数列极限及其性质－金锄头文库

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1、六六. 数列极限及其性质数列极限及其性质 a n的变化过程: n+, 简记为 n. +)()(,)(0,发散无一定变化趋势发散有无限极限无限减小无限增大收敛的距离无限接近于与某数有一定变化趋势的变化趋势 nnnnaaaaaa a na (n) a n与 a 的距离无限接近于 0 | a n a |0(n) n 充分大时 | a n a|小于任意给定的正数 0 从某个 n 开始都有| a n a | 0 NN n N : | a n a | 0)+ = +, a ( 0); 2) lim q n = 0 (|q| +=+an. 间接法: + nan22 1 = +,/,/)(222222nana

2、nanna或: 左 nnn nn nn nnnn4 2/2 482 482242 224 222. 4) .1272 ) 12(272 25 1245 333333nnn nn nn nnnn方法: 找 b n使|a na| bn 且从 bn . PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 3. 证明: a n0, a na aan. 一般地kknaa. 4. 证明: 1) limna= 1(a 0); 2) limnn= 1; 3) lim n pq n = 0 (|q| 1 时设 a n =na1, 则 a n 0, a = (1 + a n)n1 + na n, 0

3、 p. 因为 n时nn1, 所以nkn1 =+ +babbabaabababa nnnn6. 求极限: 1) nnnn1021+L; 2) nnnn+ + +2221 21 11L; 3) nnn1 ) 1(; 4)! nan. 解 1) 1010n10,10. 一般地, 见 p.34.9. 2) 122+ +nn nnnL, 1. 3) nnnn11, 1. 4) 取 k |a|, n k 时 0 0 NN n N : | a n| m 时naaN+L1N +m 时naaan+L21N : anU . 因为 nk+(k), 故K Nk K: nk N , 从而knaU , 即 klimkna

4、= a . 对a的任一邻域U, KNk K: a2kU, a2k+1U, 故n 2K + 1: a nU . 10. 证明: 1) q1 时q n发散; *2) sin n发散. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建八八. 数列极限存在的条件数列极限存在的条件单调列单调列. 有界单调列定理有界单调列定理上(下)有界的增(减)列收敛, 上(下)无界的增(减)列发散于+(). 证设a n有上界, 增, a =nsupan, 则(由“sup“的含义)1n : a na ; 2 0 aN a , 故

5、 n N : a 0 a N M , 故 n N : a na N M , 即 a n+. Cauchy 列列.Cauchy 准则准则: 收敛列 Cauchy 列. 证“. Bernoulli 不等式不等式: (1 + x)n 1 + nx (x 1, nN), 等式 x = 0 或 n = 1. 数 e . 证nnna)11 ( +=用; 1)11 (1)11)(111 (221=+= nnnn nnaannn 1)11 (+n ne 1)11 (1)111 (1221+= nn nn nnn aannn. n n)11 ( +=+ nnnn nnaaaaaa, 或121 2111 21=+

6、=+nnnn aaaa, lim a n= 2. 例 2. a1 3, a n = 113(21+ nnaa)3a n3. a na n- 1= 12 13 21nn aa0. 例 3. .)13(lim,)11 (lim21ennenn nn n=+=例 4.(p.40.5) 若 a n, b n, lim (a n b n) = 0, 则 lim a n与 lim b n存在且相等. 证先证n : a nb n: 若N 使 a N b N, 则n N : a na N b Nb n, a n b n a N b N 0, lim (a n b n) 0, 与条件矛盾. 因此a n有上界(

8、 U 存在+的去心邻域 V nV : f (n)U . 类比: 0limxxf (x) = a 对 a 的任一邻域 U 存在 x0的去心邻域 V xV : f (x)U . 1x0 = +, aR 时 U = (a , a + ), V = (M , +), 有( - M 定义): +xlimf (x) = a 0 M 0 x M : | f (x) a| 0 M 0 x M: f (x) L . 2x0R, aR 时 U = (a , a + ), V = (x0 , x0 + ) x0 , 有( - 定义): 0limxxf (x) = a 0 0 当 0 0 M 0 当|x| M 时|

9、f (x) a| xxxxxxxxxx0). 注求时把| f (x) f (x0)| 1, 上式1,x+35, (*) 0, |x| 0 使|x| N : x nV , 从而 f (x n)U . . 设 0limxxf (x) a, 则存在 a 的邻域 U , 对 x0的任一去心邻域 V, 存在 xV 使 f (x) U. 若 x0R, 则取 V 为(x01/n , x0 + 1/n ) x0, 于是有 x nx0, x nx0, 使 f (x n) U, 从而 f (x n) 不a. 若 x0 = +, 则 xn(n, +) 使 f (x n) U. 类似地对 x0 = . 8.(单调

10、有界定理单调有界定理) 设 f 在(a, b)上增, 有上界, 则 f (b)(b = +时为 f (+)存在. 证设 ),(sup bax=f (x), 则 R, 0 x0(a , b)使 f (x0) , 故 x0 0 0 x, x“U 0 (x0, ) :| f (x )f (x“ )| N : 0 N : | f (xm) f (xn)| 0 1 0 当 0 0 当 0 0, a 0); 3) axlimx a = a a (x 0, R). 证 1) e xe a = e a (e xa1)0 (xa). (e xa是 e u与 u = xa 的复合, u0.) 2) ln x l

11、n a = ln (x/a)ln 1 = 0. 3) x = e ln xe ln a = a . 例 2(幂指函数的极限) 若 0limxxf (x) = a 0, 0limxxg(x) = b, x0R*, 则 0limxxf (x) g (x) = 0limxxe g(x)ln f (x) =)(ln)(lim 0exfxgxx= e blna = a b. 十一十一. 例例对多项式 P (x), 由极限的四则运算法则可知 axlimP (x) = P (a). 又,xlimP (x) =, xlimx = 0 ( 0), xlim =+. , 0, , ,/0000nmnmnmbax

12、bxanmLLPDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建求函数极限时, 可以应用即将知道的结论: 若 f 为初等函数, f (a)有意义, 则 axlimf (x) = f (a). 00,型: (1) 对有理式与无理式, 变形约去引起 0 或的因子; (2) 应用已知极限. )2) 1(.(1lim21+=+nn xnxxxnxL )31.(11lim30=+xxx )0.(11lim3 =+xxx 1sinlim0=xxx. ).(sinlim0=xxx 0limx21cos1 2= xx. 0limx.sin3sin5sin xxx (=2) )23.(2sin3

13、sinlim=xxx0, 型: 化为 0 / 0 或/型. )21).(1(lim2=+xxxx) 1).(13 11(lim31=xxx) 1).(lim=+xxxxx).(sinlim=nnn1型: =+=+x xx xxx)11 (lim)1 (lim10e. 设 x n+, 则由 0 0)且 f (0+) = f (+) = f (1). 证明 f (x) = f (1) (x 0). 证若 a 0 使 f (a) f (1), 则 a1. 由 f (a) = f (a 2) = = f (a 2 n) = , 得 f (a 2 n) f (a) f (1), 而 1 a 0 时 a 2 n0, a 1 时 a 2 n+, 与条件矛盾. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建十三十三. 连续与间断连续与间断设 f 在x0的某邻域内有定义. f在x0连续连续d 0limxxf (x) = f (x0) 0 0 当|x x0| 0时在x = 0处连续, p0时在x = 0处第二类间断. 例 6. 确定 a, b, c 的值, 使 =1 , 1, 0 0,1,| 0 , 1 , 1)(2xx

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