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1、1.2.2 空间间两条直线线的位置关系学习习目标标1.掌握理解公理4及其他定理；2理解并掌握异面直线线及异面直线线所成的角的概念；3掌握空间间两条直线线的位置关系，求异面直线线所成的角，用反证证法证证明命题题的方法与步骤骤课堂互动讲练知能优化训练1.2.2空 间间 两条 直 线线 的位 置关 系课前自主学案课前自主学案温故夯基1平面的本质质特征是_2公理1的符号语语言表达为为：_.无限延展性，不可度量性A，B，Al，Bll3公理2是：过过不在同一条直线线上的三点，有且只有一个平面别别忘了它还还有三个推论论呢！4公理3是证证明多个点_或多线线_的主要理论论依据5平面几何中，两直线线位置关系有_和
2、_ 共线线共点平行相交知新益能平行直线线 异面直线线 相交直线线平行直线线相交直线线异面直线线互相平行3异面直线线(1)定义义：_的两条直线线叫做异面直线线(2)画法：图图形表示为为如图图所示(通常用一个或两个平面衬衬托)不同在任何一个平面内(3)判定定理：过过平面内一点与平面外一点的直线线，与这这个平面内_的直线线是异面直线线符号表示：若l，A，B，Bl，则则直线线AB与l是异面直线线不经过该经过该 点思考感悟1若a，b，那么a与b一定是异面直线吗线吗 ？提示：不一定两直线线是异面直线线，则则不同在任何一个平面内当a，b时时，可能存在平面，使a且b，即a与b共面4等角定理空间间中如果两个角的
3、两边边分别别_，那么这这两个角_或_5异面直线线所成的角(1)定义义：已知两条异面直线线a，b，经过经过 空间间任一点O作直线线aa，bb，我们们把a与b所成的_(或_)叫做异面直线线a与b所成的角(或夹夹角)对应对应 平行相等互补补锐锐角直角(2)异面直线线所成的角的取值值范围围:_.(3)当_时时，a与b互相垂直，记记作_.思考感悟2怎样样求两异面直线线所成的角？提示：求两异面直线线所成的角需转转化为为两条相交直线线所成的角，即空间问题间问题 平面化，体现现了转转化的数学思想方法.(0, 9090ab课堂互动讲练平行公理、等角定理的应用考点突破公理4常用来证证明分别别在两个不同平面的两条直
4、线线平行，往往通过过“中间间量”即第三条直线线来实现实现 ；证证明角相等，利用空间间等角定理是常用的思考方法已知棱长为长为 a的正方体ABCDABCD中，M，N分别为别为 CD，AD的中点，求证证四边边形MNAC是梯形【思路点拨拨】 要证证明一个四边边形是梯形，需找平行，由图图可知AN与CM不可能平行，需证证MNAC.例例1 1【名师师点评评】 证证明两直线线平行的方法：平行线线的定义义：在同一平面内没有公共点的两直线线是平行直线线利用三角形中位线线平行于底边这边这 一性质质.利用公理4.利用平行四边边形对边对边 互相平行的性质质变变式训练训练 1 如图图所示，已知E，F，G，H分别别是空间间
5、四边边形ABCD的边边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边边形EFGH是矩形，求证证：ACBD.证证明：(1)如图图所示，连结连结EF，FG，GH，HE，在ABD中，E，H分别别是AB，AD的中点，EHBD，同理FGBD，EHFG，E，F，G，H四点共面(2)由(1)知EHBD，同理GHAC.又四边边形EFGH是矩形，EHGH，ACBD.两条直线线异面，有时时看上去像平行，有时时看上去像相交，所以要仔细观细观 察，培养空间间想象能力，尤其要学会判定两条直线线异面的方法异面直线的判定例例2 2如图图所示，在空间间四边边形ABCD中，ABAC，AE是ABC
6、的边边BC上的高，DF是BCD的边边BC上的中线线，求证证：AE和DF是异面直线线【思路点拨拨】 要证证两条直线线异面，可分别别用定理法及反证证法证证明法二：(反证证法)若AE和DF不是异面直线线，则则AE和DF共面，设过设过 AE，DF的平面为为.若E，F重合，则则E是BC的中点，从而有ABAC，这这与题设题设 ABAC相矛盾若E，F不重合，BEF，CEF，EF，BC.又A，D，A，B，C，D四点共面，这这与题设题设 ABCD是空间间四边边形相矛盾综综上，AE和DF不是异面直线线不成立故AE和DF是异面直线线【名师师点评评】 证证明两条直线为线为 异面直线线，方法主要有两种：(1)定理法，即
7、：a，A，B，Ba直线线a与AB是异面直线线(2)反证证法变变式训练训练 2 如图图，在长长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线线的位置关系(1)直线线A1B与直线线D1C的位置关系是_;(2)直线线A1B与直线线B1C的位置关系是_;(3)直线线D1D与直线线D1C的位置关系是_;(4)直线线AB与直线线B1C的位置关系是_.解析：(1)A1D1 BC，A1BCD1为为平行四边边形，A1BD1C；(2)A1B与B1C不同在任何一个平面内，异面;(3)D1DD1CD1，D1D与D1C相交；(4)AB与B1C不同在任何一个平面内，异面.答案：平行 异面 相交 异面求异面直线线所成的角，关
8、键键是寻寻找出相应应的平行线线所成的角，进进而构造出某个三角形，看作求此三角形一内角的问题问题 求异面直线所成的角(本题满题满 分14分)在正方体ABCDA1B1 C1D1中，求异面直线线AC1与B1D1所成的角例例3 3【名师师点评评】 (1)求两条异面直线线所成的角的数学思想是化空间为间为 平面，也就是通过过平移直线线至相交位置求角，它是立体几何问问题题的一个难难点，找异面直线线所成的角时时可综综合运用多种方法，总结总结 起来有如下“口诀诀”：中点、端点定顶顶点，平移常用中位线线；平行四边边形柱中见见，指出成角很关键键；求角构造三角形，锐锐角、钝钝角要明辨；平行线线若在外，补补上原体在外边边(2)求两异面直线线所成角的基本步骤骤是：方法感悟1判定两条直线线平行的方法：一是在同一平面内判断它们们不相交；二是在空间寻间寻 找与两已知直线线都平行的直线线2判定空间间两条直线线是异面直线线的方法：(1)定理法；(2)反证证法3求异面直线线所成角的方法是平移法，一般步骤骤是：(1)根据定义义作出或找出两异面直线线所成的角；(2)使该该角为为某个三角形的内角；(3)解这这个三角形来求角，并时时刻注意异面直线线所成角的取值值范围围若解三角形求出的是钝钝角，应应取它的补补角作为为异面直线线所成的角
