方差分析讲义

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1、 方差分析 单因子方差分析 双因子方差分析(等重复和无重复)或（有交互和无交互）例1 设有两台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示.表9.1 铝合金板的厚度 机器机器 0.236 0.238 0.248 0.245 0.2430.257 0.253 0.255 0.254 0.261在每一个水平下进行独立试验,结果是一 个随机变量.问题分析检验假设其拒绝域的形式为例2 不同的教学方法对考试平均分的影响是否显著？ 试验指标:考试平均分因素:教学方法 水平:不同的三种方法是因素的三个不同的水平例3 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.

2、 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得 射程如下（以海里计）.问不同燃料、不同推进器对射程 的影响是否显著？交互作用是否显著？ 表9.3 火箭的射程 推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.556.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.065.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4表9.3 火箭的射程 推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.556.2

3、 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.065.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4 试验指标:射程因素:推进器和燃料 水平:推进器有3个,燃料有4个. 双因素试验试验目的考试平均分教学方法123地区北京天津上海重庆1061021351181038271521001066685例4 试分析不同地区不同教学方法对考试平均分的 影响是否显著。方差分析根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.试验指标试验中要考察的指标. 因 素影响试验指标的条件.因素可 控因素不可控因素水 平因素所处的状态.单因素试验在一项试验中

4、只有一个因素改变.多因素试验在一项试验中有多个因素在改变.在每一个水平下进行独立试验,结果是一 个随机变量.例1问题分析 将数据看成是来自三个总体的样本值.检验假设检验假设进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知.问 题检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.解决方法方差分析法,一种统计方法.误差平方和（随机误差）效应平方和（随机误差、系统误差） 总变异组内变异组间变异其中：组内变异由个体差异或者 说由误差引起的;组间变异由各因素 所引起；拒绝域为单因素试验方差分析表 方差来源因 素A误 差总 和平方和 自由度 均 方F 比下面检验假设拒绝域形如拒绝域为数学模型表 9.

5、4观察结果水平样本总和样本均值总体均值假设单因素试验方差分析的数学模型 需要解决的问题(1)检验假设数据的总平均总偏差平方和（总变差）二、平方和的分解得到方差分析表误差平方和（随机误差）效应平方和（随机误差、系统误差） 总变异组间变异组内变异其中：组间变异由各因素所引起 ；组内变异由个体差异或者说由误 差引起的。下面检验假设拒绝域形如拒绝域为单因素试验方差分析表 方差来源因 素A误 差总 和平方和 自由度 均 方F 比例4 设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄 板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结 果如下表所示. 表9.1 铝合金板的厚度 机器机器机器 0.236 0.238

6、0.248 0.245 0.2430.257 0.253 0.255 0.254 0.2610.258 0.264 0.259 0.267 0.262解方差分析表 方差来源因 素A误 差总 和平方和自由度均 方F 比0.0010533332.920.000526670.000016212140.0001920.00124533各机器生产的薄板厚度有显著差异.单因素方差分析表spss：方差相等检验可以检验不同因素对观察变量产生了显著影响。判断哪个组和其他组 有显著的均值差别， 方法是两两作比。不同组的方差不同时选择.认为三个组总体方差相等。方差齐性的检验.至少一个组和其他组有显著差别.两两作比.

7、二、双因素等重复试验的方差分析表9.3 火箭的射程 推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.556.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.065.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4r=4,s=3,t=2误 差 平方和因素 A 的 效应平方和因素 B 的 效应平方和因素A,B的交 互效应平方和要解决的问题：检验假设确定拒绝域表 双因素试验的方差分析表 方差来源平方和自由度均 方F 比因素 A因素 B交互作用误 差总 和双因素等重复试验方差分析

8、表spss：三、双因素无重复试验的方差分析检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析双因素无重复试验 的方差分析.方差 来源平方和自由度均 方F 比因素A因素B误 差总 和双因素无重复试验方差分析表spss：二、双因素等重复试验的方差分析（理 论）表 9.8因素A因素B模型假设记号总平均要解决的问题：检验假设分解平方和得到方差分析表误 差 平方和因素 A 的 效应平方和因素 B 的 效应平方和因素A,B的交 互效应平方和确定拒

9、绝域表9.9 双因素试验的方差分析表 方差来源平方和自由度均 方F 比因素 A因素 B交互作用误 差总 和三、双因素无重复试验的方差分析检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析双因素无重复试验 的方差分析.表 9.14 因素B 因素A假设检验假设双因素无重复试验的方差分析表 方差 来源平方和自由度均 方F 比因素A因素B误 差总 和例2 下面给出了在某5个不同地点、不同时间 空气中的颗粒状物(以mg/m3计)的含量的数据:因

10、素B(地点)因 素 A(时间)1975年10月1976年 1 月1976年 5 月1996年 8 月2891234512752513082272007682686367695956819667645659545851704237331376290278设本题符合模型中的条件,试在显著性水平为 0.05下检验:在不同时间下颗粒状物含量的均值有 无显著差异,在不同地点下颗粒状物含量的均值有 无显著差异.结论:时间和地点对颗粒物的含量均有显著影响.在MATLAB中的求解 函数:anova1 格式:p=anova1(x)说明:对样本X中的多列数据进行单因素方差分析, 比较各列的均值,返回“零假设”成立

11、的概率值,如果 概率值接近于零,则零假设值得怀疑,表明各列的均 值事实上是不同的.源程序: x=0.236,0.238,0.248,0.245,0.243;0.257,0.253,0.255,0.254,0.261;0.258,0.264,0.259,0.267,0.262; p=anova1(x)程序运行结果 p=1.3431e-005无偏估计五、未知参数的估计例5解例6 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表9.2 电路的响应时间 类型类型类型 19 15 22 20 1820 40 21 33 2716 17 15 18 26类型 18 22 19

12、设四种类型电路的响应时间的总体均为正态, 且各总体的方差相同,但参数均未知,各样本相互独 立.在MATLAB中求解 x=19,22,20,18,15,20,40,21,33,27,16,17,15,18,26,18,22,19; y=1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4; p=anova1(x,y) 结果例 一火箭使用四种燃料,三种推进器作射程 试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两 次,得射程如下（以海里计）.不同燃料、不同推进器下 的射程是否有显著差异？ 表9.3 火箭的射程 推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.2 52.6 49

13、.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.556.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.065.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4二、双因素等重复试验的方差分析例 一火箭使用四种燃料,三种推进器作射程 试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两 次,得射程如下（以海里计）.不同燃料、不同推进器下 的射程是否有显著差异？ 表9.3 火箭的射程 推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.556.2 41.2 54.1 50.5 70.

14、9 73.2 58.2 51.065.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4在MATLAB中求解 函数:anova2 格式:p=anova2(x,reps)说明:执行平衡的双因素试验的方差分析来比较x 中两个或多个列或行的均值.不同列的数据代表某 一因素的差异,不同行的数据代表另一因素的差异. 如果每行列对有多于一个的观察值,则变量reps指 出每一单元观察点的数目,每一单元包含reps行.源程序: a=58.2,56.2,65.3;52.6,41.2,60.8;49.1,54.1,51.6;42.8,50.5,48.4;60.1,70.9,39.2;58.3

15、,73.2,40.7;75.8,58.2,48.7;71.5,51.0,41.4; p=anova2(a,2) 运行结果: p=0.0035 0.0260 0.0001对结果的解释p=0.0035 0.0260 0.0001各试验均值相等的概率均为小概率,故可拒绝 相等假设,认为不同燃料或不同推进器下的射程有 显著差异,即燃料和推进器这两个因素对射程的影 响都是显著的.并且交互作用效应是高度显著的,因此在实际 工作中应该选择最优的搭配方式,例如A4与B1,射程为75.8,71.5 或者A3与B2,射程为73.2,70.9.例2 在某种金属材料的生产过程中,对热处理 温度(因素B)与时间(因素A)各取两个水平,产品强度 的测定结果(相对值)如表所示.在同一条件下每个实 验重复两次.设各水平搭配下强度的总体服从正态 分布且方差相同.各样本独立.问热处理温度、时间 以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影 响(取显显著性水平为为0.05)? BB1B2AA1A238.0 38.6(76.6)47.0 44.8(91.8)45.0 43.8(88.8)42.4 40.8(83.2)168.4172165.4175340.4