《百例全国数学评优课教案91-探索勾股定理》由会员分享,可在线阅读,更多相关《百例全国数学评优课教案91-探索勾股定理(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、课课 题题 1、1 探索勾股定理探索勾股定理教材教材义务教育课程标准实验教科书(北师大版)八年级数学上册第一章第 1 节 P2 P6。 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系,将形与数密切联系起来,在数学的 发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续,同时也是学生认识无 理数的基础,充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外,历史上勾股定理的 发现反映了人类杰出的智慧,其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 授课教师授课教师: : 教学目标教学目标 1、知识与技能目标:掌握直角三角形三边之间的数量关系,学会用符号表示。学生在经 历用数格子与割补等办法探索勾股定理
2、的过程中,体会数形结合的思想,体验从特殊到一般的 逻辑推理过程。 2、能力目标:通过分层训练,使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算,在解决实 际问题中掌握勾股定理的应用技能。3、情感目标:通过数学史上对勾股定理的介绍,激发学生学数学,爱数学,做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中,感受数学之美,探究之趣。教学重点、难点教学重点、难点重点:用面积法探索勾股定理,理解并掌握勾股定理。 难点:计算以斜边为边长的大正方形 C 面积及割补思想的理解与应用。 教学方法教学方法 选择引导探索法,采用“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模式进行教学。 教具准备教具准备多媒体课件;若干张已画好直角
3、三角形的方格纸;剪刀;已剪好的纸片若干张。 教学过程教学过程 一、创设情境,引入新课 (师)(师)请同学们观察动画,我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通,在 2002 年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标,它为什么有如此大的魅力呢?它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢?这节课我就带领大家一起探索勾股定理。 (设计意图:用一段生动有趣的动画,点燃学生的求知欲,以 景激情,以情激思,引领学生进入学习情境。 ) 二、师生互动,探究新知 活动活动 1 1:(观察图 1)你知道正方形 C 的面积是多少吗? 你是怎样得出上面结果的呢?(生)独立思考后交流,采用直接数方格的办法,或者是 分割成几个等腰直角
4、三角形的方法计算正方形 C 的面积。 (多 媒体演示)(过渡语)(过渡语)同学们用数格子的方法发现了正方形 C 的面积,那么对于 下面图 2 中的正方形 C, “数方格子”的方法还行得通吗?下面我们 一起来研究。活动活动 2 2:(观察你手中方格纸上的图 2)正方形 C 的面积是多少? 你是怎样得出结果的呢? (师)(师)我们用数方格子的方法能算出正方形 C 的面积吗?参考弦图,你想到什么好方法了 吗?(引出“割”法)大家想一想还有没有其它方法呢?受“割”法的启示,我们能通过“补”的方法得出 结论吗? (生)独立思考,在预先准备的方格纸上将图形剪一剪、拼一拼,用分割成四个全等直角 三角形的方法
5、或将正方形 C 补成边长为整数的大正方形的方法求出斜边上的正方形 C 的面 积。接着将成果与同伴交流,学生代表发言。活动活动 3: 分工 1:(如图 3)请每个小组两名组员试着将手中的已剪好的四个全等的四边形拼成 正方形 B。分工 2:(如图 4)另两名组员再将同样的四个四边形和正方形 A 一起拼成一个大正 方形 C。图图 3 图图 4 思考:思考: 1 1、等腰直角三角形、等腰直角三角形 (师)(师)观察图 5,对于等腰直角三角形,将正方形 A、正方形 B 和已计算的正方形 C 的面 积填入下表,它们的面积有什么关系?三角形三角形的形状的形状正方正方 形形 A 面积面积正方形正方形 B 面积
6、面积正方正方 形形 C 面积面积 一般直一般直 角角 三三 角角 形形A结论:正方形 A 面积 + 正方形 B 面积 = 正方形 C 面积2 2、直角边长为整数的一般直角三角形、直角边长为整数的一般直角三角形 (师)(师)观察图 6,直角边长为整数的一般直 角三角形,正方形 A、正方形 B、正方形 C 面 积又有什么关系呢?结论:正方形 A 面积 + 正方形 B 面积 = 正方形 C 面积3 3、任意直角三角形、任意直角三角形 (师)(师)那么,对于直角边长不是整数的一般直角三角形上面的结论还成立吗?(出示图 7) 生合作:试着将已拼好的正方形 B 和大正方形 C 同正方形 A 拼成如图 7
7、所示的图形。图图 7 图图 8 (师)(师)同学们从活动中都得出正方形 A、正方形 B、正方形 C 面积有什么关系?(生)小组交流,学生代表发言。 结论:正方形 A 面积 + 正方形 B 面积 = 正方形 C 面积 师点拨:这里的四个全等的四边形是正方形 B 按如图 8 所示的方法分割的。 师小结师小结:通过以上活动,我们发现以任意直角三角形的两条直角边为边长的正方形面积之 和都等于以斜边为边长的正方形面积。 (师)(师)下面我们运用几何画板进一步验证上面的结论(改变直角三角形的三边长度,同学 们发现结论仍然成立) 。 4 4、正方形面积与直角三角形三边关系、正方形面积与直角三角形三边关系 (
8、师)(师)若我们设两条直角边长分别为 a、b,斜边为 c,你能用三角形的边长来表示这三个 正方形的面积吗?(将正方形的面积和三角形的边长联系起来) (生)正方形 A 面积为 a2,正方形 B 面积为 b2,正方形 C 面积为 c2。三角形三角形的形状的形状正方形正方形 A 面积面积正方形正方形 B 面积面积正方形正方形 C 面积面积 等腰直角等腰直角 三三 角角 形形ABCAC(师)(师)你发现直角三角形三边长度之间有什么联系? (生)分组讨论,交流并发言。结论:由于 正方形 A 面积 + 正方形 B 面积 = 正方形 C 面积,所以 a2 + b2 = c2 即两 条直角边的平方和等于斜边的
9、平方。 5 5、认识直角三角形三边关系、认识直角三角形三边关系 (师)(师)利用几何画板展示任意直角三角形,我们发现:无论三边长度如何变化,两条直 角边的平方和总是等于斜边平方。(师)(师)请将上述结论用数学语言表述并符号化。 (生)学生讨论,交流并发言。如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a a,b b,斜边为,斜边为c c,那么,那么a a2 2 + + b b2 2 = = c c2 2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(师)(师)在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾“,下半部分称为“股 “。我国
10、古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾” ,较长的直角边称为“股” ,斜边称 为“弦” 。所以我国古代把上面的定理称为“勾股定理” 。再请学生看一看,读一读:早在 三千多年前周朝数学家商高就提出勾三、股四、弦五,并在后来被记载在中国古代著名数 学著作周髀算经之中,一千多年后西方的毕达哥拉斯证明了此定理。(设计意图:在探索定理的过程中, 为了突出本节重点,解决难点,我将按下面两 个层次设计探索过程。第一方面由等腰直角三角形到一般直角三角形三边关系的研究,体 现从特殊到一般的方法,第二方面引导学生用割、补等方法计算正方形第二方面引导学生用割、补等方法计算正方形 C C 面积到用拼图的面积到用拼图
11、的 方法探索直角三角形三边关系,展示由简单到复杂的思想,探索出勾股定理。方法探索直角三角形三边关系,展示由简单到复杂的思想,探索出勾股定理。 ) 三、回归生活,应用新知 要求:面向全体学生,部分学生可选择从自己需要的层次做起。A 层:层: 1、 在ABC 中,C=90(1)若 a=8,b=6,则 c= ; (2)若 c=20,b=12,a= 。 2、若直角三角形中,有两边长是 3 和 4,则第三边长的平方为( ) A 25 B 14 C 7 D 7 或 253、情景探索 小明的妈妈买来一部 29 英寸(74 厘米)的电视机,小明量 了电 视机的荧屏后,发现荧屏只有 58 厘米长 46 厘米宽,
12、他认为售货 员搞 错了对不对? (582=3364 462=2116 74.0325480) 4、一根旗杆在离地 9 米处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部 12 米处,旗杆折断之前有多 高? (设计意图:本层是基础性习题,强化学生掌握在直角三角形中已知任意两边,都能利用 勾股定理求出第三边的重要解题方法,以及定理的实际应用。以当堂检测学生的达标情 况。 ) B 层:层: 1、两个边长分别为 4 个单位和 3 个单位的正方形连在一起的“L” 形 纸片,请你剪两刀,再将所得图形拼成一个正方形。2、做一个长,宽,高分别为 50 厘米,40 厘米,30 厘米的木 箱,一根长为 70 厘米的木棒能否放入,为
13、什么?试用今天学过的知识说明。 ( 70.7125000 ) (设计意图:本层题目难度稍有提高,加强探索性和趣味性,以检测学生对定理灵活运 用能力。 )C 层层: 阅读分析题:迄今为止,关于勾股定理的证明方法已有 500 余 种。其中,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。 后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明, 就把这一证法称为“总统”证法。下面我们一起来了解这一证法。 abcba21221)(2122 222cba此证明方法的核心思想是“面积之间的等量关系” 。右图是历史上著名 的“弦图” ,你能通过此图,利用面积之间的等量关系来证明勾股定理吗?(设计意
14、图:本层题目面向学有余力的学生,注重思维开放性的培养。其中勾股定理总 统证法和弦图证法,不但拓展了学生的视野,激发了学生的探究热情,而且使学生感受 到勾股定理证明的博大精深。 ) 四、感悟收获,布置作业: 1、你这节课的主要收获是什么? 2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元素之间的关系? 3、在探索和验证定理的过程中,我们运用了哪些方法? 4、你最有兴趣的是什么?你有没有感到困难的地方? (设计意图:梳理本节课的重要方法和知识点,加深对本节知识的理解。 ) 五、教学评价: 1、在探索勾股定理的过程中,老师应了解学生的创造性的解题思路,并能给予充分的肯定, 同时记录在案。 2、在分层训练中,对
15、学生的不同水平的解答老师应给于肯定和适当的鼓励,并记录在其成 长记录袋中,以积累学生的学习成果。 六、课后作业: 1、将课堂训练和课本中未完成的题目练完。 2、在网上搜集有关勾股定理的资料和其它的验证方法。 参考网址 http:/ http:/ 3、利用周末去深圳科学馆参观“勾股弦定理”模型。 六、设计说明: 1、本节课是公式课,根据学生的知识结构,我采用的教学流程是:提出问题实验操作 归纳验证分层训练布置作业五部分,这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程,让学 生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。2、探索定理采用了面积法,引导学生利用实验由特殊到一般对直角三角形三边关系的研究, 得出结论。这种方法是认识事物规律的重要方法之一,通过教学让学生初步掌握这种方法,对 于学生良好思维品质的形成有重要作用,对学生的终身发展也有一定的作用。3、关于练习的设计,我采用分层训练