假设检验与方差分析OK

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1、第六章 假设检验与方差分析第一节 假设检验的基本原理 第二节 总体均值的假设检验 第三节 总体比例的假设检验 第四节 单因子方差分析第五节 双因子方差分析第六节 Excel在假设检验与方差 分析中的应用第一节 假设检验的基本原理一 什么是假设检验二 原假设与备择假设三 检验统计量四 显著性水平、P-值与临界值五 双侧检验和单侧检验六 假设检验的两类错误七 关于假设检验结论的理解一、什么是假设检验先举一个例子 ： 例6-1：假定咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从 正态分布N(,2)。生产线按每袋净重150克的技术 标准控制操作。现从生产线抽取简单随机样本 n=100袋，测得其平均重量为 =149

2、.8克，样本标 准差S=0.872克。问该生产线的装袋净重的期望值是 否为150克（即问生产线是否处于控制状态）?所谓假设检验，就是事先对总体的参数或总体分布 形式做出一个假设，然后利用抽取的样本信息来判 断这个假设（原假设）是否合理，即判断总体的真 实情况与原假设是否存在显著的系统性差异，所以 假设检验又被称为显著性检验。一个完整的假设检验过程，包括以下几个步骤： （1）提出假设； （2）构造适当的检验统计量，并根据样本计 算统计量的 具体数值； （3）规定显著性水平，建立检验规则； （4）做出判断。二、原假设与备择假设原假设一般用H0表示，通常是设定总体参数等于某 值，或服从某个分布函数等

3、；备择假设是与原假设 互相排斥的假设，原假设与备择假设不可能同时成 立。所谓假设检验问题实质上就是要判断H0是否正 确，若拒绝原假设H0 ，则意味着接受备择假设H1 。 如在例6-1中，我们可以提出两个假设：假设平均袋 装咖啡重量与所要控制的标准没有显著差异，记为 H0: = 150；假设平均袋装咖啡重量与所要控制的 标准有显著差异，记为H1: 150。 三、检验统计量所谓检验统计量，就是根据所抽取的样本计算的用 于检验原假设是否成立的随机变量。检验统计量中应当含有所要检验的总体参数，以便 在“总体参数等于某数值”的假定下研究样本统计量 的观测结果。检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有已知

4、的分 布，从而便于计算出现某种特定的观测结果的概率 。 例6-2 构造例6-1的检验统计量,并计算相应的样本观测值 。 四、显著性水平、P-值与临界值小概率事件在单独一次的试验中基本上不会发生， 可以不予考虑。在假设检验中，我们做出判断时所依据的逻辑是： 如果在原假设正确的前提下，检验统计量的样本观 测值的出现属于小概率事件，那么可以认为原假设 不可信，从而否定它，转而接受备择假设。至于小概率的标准是多大？这要根据实际问题而定 。假设检验中，称这一标准为显著性水平，用来表 示，在应用中，通常取 =0.01， =0.05。一般来 说，犯第一类错误可能造成的损失越大， 的取值 应当越小。 对假设检

5、验问题做出判断可依据两种规则：一是P- 值规则；二是临界值规则。（一）P-值规则 所谓P-值，实际上是检验统计量超过(大于或小于) 具体样本观测值的概率。如果P-值小于所给定的显 著性水平，则认为原假设不太可能成立；如果P-值 大于所给定的标准，则认为没有充分的证据否定原 假设。例6-3假定 =0.05，根据例6-2的结果，计算该问题的P-值 ，并做出判断。 解：查标准正态概率表，当z=2.29时，阴影面积为 0.9890，尾部面积为10.9890=0.011，由对称性可知 ，当z= 2.29时，左侧面积为0.011。 0.011/2=0.025 0.011这个数字意味着，假若我们反复抽取n=

6、100的 样本，在100个样本中仅有可能出现一个使检验统计 量等于或小于2.29的样本。该事件发生的概率小于 给定的显著性水平，所以，可以判断=150的假定 是错误的，也就是说，根据观测的样本，有理由表 明总体的与150克的差异是显著存在的。（二）临界值规则假设检验中，还有另外一种做出结论的方法：根据 所提出的显著性水平标准（它是概率密度曲线的尾 部面积）查表得到相应的检验统计量的数值，称作 临界值，直接用检验统计量的观测值与临界值作比 较，观测值落在临界值所划定的尾部（称之为拒绝 域）内，便拒绝原假设；观测值落在临界值所划定 的尾部之外（称之为不能拒绝域）的范围内，则认 为拒绝原假设的证据不

7、足。这种做出检验结论的方 法，我们称之为临界值规则。显然，P-值规则和临界值规则是等价的。在做检验 的时候，只用其中一个规则即可。P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。这主 要是：第一，它更加简捷；第二，在值规则的检验 结论中，对于犯第一类错误的概率的表述更加精确 。推荐使用P-值规则。例6-4假定=0.05，根据例6-2的结果，用临界值规则做出 判断。 解：查表得到，临界值z0.025= 1.96。由于z= 2.290六、假设检验的两类错误显著性检验中的第一类错误是指：原假设事实上正 确，可是检验统计量的观测值却落入拒绝域，因而 否定了本来正确的假设。这是弃真的错误。发生第 一类错误的概

8、率在双侧检验时是两个尾部的拒绝 域面积之和；在单侧检验时是单侧拒绝域的面积。显著性检验中的第二类错误是指：原假设事实上不 正确，而检验统计量的观测值却落入了不能拒绝域 ，因而没有否定本来不正确的原假设，这是取伪的 错误。发生第二类错误的概率是把来自=1(10) 的总体的样本值代入检验统计量所得结果落入接受 域的概率。根据不同的检验问题，对于和大小的选择有不同 的考虑。例如，在例6-1中，如果检验者站在卖方的 立场上，他较为关心的是不要犯第一类错误，即不 要发生产品本来合格却被错误地拒收这样的事情， 这时， 要较小。反之，如果检验者站在买者的立 场上，他关心的是不要把本来不合格的产品误当作 合格

9、品收下，也就是说，最好不要犯第二类错误， 因此， 要较小。在样本容量n不变的条件下，犯两类错误的概率常 常呈现反向的变化，要使和都同时减小，除非增 加样本的容量。为此，统计学家奈曼与皮尔逊提出 了一个原则，即在控制犯第一类错误的概率情况 下，尽量使犯第二类错误的概率小。在实际问题 中，我们往往把要否定的陈述作为原假设，而把拟 采纳的陈述本身作为备择假设，只对犯第一类错误 的概率加以限制，而不考虑犯第二类错误的概率 。七、关于假设检验结论的理解这就是说，在假设检验中，相对而言，当原假设被 拒绝时，我们能够以较大的把握肯定备择假设的成 立。而当原假设未被拒绝时，我们并不能认为原假 设确实成立。 第

10、二节 总体均值的假设检验一 单个总体均值的检验二 双总体均值是否相等的检验一、单个总体均值的检验（一）总体为正态分布，总体方差已知 来自总体的样本为(x1, x2, , xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，有检验统计量 （二）总体分布未知，总体方差已知，大样本 来自总体的样本为(x1, x2, , xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果样本足够大（ n30），近似地有检验统计量 （三）总体为正态分布，总体方差未知来自总体的样本为(x1, x2, , xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，有检验统计量 若自由度(n-1)30，该t统计量

11、近似服从标准正态分 布。（四）总体分布未知，总体方差未知，大样本来自总体的样本为(x1, x2, , xn)。对于假设： H0: = 0，在H0成立的前提下，如果总体偏斜适度 ，且样本足够大，近似地有检验统计量例6-5 某厂采用自动包装机分装产品，假定每包产品的重 量服从正态分布，每包标准重量为1000克，某日随 机抽查9包，测得样本平均重量为986克，样本标准 差是24克。试问在=0.05的显著性水平上，能否认 为这天自动包装机工作正常？解：第一步：确定原假设与备择假设。 H0: = 1000， H1: 1000第二步：构造出检验统计量，计算检验统计量的观测值 。由于总体标准差未知，用样本标

12、准差代替，相应检验 统计量是t-统计量。第三步：确定显著性水平，确定拒绝域 =0.05，查t-分布表(自由度n-1=8),得临界值是 t0.025(8)=2.306，拒绝域是 2.306 。第四步：判断。 由于 2.306，检验统计量的样本观测值落入接受域， 所以不能拒绝。样本数据没有充分说明这天的自动包装 机工作不正常。二、双总体均值是否相等的检验（一）两个正态总体，方差相等（但未知） 为检验两个总体均值是否相等，我们提出原假设 H0:1 = 2 。可以证明，在原假设成立的条件下， 以下检验统计量服从自由度为n1+n2-2的t-分布。即当n1+n2-2 30时，上述检验统计量近似服从标准正

13、态分布。（二）两个正态总体，方差不相等（也未知） 这时，使用检验统计量 （三）两个非正态总体，样本量足够大 那么，只要n1和n2都足够大，在原假设H0:1 = 2成 立的条件下，以下检验统计量近似服从标准正态分 布。例6-6某工厂为了比较两种装配方法的效率，分别组织了 两组员工，每组9人，一组采用新的装配方法，另外 一组采用旧的装配方法。假设两组员工设备的装配 时间均服从正态分布，两总体的方差相等但未知。 现有18个员工的设备装配时间见表6-2，根据这些数 据，是否有理由认为新的装配方法更节约时间？（ 显著性水平0.05） 表6-2 两组员 工设备 的装配时间 单位：小时 新方法（x2）353

14、129253440273231旧方法（x1）323735384144353134解：原假设与备择假设如下： H0:旧 - 新 0H1:旧 - 新 0 该题属于两个正态总体，方差相等（但未知）的情 况。因此，可利用下式计算检验统计量。查表可知，显著性水 平为0.05、自由度为16 的单侧临界值为1.7459 。t 统计量的样本观测 值2.33971.7459，因 此应拒绝原假设，即 认为新的装配方法更 节约时间。第三节 总体比例的假设检验一 单个总体比例的假设检验二 两个总体的比例是否相等的检验一、单个总体比例的假设检验 例6-7一项调查结果声称，某市小学生每月零花钱达到200 元的比例为40%

15、，某科研机构为了检验这个调查是 否可靠，随机抽选了100名小学生，发现有47人每月 零花钱达到200元，调查结果能否证实早先调查40% 的看法？（=0.05）解：由条件充分大，可以利用正态近似的公式进行 计算。H0: = 40% H0: 40%确定拒绝域临界值z0.025=1.96，Z显著水 平标准 = 0.05，所以不能拒绝H0，即没有得到足以表明 四种配方的饲料下小鸡增重水平有差异的显著证据。临界值规则：根据给定的显著水平 = 0.05 ，查表得临界 值为F0.05(3,17)=3.20。因F=1.06F0.05(2,24)=3.40283，拒绝H02 ，有充分 证据说明噪音对产量有显著影响；FAB=7.09259F0.05(6,24)=2.50819，拒绝H03，有充分 证据说明光照与噪音存在交互作用并由此对产量产 生显著影响。 第六节 Excel在假设检验与方差分析 中的应用一 假设检验 二 方差分析 一、假设检验【例6-11】使用例6-1的数据进行假设检验（ =0.05，双侧检验）。解：操作步骤如下。 （1）构造工作表，见图6-2。图中方框内为计算所 得数据，方框外为原始输入数据。（2）计算检验统计量Z。在B6单元格