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1、第7章 平面图形的几何性质概 述 构件的横截面积都是具有一定几何形状 的平面图形，构件的承载能力（强度， 刚度，稳定性等）都与平面图形的一些 几何性质（横截面积，极惯性矩等）有 关。因此需要第7章 平面图形的几何性质zcycyycdAz z07.1 静矩和形心1 静矩 同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负， 可为零！ 量纲： 2. 形心3 组合图形的静矩和形心 zcycyycdAz z0组合图形注: 1 静矩有符号. 2当Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则 该轴必然过形心 3当yc=0Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴 的静矩为零。 4由平面图形的形心必在对称
2、轴上，故平面图形对于对 称轴的静矩总是等于零。 5 静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对 于不同的坐标轴，其静矩 不同。 解：zybhc已知：矩形截面bh求： sz和 sy已知：图示图形 求： zc和yc解：1012080C1(5 60)C2(45 5)10zyyydAzz0A4.2 惯性矩和惯性半径1 惯性矩2 惯性半径3 极惯性矩yydAz z0A2 空心圆dDdA0dDdA0d1圆5 组合图形的惯性矩yydAz z0A4 惯性矩与极惯性积的关系yzydyhbc已知：矩形求：Iy和Iz解：zyDc已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.求：Iy和Iz。解：1 实心圆2 空心圆
3、d4.3 惯性积1 y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；zz-zy0dAdA2 惯性积为零的一对座标轴称为惯性主轴；3 通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；4.4 平行移轴公式yydAz z0Azcycczcycab图形对平行于形心轴y、 z轴的惯性矩和惯性积为：图形对形心轴的惯性矩 和惯性积为：yydAz z0Azcycczcycab已知：T形截面。求： Izc解：形心 c(0 yc) 1002014020cc1c2yc1yczyzc 作业 4.2 4.7 4.9第三章 扭 转31 扭转的概念外力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作 用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。 轴：以
4、扭转变形为主的杆件。变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两 个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移 。这种相对角位移称为扭转角，用表示。 32 外力偶矩的计算，扭矩和扭转图一、外力偶矩的计算已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（Nm）N功率，单位为千瓦（KW） n转速，单位为rod/min N功率 ，单位为马力 n转速，单位为rod/min二、扭转时的内力扭矩 MeMeMeMxx 右: Mx = 0, Me Mx= 0 Mx = Me Mx、 Mx 为扭矩扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢 量方向与截面外法线相同为正，反之为负。扭矩 左: Mx = 0, Mx Me = 0 M
5、x = Mex三、扭矩图例题题： 1、一传动轴作200rmin的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输 入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、 22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。一 薄壁圆筒扭转时的应力r t 为薄壁圆筒Lm rtm3.3 纯剪切现象： 1 圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但 发生了相对转动。 2 各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度（剪应变 ）,矩形歪斜成平行四边形mxTLm rtm由平衡条件试中：r为圆筒的平均半径。二、剪应力互等定理 由平衡方程 结论：在互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在 ，且数值相等；二者都垂直
6、于两平面的交线，其方向则共同 指向或共同背离两平面的交线，这种关系称剪应力互等定理 。 纯剪切应力状态:单元体上只有剪应力而无正应力的情况。 = dytdx= dxtdyLmrtm G四 E、G 和之间的关系三 剪应变、剪切胡克定律 剪应变在弹性范围内,剪切胡克定律G -剪切弹性模量lR34圆轴扭转时的应力及强度计算一、横截面上的应力1、变形几何关系 平面假设：Lmtm圆轴的各个横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变, 半径仍保持为直线,并且相邻两截面间的距离不变.表面剪应变2、物理关系内部剪应变3、静力关系截面对形心的极惯性矩（与截面形状 、大小有关的几何量）抗扭截面模量（系数） 当 =
7、 R 时极惯性矩和抗扭截面模量 （1）圆（2）空心圆d DdA0dDdA0d二、强度计算抗扭截面模量（系数） 解决三类强度问题 ：35 圆轴扭转时的变形和刚度计算扭转角：任意两横截面相对转过的角度l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)x1 扭转角(1)等直圆轴(2) 阶梯轴(3)变截面轴2 单位长度扭转角3 扭转刚度条件许用单位长度扭转角rad/m0/m例题：1、有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分 别为d1=40rmn，d2=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW ，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200r min。若材料的容许剪应
8、力=60MPa，G=8104MPa，轴 的容许单位长度扭转角为=2m，试校核该轴的强度和 刚度。2、图示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知m1=1.5kN.m， m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m， l3=1.2m；材料的=80GPa， =0.3/m，G=80GPa.(1)设计轴的直径D；(2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A3、有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心 圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮 处分别负载N2=
9、75kW，N3=75kW。若已知轴的转速为n=300rmin，容许剪 应力=45MPa；键的尺寸为10mml0mm30mm，其容许应力为 =100MPa和c=280MPa。(1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）；(2)求所需键数n。P36 扭转静不定问题已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外 力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭 刚度为G2Ip2 . 求:轴的扭矩.解:1 静力学关系2 变形几何关系mACB ab扭转静不定问题mBACBmmAxABCm m3 物理关系解出:ACBmabmBACBmmA37 非圆轴截面杆扭转的概念矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束， 翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。此时，杆各横 截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪 应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不 同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。式中 h 矩形截面长边的长度；t 矩形截面短边的长度；a 与截面尺寸的比值h/l有关的系数。 矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特 点：(a) 截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切)；（b）截面角点处的剪应力等于零；(c) 截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处，其计算式 为
