随机需求下的闭环供应链网络均衡模型

A Supply Chain Network Equilibrium Model with Random DemandsJune Dong and Ding Zhang Department of Marketing and Management School of Business State University of New York at Oswego Oswego, New York 13126 Anna Nagurney∗ Department of Finance and Operations Management Isenberg School of Management University of Massachusetts Amherst, Massachusetts 01003e-mail: nagurney@gbfin.umass.edu May 2002; revised October 2002 Appears in European Journal of Operational Research 156 (2004), 194-212.随机需求下的闭环供应链网络均衡模型随机需求下的闭环供应链网络均衡模型摘要摘要在这篇论文中，我们构造了由制造商和零售商组成的闭环供应链模型，这 个模型中零售商的需求是随机的。

我们规范不同制造商的最佳行为，导出均衡 条件和建立有限空间的变分不等式公式我们提出了存在唯一性结果的定性性 能的平衡模式和一种建立在此条件下保证收敛的计算程序最后，我们通过举 出一些计算出均衡价格和产品发货的数值例子说明了这个模型这是第一个在 随机需求下建立系统，定性分析和获得计算结果的供应链网络均衡模型关键字：关键字：供应链管理，变分不等式，网络均衡，随机需求1 引言引言供应链建模和分析的话题无论从实践还是研究方面，由于其在网络经济中 出口的高效、生产的划算、商品和服务的流动，都一直引起人们极大的兴趣 由于涉及制造、运输和物流以及零售/销售方面的供应商、制造商、零售商和消 费商的多层次网络，研究供应链所运用的途径常常是多学科性质的 供应链本身的文献是很多的(cf. Stadtler and Kilger (2000) and the references therein) ，由于在交易中问题的复杂性和众多的决策者，相关研究既是概念性 的(see, e.g.,Poirier (1996, 1999), Mentzer (2000), Bovet (2000))，又是分析性的(cf. Federgruen and Zipkin (1986), Federgruen (1993), Slats et al. (1995), Bramel and Simchi-Levi (1997),Ganeshan et al. (1998), Miller (2001), Hensher, Button, and Brewer (2001) and the references therein)。

近来,分散式供应链网络模型的发展已经有了显著的影响,在此过程中,各决 策者间复杂性的相互作用被人发现,并进行了深入的研究例如，Lee and Billington (1993)强调为了分散模型发展的需要,提供了一个广义的网络结构和对 于供应链研究的简单计算另一方面，Anupindi and Bassok (1996)集中精力研究 由信息共享的分散零售商组成的具有挑战的系统反过来，Lederer and Li (1997)研 究生产产品或者为对延迟时间敏感的消费者服务的公司之间的竞争模型 随着市场均衡条件作为一种有限空间的变分不等式问题可以制定和以统一 的方式研究，Nagurney, Dong, and Zhang (2002a)在网络上研发了由三层决策者 组成的供应链网络均衡模型和确定了受控制的反映由制造商、零售商和消费者 组成的决策者的最优性条件的均衡条件这样一个建模方法后来通过 Nagurney,Loo, Dong, and Zhang (2002)以公司对公司和公司对消费者的形式被引 申到电子商务和通过 Nagurney et al. (2002)引申到不均衡动力学最近，Dong, Zhang, and Nagurney (2002)在供应链网络均衡建模和计算中引入了多重决策。

在 Nagurney and Dong (2002)的书中可以找到金融和运输模型上的关联和补充模型 的附加条件Nagurney (1999)的一本书中可以看到特别强调网络经济学背景下 的变分不等式 然而，上述供应链网络的变分不等式模型假定他们确切的知道成本、收入、 利润的潜在函数相比之下，在这篇论文中，我们为不同水平下的零售商的需 求函数放松了假设条件这个结果是很重要的,因为,在实践中,零售商可能不知 道一种产品的需求,不过通过拥有一定的信息可以确定，例如以历史数据和/或预 测数据为基础的密度函数并且，在这种扩展下，我们不仅能够推导出制造商 和零售商下的最优性条件，而且可以确立在随机需求条件下满足有限空间的可 控制的变分不等式均衡条件此外，为了建立定性性质的均衡价格和产品运输 模式,我们提供合理条件下的潜在函数更进一步，我们给出了满足算法收敛的 条件 我们注意到Mahajan and Ryzin (2001)考虑到在不确定需求和注重库存的零 售商之间的竞争但是，我们假设产品的价格是外生的 相比之下，在这篇论 文中，我们假设竞争，不确定需求，和提供一种方式在零售商和制造商之间决 定均衡价格。

接着，Lippman and McCardle (1997)为公司研发了一个在假定随机 需求条件下的库存竞争模型在本文中,我们允许每个零售商处理他们自己的不 确定需求和参与竞争,这看起来更接近实际最近，Iida (2002)提出了一个在不 确定生产能力和不确定需求的生产库存模型 本文的结构如下，第二节，我们在零售商层节点构造了随机需求下的供应 链网络模型我们模拟了面对随机需求的制造商和零售商的行为制造商都假 设在一个非合作条件下与其他制造商竞争，生产同质产品利润最大化他们要 去确定他们的利润最优化的输出和产品的发货给零售商在他们自己的销售网 点内面临产品随机需求的零售商，也假设在惩罚相关产品短缺以及与超额供给 情况下的利润最大化零售商之间也存在一个非合作态度下的竞争在第二节, 我们导出了最优性条件和建立了管理均衡概念 我们然后给出了变分不等式公式，这在第三节中被用来对均衡状态和函数 性能的定性分析，利用算法的收敛方案来解变分不等式第四节我们概括了算 法和给出了算法结果算法接着出现在第 5 节用来计算均衡价格和产品运输模 式在几个供应链的例子中第 6 节我们总结了本文研究的结果和今后的一些研究设想。

2 随机需求下的供应链网络均衡随机需求下的供应链网络均衡在本章节，我们在零售商层次上研发了随机需求下的供应链网络模型在 我们的结构框架中典型决策者是制造商和零售商，在不同的零售网点消费者表 现为随机需求的产品供应链网络结构如图 1 所示图 1 供应链网络结构 特别地，我们考虑个制造商涉及一种同质产品的生产，这种产品被个mn 零售商购买，接着零售商通过随机需求函数卖给消费者我们用 表示特殊的制i 造商和用表示特殊的零售商如图 1 所示，供应链网络由两层节点组成，顶j 层节点是制造商，底层节点是零售商供应链网络连线表示运输/交易连线 现在我们来讨论供应链中各种决策者的形为然后我们再来看零售商 制造商和他们的最优性条件制造商和他们的最优性条件表示制造商 的产品正的生产输出量，所有制造商生产输出量的集合表示iqi为列向量我们假设每个制造商 有一个生产成本函数，一般说来，这mRqiif个函数依赖于整个生产输出向量，也就是：（1）iqffii),(一个制造商可能把产品运往所有的零售商，制造商 和零售商之间的产品ij发货数量用表示我们把所有制造商和所有零售商间的产品发货量表示为ijq的空间列向量表示。

nmQ我们把连接每个制造商和零售商对的交易成本表示为交易成本包),(jiijc括产品的运输成本我们假设制造商和零售商对的交易成本依赖于本对产品的 流动量，可以表示为：（2）jiqccijijij,),(制造商 的生产数量必须满足下面的流动守恒方程：i（3） njiji1式子表明制造商 的生产数量等于制造商卖给所有零售商的数量总和i 制造商 引发的总成本等于生产成本的总和加上交易成本总和接着，他的i 收益等于制造商为产品索要（零售商想要支付）的价格乘以所有的零售网点从制造商购买的产品总量表示制造商 对零售商为产品索要的价格，随后ij1ij在论文中我们讨论了均衡条件下将会表示为我们把制造商的订价表示为 ij1列向量nm1注意到流动守恒方程（3） ，我们可以表示制造商 的利润最大化准则如下：i（4） njijijinjijijqcQfqMaximize111)()(约束jqij , 0我们假设制造商是在非合作下的竞争我们也假设每个制造商的生产成本 函数和运输成本函数都是连续的和凸的Nash (1950, 1951)提出非合作博弈下的 最优性/均衡概念，这表明每个制造商考虑竞争对手最优性条件下决定他的最佳 生产和出售数量，所有制造商同时达到最优性条件可以用如下的变分不等式(cf. Bazaraa, Sherali, and Shetty (1993), Gabay and Moulin (1980); see also Dafermos and Nagurney (1987) and Nagurney (1999))表示：限定满足：mnRQ（5）mn ijijmiij ijijijijinjRQcqQf, 0][])()([11 1式（5）所表示的最优性条件有一个不错的经济解释，也就是说制造商将会 出售给零售商一个正的产品数量（和相应的物流连线是正向的） ，如果零售商为 产品的支付价格恰好等于制造商生产和交易的边际成本，那么制造商就会和零 售商联系。

如果制造商的生产和交易边际成本超过零售商为产品的支付价格， 那么在这对制造商和零售商间将不会有产品交易 零售商和他们的最优性条件零售商和他们的最优性条件 反过来，零售商在满足自身利益最大的条件下为了处理随机需求必须决定 从制造商定购多少产品一个零售商面临我们称为的一个管理成本，它包含，j例如，和产品有关的展示和存贮成本我们用表示这个成本，最简单的情况，jc是的函数，也就是，零售商的存贮成本是取决于从不同的制造商获得jcmiijq1多少产品的函数然而，为了一般的利益和增强竞争模型，一般，我们允许函数依赖于其他零售商拥有的产品数量，因此，我们可以写成：（6）jQccjj),(让表示与零售商有关的产品的需求价格我们假设是在零售j2j)(2 jjd商店以需求价格的产品需求量，这里的是密度函数的随jj2)(2 jjd ),(2 jjx机变量，是一个参数因此，我们假设密度函数随着需求价格变化而变化j2让是的概率分布函数，也就是，jP)(2 jjddxxxdPxPjxjjjj),()(),(202依次，让表示零售商从所有的制造商获得的总供应量接着，miijjqs1j零售商卖给消费者的产品不超过它的最小供应或需求量，也就是，实际销jj售量不超过。

让},min{jjds（7）}, 0max{jjjds和 （8）}, 0max{jjjsd 这里的是一个随机变量表示超出供应量（存货） ，而是一个随机变量jj表示超额需求（缺乏） 注意到零售商的超额供。