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1、2017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案2.5圆锥曲线的共同性质圆锥曲线的共同性质抛物线可以看成平面内到定点(焦点)F 的距离与定直线(准线)l 的比值等于 1(离心率)的动点的轨迹问题 1：当比值大于 0 小于 1 时轨迹是什么？提示：椭圆问题 2：当比值大于 1 时轨迹是什么？提示：双曲线圆锥曲线的共同定义为：平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离之比等于常数 e 的点的轨迹当 0e1 时，它表示椭圆；当 e1 时，它表示双曲线；当 e1 时，它表示抛物线其中 e 是离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线
2、在圆锥曲线的定义中，定点 F 是焦点，定直线 l 是准线，而且知道抛物线只有一个焦点和一条准线问题：椭圆和双曲线有几个焦点、几条准线？提示：椭圆和双曲线有两个焦点、两条准线椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程准线方程曲线方程准线方程2017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案x2a2y2b2 1(ab0)xa2c1y2a2x2b2(ab0)ya2c1x2a2y2b2(a0，b0)xa2c1y2a2x2b2(a0，b0)ya2cy22px (p0)xp2x22py(p0)yp2y22px(p0)xp2x22py(p0)yp21关于圆锥曲线共同特征的认识(1)从点的集合(或轨迹)的观
3、点来看：它们都是平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的集合(或轨迹)，只是当 01 时为双曲线(2)从曲线形状的生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线2圆锥曲线共同特征的应用设 F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点 A 到定直线的距离，由e 变AFd形可得 d.由这个变形可以实现由 AF 到 d 的转化，借助 d 则可以解决一些最值问题AFe对应学生用书P36利用圆锥曲线的定义求轨迹例 1 已知动点 M(x，y)到点 F(2,0)与到定直线 x8 的距离之比为 ，求点 M 的轨迹1
4、2思路点拨 该题有两种解法，一种是利用直译法直接代入化简，另一种是用圆锥曲线的统一定义来求精解详析 法一：由题意得 ，x22y2|x8|122017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案整理得1.x216y212法二：由圆锥曲线的统一定义知，M 点的轨迹是一椭圆c2，8，则a2ca216，a4，e ，与已知条件相符，2412椭圆中心在原点，焦点(2,0)，准线 x8，b212，其方程为1.x216y212一点通 (1)解决此类题目有两种方法：直接列方程，代入后化简整理即得方程根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程(2)当题目中给出的条件直观上看不符合圆锥曲线定义
5、时，要进行适当的变形，通过推导找出与之相关的距离问题进行验证，通过点与点、点与线间距离的转化去寻找解题途径，对于这种轨迹问题，一般都要通过定义解决1平面内的动点 P(x，y)(y0)到点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离之差为 2，求动点 P 的轨迹解：如图，作 PMx 轴于 M，延长 PM 交直线 y2 于 N.PFPM2.PFPM2.又PNPM2，PFPN.P 到定点 F 与到定直线 y2 的距离相等由抛物线的定义知，P 的轨迹是以 F 为焦点以 y2 为准线的抛物线，顶点在原点，p4.抛物线方程为 x28y.动点 P 的轨迹是抛物线2在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F1(4,0)
6、，直线 l：x2，动点 M 到 F1的距离是它到定直线 l 距离 d 的倍设动点 M 的轨迹曲线为 E.2(1)求曲线 E 的轨迹方程；(2)设点 F2(4,0)，若直线 m 为曲线 E 的任意一条切线，且点 F1，F2到 m 的距离分别为d1，d2，试判断 d1d2是否为常数，并说明理由解：(1)由题意，设点 M(x，y)，则有 MF1，x42y2点 M(x，y)到直线 l 的距离 d|x(2)|x2|，2017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案故|x2|，x42y22化简得 x2y28.故动点 M 的轨迹方程为 x2y28.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线 m 斜率不存
7、在，则切线方程为 x2，2此时 d1d2(ca)(ca)b28.当切线 m 斜率存在时，设切线 m：ykxt，代入 x2y28，整理得：x2(kxt)28，即(1k2)x22tkx(t28)0.(2tk)24(1k2)(t28)0，化简得 t28k28.又由 kxyt0，d1，d2，|4kt|k21|4kt|k21d1d28,8 为常数|16k2t2|k21|16k28k28|k21综上，对任意切线 m，d1d2是常数.最值问题例 2 若点 P 的坐标是(1，3)，F 为椭圆1 的右焦点，点 Q 在椭圆上移动，x216y212当 QF PQ 取得最小值时，求点 Q 的坐标，并求出最小值12思路
8、点拨 利用定义把 QF 转化成到准线的距离，然后再求它与 PQ 的和的最小值12精解详析 在1 中 a4，b2 ，c2，x216y2123e ，椭圆的右准线 l：x8，12过点 Q 作 QQl 于 Q，则e.QFQQQF QQ.122017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案QF PQ QQ PQ (QQPQ)12121212要使 QQPQ 最小，由图可知 P、Q、Q三点共线，所以由 P 向准线 l 作垂线，与椭圆的交点即为 QF PQ 最小时的点 Q，12Q 的纵坐标为3，代入椭圆得：Q 的横坐标为 x2.Q 为(2，3)，此时 QF PQ .1292一点通 利用圆锥曲线的定义通
9、过把到焦点的距离转化为到准线的距离，或把到准线的距离转化为到焦点的距离，从而求得距离问题的最值是这一部分的常见题型，应熟练掌握3已知双曲线1 的右焦点为 F，点 A(9,2)，M 为双曲线的动点，求 MA MFx29y21635的最小值解：双曲线离心率 e ，由圆锥曲线的共同性质知e(d 为点 M 到右准线 l 的距离)，53MFd右准线 l 的方程为 x ，而 AM MFMA deMAd.953535显然当 AMl 时，AMd 最小，而 AMd 的最小值为 A 到 l 的距离为 9 .95365即 MA MF 的最小值为.533654已知定点 A(2，)，点 F 为椭圆1 的右焦点，点 M
10、在椭圆上运动，求3x216y212AM2MF 的最小值，并求此时点 M 的坐标解：a4，b2，c2.3a2b2离心率 e .A 点在椭圆内，设 M 到右准线距离为 d，则e，即 MFed d，右12MFd12准线 l：x8.AM2MFAMd.A 点在椭圆内，过 A 作 AKl(l 为右准线)于 K，交椭圆于点 M0.则 A、M、K 三点共线，即 M 与 M0重合时，AMd 最小为 AK，其值为 8(2)10.故 AM2MF 的最小值为 10，此时 M 点坐标为(2，).332017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案圆锥曲线的准线、离心率的应用例 3 求椭圆1 的离心率与准线方程，
11、并求与该椭圆有相同准线，且离心率互x216y225为倒数的双曲线方程思路点拨 由方程确定 a，c，从而求 e 与准线，由椭圆的准线、离心率，再确定双曲线的实轴长、虚轴长，从而求出双曲线的方程精解详析 由1 知 a5，b4，c3，e ，准线方程为 y.x216y225ca35253设双曲线虚半轴长为 b，实半轴长为 a，半焦距为 c，离心率为 e.则 e ，又.1e53a2ca2c253解得：a，c，b2.125962527250 000729双曲线方程为1.81y215 625729x2250 000一点通 在圆锥曲线中，a，b，c，e，p 是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决
12、此类问题的关键5过圆锥曲线 C 的一个焦点 F 的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线 C 为_解析：设圆锥曲线的离心率为 e，M 为 AB 的中点，A，B 和 M 到准线的距离分别为d1，d2和 d，圆的半径为 R，d，R.由题意知 Rd，则d1d22AB2FAFB2ed1d22e1，故圆锥曲线为双曲线答案：双曲线6(天津高考)已知抛物线 y28x 的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点， 且x2a2y2b2双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_解析：抛物线 y28x 的准线 x2 过双曲线的一个焦点，所以 c2，又离心率为 2，所
13、以 a1，b，所以该双曲线的方程为 x21.c2a23y23答案：x21y232017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案1圆锥曲线的准线：在求解圆锥曲线的准线时，应根据曲线的方程先化为其对应的标准形式，通过标准形式确定好曲线的焦点在坐标轴的位置，求出相应的量 a、c 或 p，然后写出其准线2圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是：(1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题，应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义对应课时跟踪训练(十四) 1若双曲线1 的一条准线
14、与抛物线 y28x 的准线重合，则双曲线的离心率为x28y2b2_解析：根据题意和已知可得方程组Error!Error!e.2答案：22设 F1，F2为曲线 C1：1 的焦点，P 是曲线 C2：y21 与 C1的一个交点，x26y22x23则 cosF1PF2的值是_解析：曲线 C1：1 与曲线 C2：y21 的焦点重合，两曲线共有四个交点，x26y22x23不妨设 P 为第一象限的交点则 PF1PF22，PF1PF22，解得63PF1，PF2.又 F1F24，6363在F1PF2中，由余弦定理可求得cosF1PF2 . 6 32 6 32422 6 3 6 313答案：133设 P 是椭圆1 上一点，M，N 分别是两圆：(x4)2y21 和(x4)2y21x225y29上的点，则 PMPN 的最小值、最大值分别为_解析：PMPN 最大值为 PF11PF2112，最小值为 PF11PF218.答案：8,122017-2018 学年苏教版高中数学选修 11 讲学案4(福建高考)椭圆 ：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线x2a2y2b2y(xc)与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于3_解析：直线 y(xc)过点 F1(c,0)，且倾斜角为
