法全主元消去法每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证 。Step k: 选取 If ik k then 交换第 k 行与第 ik 行;If jk k then 交换第 k 列与第 jk 列; 消元注注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再 换回来。算法：1. 消元过程，对(1) 选主元，找 使得 (2) 若 ，则停止，推出(3) 若 ，则换行，(4) 消元，对 有 考虑在整个矩阵范围选主
4、元，这就是所谓的全主元消去法，此时要注意的是，在做列的变换时，要同时记录当前变量的次序，以免自变量的含义不清。有回代过程：(1)若 ，则停止(2)对例 ：注注：列主元法没有全主元法稳定。例 ：列主元消去法在计算机上实现全主元素消去法意味着进行数的比较操作， 选全主元素法需要相当多的计算时间，因此常采用局部选主 元素的方法.省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。例题分析（Guass全选主元法)精确解为：x1=1.9273, x2=-0.698496, x3=0.9004233例题分析（Guass列选主元法)精确解为：x1=1.9273, x2=-0.698496, x3=0.9004233列主
5、元消去法计算步骤： 1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1); 2、对于(1) 按列选主元：选取 l 使 (2) 如果 ，交换 A(n,n+1) 的第k行与底l 行元素(3) 消元计算 ：3、回代计算4无回代过程的主元消去法算法：第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行，将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从其余n 1n 1个方程中消去x1。第二步：在第二列后n 1个元素中选主元，将第二个方程中x2的系数变为1，并从其它n n 1 1个方程中消去x2。第k步：在第k列后n k个元素中选主元，换行，将第k个方程xk的系数变为1，从其它n - 1n -
6、 1个方程中消去变量xk，消元公式为：对k = 1, 2, , 按上述步骤进行到第n步后，方程组变为：即为所求的解5无回代消去法的应用（1）解线性方程组系设要解的线性方程组系为：AX = b1, AX = b2, AX = bm上述方程组系可以写为AX = B = (b1, , bm)因此X = A-1B 即为线性方程组系的解。 在计算机上只需要增加几组右端常数项的存贮单元，其结构和解一个方程组时一样。行系数右端（2）求逆矩阵设A = (aij)nn是非奇矩阵，A 0，且令由于 AA-1 = AX = I因此，求A-1的问题相当于解下列线性方程组相当于（1）中m = n, B = I 的情形。
7、 （3）求行列式的值用高斯消去法将 A化成2 解三对角方程组的追赶法 高斯消元法的矩阵形式:Step 1:3 矩阵的三角分解及其在解方程组中的应用记 L1 =L11 =记 于是Step n 1:Lk =其中记为L记 U =由上述讨论可知，高斯消去法实质上产生了一个将系数 矩阵A分解为上三角阵与下三角阵相乘的因式分解。若A的所有顺序主子式 均不为0，则 A 的 LU 分解唯一 （其中 L 为单位下三角阵）。设有方程组AX=b,并设A=LU,于是 AX=LUX=b令UX=Y, 则 LY=b.于是求解AX=b的问题等价于求解两个方程组UX=Y和LY=b （1）利用顺推过程解LY=b, 其计算公式为:
8、（2）利用回代过程解UX=Y , 其计算公式为: 定理1：（矩阵的三角分解）设A为n n实矩阵，如果解AX = b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交换，即 ），则矩阵A可分解为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。A = LU且这种分解是唯一的。定理2：约化主元素（ , i = 1, 2, , k）充要条件是矩阵A的顺序主子式矩阵的三角分解通过比较法直接导出L 和 U 的计算公式。思路（1）对i=1,2,n （2）计算 U 的第 r 行, L 的第 r 列元素 对r =2,3,n直接三角分解法解AX = b的计算公式对于r = 2, 3, , n计算（2）计算U的第r行元素 （3）计算L的
9、第r 列元素 (r n)(1)(4)(5)4 平方根法1矩阵的LDR分解定理3：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式A = LDR其中L和R分别是n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素的不为零的对角阵，上述分解也称为A的LDR分解。2平方根法如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵，使A=LLT ，且当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。定理4：（对称正定矩阵的三角分解）将对称 正定阵 A 做 LU 分解U =uij=u11uij / uii111u22unn记为A 对称即记 D1/2 =则 仍是下三角阵定理设矩阵A对称正定，则存在非奇异
10、下三角阵 使得 。若限定 L 对角元为正，则分解唯一。注注： 对于对称正定阵 A ，从 可知对任意k i 有 。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元。用平方根法解线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法：对于 i = 1, 2, n 计算（2）求解下三角形方程组 （3）求解LTX = y3改进平方根法 其中改进平方根法解对称正定方程组的算法 令LTX = y，先解下三角形方程组LDY = b得解上三角形方程组LTX = Y得 5 向量和矩阵的范数 1向量的范数定义1：设X R n， 表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性
11、质：（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有 (1) 非负性：即对一切X R n，X 0, 0(2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n，-(1)-(2)-(3)-(4)常用的向量x的范数有下述范数的几何意义是:例例3 3 求下列向量的各种常用范数例例3 3 求下列向量的各种常用范数解解 :1*499/4*4=9即本例中显然, 211xcxxc,范数等价的定义:设A 和B 是R上任意两种范数，若存在常数 C1、C2 0 使得则称 和 等价。Rn 上一切范数都等价。定理1显然并且由于注意注意:一般有向量的等价关系 对常用范数，容易验证下列不等式： 定义2：设给定Rn中的向量序列
12、 ，即其中若对任何i (i = 1, 2, n )都有则向量 称为向量序列 的极限，或者说向量序列 依坐标收敛于向量，记为定理2：向量序列Xk依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。2矩阵的范数定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ，则称 为矩阵A的范数或模，记为 。矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， 0，当A 0时， 0（2）对任意实数和任意A，有（3）对任意两个n阶矩阵A、B有（4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有（5）对任意两个n阶矩阵A、B，有常用的矩阵范数-(5)-(6)-(7) 向量| |2的推广 Frobenius 范数-(8)
13、例例5 5求矩阵A的各种常用范数解解: :由于例例5 5求矩阵A的各种常用范数解解( (续续): ):由于特征方程为例例5 5求矩阵A的各种常用范数解解( (续续): ):由于特征方程为容易计算容易计算对矩阵元素的对矩阵元素的 变化比较敏感变化比较敏感较少使用较少使用使用最广泛使用最广泛性质较好性质较好使用最广泛使用最广泛计算较复杂计算较复杂定义定义4 4-(9)显然ReIm 设A为n阶方阵,则对任意算子范数 | | 有证明：由算子范数的相容性，得到将任意一个特征根 所对应的特征向量 代入定理3若A对称，则有证明：若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。又对称矩阵的特征根为实数，
14、即 2(A) 为非负实数，故得证。对某个 A 的特征根 成立定理4定理5.证明:略返回返回这里只证性质（7）。假定 不可逆，则线性齐次方程组 有非零解 ，从而矛盾。这说明 可逆， 存在。于是从而知证毕求解 时，A 和 的误差对解 有何影响 ？ 设 A 精确， 有误差 ，得到的解为 ，即绝对误差放大因子又 相对误差放大因子6 线性方程组的性态和解的误差分析2 Error Analysis for . 设 精确，A有误差 ，得到的解为 ，即Wait a minute Who said that ( I + A1 A ) is invertible?(只要 A充分小，使得是关键 的误差放大因子，称为 A的条件数，记为con
