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1、向量的内积的概念向量的内积的概念向量的长度向量的长度向量的正交性向量的正交性向量空间的正交规范基的概念向量空间的正交规范基的概念向量组的正交规范化向量组的正交规范化正交阵、正交变换的概念正交阵、正交变换的概念1. 预备知识：向量的内积预备知识：向量的内积下页关闭 n维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向维向量是空间三维向量的推广，本节通过定义向量的内积，从而引进量的内积，从而引进n维向量的度量概念：向量的长度，维向量的度量概念：向量的长度，夹角及正交。夹角及正交。定义定义1 设有设有 n 维向量维向量向量内积的概念向量内积的概念在在空间解析几何中，两向量的数量积空间解析几何中，两向量的数量
2、积在在直角坐标系中表示为直角坐标系中表示为推广到推广到 n 维向量即有：维向量即有：上页下页返回内积内积。内积的内积的运算规律运算规律：上页下页返回向量的长度向量的长度由由向量内积的性质向量内积的性质(v) 自然引入向量的长度。自然引入向量的长度。定义定义1 令令向量长度的性质：向量长度的性质：上页下页返回单位向量单位向量。正交向量组正交向量组：指一组两两正交的非零向量。：指一组两两正交的非零向量。向量的正交性向量的正交性 空间解析几何中两向量垂直推广到空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可维向量，可得向量的正交性概念。得向量的正交性概念。上页下页返回夹角夹角。定理定理1证证上页下页返
3、回例例1解解 已知已知 3 维向量空间维向量空间 R 3 中两个向量中两个向量上页下页返回上页下页返回就是就是 R 4 的一个正交规范基。的一个正交规范基。向量空间的规范正交基向量空间的规范正交基定义定义3上页下页返回上页下页返回向量组的正交规范化向量组的正交规范化上页下页返回上页下页返回就就得得 V 的一个正交规范基。的一个正交规范基。然后只要把它们单位化，即取然后只要把它们单位化，即取上页下页返回试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。试用施密特正交化过程把这组向量正交规范化。解解例例2 2上页下页返回再把再把它们单位化，取它们单位化，取上页下页返回解解例例 3 3它的基础解系为它的基础
4、解系为上页下页返回把把基础解系正交化，即为所求。取基础解系正交化，即为所求。取上页下页返回 由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量由于正交化过程十分繁锁，因而在求正交向量组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化组时，只要抓住向量正交的本质，可以避免正交化过程。过程。x1 + x2 + x3 = 0的基础解系为例，的基础解系为例，使得前两个分量与使得前两个分量与的前两个的前两个分量对应分量对应乘积之和为零即可，乘积之和为零即可，容易验证容易验证要求两两正交的基础解系，只要取要求两两正交的基础解系，只要取从而取从而取以例以例3中求齐次线性方程组中求齐次线性方程组上页下页返回Ex.1解解其其基
5、础解系可取为基础解系可取为上页下页返回 定义定义4 如果如果 n 阶方阵阶方阵 A 满足满足AT A = E ( 即即 A1 = AT ),那么称那么称 A 为为正交阵正交阵。 上式用上式用 A 的列向量表示，即是的列向量表示，即是上页下页返回是是正交阵。正交阵。例例4 解解 P 的每一个行向量都是单位向量，且两两的每一个行向量都是单位向量，且两两正交，所以正交，所以 P 是正交阵。是正交阵。验证矩阵验证矩阵上页下页返回这就说明：方阵这就说明：方阵A 为为正交阵正交阵的充分必要条件是的充分必要条件是A 的列的列( 行行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵向量都是单位向量且两两正交。从而正交
6、阵A 的的n 个列个列( 行行)向量构成向量空间向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基。的一个规范正交基。 定义定义5 若若 P 为正交阵，则线性变换为正交阵，则线性变换 y = P x 称称为为正交变换正交变换。 这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。这就说明：正交变换保持线段长度保持不变。从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次从而利用正交变换化二次型为标准形不会改变二次型的几何特征。型的几何特征。设设 y = P x 是正交变换，则有是正交变换，则有上页下页返回 (i). 正交矩阵正交矩阵A 的行列式的行列式 |A| = 1 或或|A| = 1; (ii). 正交矩阵正交矩阵A 是可逆的，且是可逆的，且A1 =AT ； (iii). 正交矩阵正交矩阵A 的逆矩阵的逆矩阵A1 也是正交矩阵；也是正交矩阵； (iv). 同阶正交矩阵同阶正交矩阵A 与与B 的乘积也是正交矩阵。的乘积也是正交矩阵。 正交矩阵在本章中占有重要的地位，因此，必正交矩阵在本章中占有重要的地位，因此，必须牢记正交矩阵的须牢记正交矩阵的性质性质：上页返回
