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1、 41 弯曲的概念和实例42 受弯杆件的简化43 剪力和弯矩44 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系46 平面曲杆的内力图第四章 弯曲内力一、弯曲的概念受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。41 弯曲的概念和实例变形特点：轴线变成了曲线。F工程实例工程实例纵向对称面轴线C二、平面弯曲的概念 梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线。F1F2非对称弯曲若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但 外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非
2、对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。C梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化42 受弯杆件的简化取梁的轴线来代替梁FalABFalAB(1)固定铰支座2个约束，1个自由度。(2)可动铰支座1个约束，2个自由度。2. 支座简化(3)固定端FxFyM3个约束，0个自由度。固定铰可动铰固定铰可动铰固定端3. 梁的三种基本形式(1)简支梁(2)外伸梁(3)悬臂梁FABqFFABF4. 载荷的简化MqFAB作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。5. 静定梁与超静定梁
3、静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全部支反力。FABqFABFFABqABF已知：F，a，l。解：(1)求支座反力43 剪力和弯矩求：距A 端x处截面上内力。FABFAyFAxFBFalABbxFBFA FAyC（2）求内力截面法剪力FS弯矩MFSMMFS取左段：ABFFBxmmFAy剪力和弯距的正负号规定FsFs剪力弯距顺时针 为正下凸 为正内力的正负规定(以截面左右来定）（1）剪力FS: 左上右下为正;反之为负。+左上右下为正FSFS+FSFSFSFS（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)
4、左顺右逆为正可以装水为正MMMM(+)MM()（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正可以装水为正MMMM(+)MM()MM切面法切取代平（静力平衡方程)Y=0 Fs+ Y方向的外力=0Fs=Y方向的外力代数和Fs简易法求剪力Fs10kN6m4kN4kN9kN10kN4kN9kN4kNFs外力对切面产生 顺时针转动取正 所有外力在剪力 方向投影的代数 和即为此处剪力顺Fs=9-4=5kNFs=10+4-9=5kN切面法切取代平（静力平衡方程)M=0 M+ 外力矩=0 M=外力矩代数和简易法求弯矩M9kN10kN4kN9kN4kN 向上的外力产生 正弯矩向下
5、的外力产生 负弯矩上MM10kN4kN4kN1221左:M=92-41=14kN.m右:M=94-43-101=14kN.m切面法求离左边4m处的内力左: MO=0 M=-14+6=2kN.m 外力偶左顺为正简易法求弯矩M（碰到集中外力偶）左顺 右逆MM左:M=-12=-2kN.m 右:M=14-6=-2kN.m6kN.m3m3m简易法求得4m处的Fs=1kN6kN.m1kN右: M=12=2kN.m1kN求离左边2m处的内力? ? ?简易法写内力方程xXARCYA受力分析-YA9+2066=0 MC=0YA=80kN Y=0RC=40kN X=0XA=0kNYA =80KNxMVFs(x)
6、=80-20xM(x) = 80x-10x2简易法写内力方程RCMV若取右侧为对象Fs(x) = -40+20(6-x)=80-20xM(x) = 40(9-x)-10(6-x)2= 80x-10x2简易法写内力方程4080简易法写内力方程x如在BC段取左:Fs(x) =80-206=-40取左:M(x) = 80x-206 (x-3)取右:Fs(x) =-40取右:M(x) =40(9- x)求梁的指定截面内力注简易法 意义大要求熟 准 快Fs顺； M 上、左顺练习(写出下图的Fs、M方程）练习练习4-4 梁的内力图4kN4kN222Fs=4kN M=4xkN.m Fs=0kN Fs=-4k
7、N M=4(6-x)kN.m M=8kN.m 0-2m 4-6m 2-4m Fs(kN )M(kN.m)844M图下侧画正M M图在受拉区 4-4 梁的内力图Fs=12-4x kN M=12x-2x2 kN.m Fs(kN )M(kN.m)181212M图下侧画正M M图在受拉区 4kN/m6m 4-4 梁的内力图Fs=20-10x kN M=-5(2-x)2 kN.m Fs(kN )M(kN.m)2020M图下侧画正M M图在受拉区 10kN/m2mx一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系取一微段dx， 进行平衡分析。 q(x )q(x )M(x)+d M(x)FS(x)+dFS (x)FS(x
8、)M(x)dxA剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。 45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系dxx弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。弯矩与荷载集度的关系。忽略高阶微量q(x )M(x)+d M(x)FS(x)+dFS (x)FS(x)M(x)dxA1、若q=0，则FS=常数，M是斜直线；2、若q=常数，则FS是斜直线，M为二次抛物线；3、M的极值发生在FS=0的截面上。二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FSFS0x斜直线增函数xFSxFS降函数xFSCFS1FS2 FS1FS2=F向下突变xFSC无变化斜直线曲线有折角向下突变CFxM增函数xM降函数xM
9、xMMxM1M2Mx4、将微分关系转为积分关系FsFs、MM图图简易画简易画法法1、q=0 区Fs图M图V+V-2、q=c 区Fs图qqM图q q3、Fs=0M图抛物线顶点或是水平线FsFs、MM图图简易画简易画法法4、集中力处 Fs图跳变P M图不跳变5、利用q、v图的面积求特定点的F、MP集中力偶处mFs图不变 M图跳变mF2=F1+Sq Sq q向下为负M2=M1+SFs SFs 同Fs正负号简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解: 特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqACBFSxqa2qax M根据
10、及FS图和M图的特征作图。aaqaqACB简易简易法法画画F Fs s、MM图图qlql/2ql/2 Fs(kN )M(kN.m) ql2/8pp/2 FsMPl/4简易简易法法画画FsFs、MM图图Pba/lMPb/lFs FCA=Pb/lFCB=Pa/lPabBCAPa/lCPPb/lPa/l简易简易法法画画FsFs、MM图图mm/lFsMmlm/lmmm/l简易简易法法画画FsFs、MM图图ma/l MmabBCAm/lFsmb/lma/lCmmb/lMCA=ma/lMCB=mb/l简易简易法法画画FsFs、MM图举例图举例A20 kNDCB2m4 kN/m求出RB=20 kNRD=8
11、kNFA=0 kNFs(kN)FBA=-8 kN8128MA=0 KN.mMB=SFs=-8 KN.mMD=0 KN.mM(KN.m)816简易简易法法画画FsFs、MM图举例图举例求出RA=6 kNRC=18 kNFs(kN)18MA=MC=0MBA=SFs=12 kN.mMBC=24 kN.m M(KN.m)612 A12 kNmCB6 kN/mB点 ; Fs=0处？12B12 2424MO=24+SV=2727叠加法简介+叠加法简介+mAmAmBmBql2/8区段叠加法6CBADB66481.5624/6=8322/8=1.5CBAD246kN23kN/m一、平面刚架 1. 平面刚架46
12、 平面刚架和曲杆的内力图F1F2alABC特点：刚架各杆的内力有： FN 、FS、M。同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接 而组成的结构。2. 内力图规定剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。弯矩图：画在受拉侧，不注明正、负号。试作图示刚架的内力图。F1F2alABC例FSFNMxxCF1F1aFN 图FS 图F1+F1F2alABCM 图xFSFNMxCF1F1F2alABCxF1F2aBCxFSFNMF1F2aBCxFSFNMFN 图F2+FS 图F1+F1F1aF1a+ F2 lM 图F1F2alABCxBF1F2alABCx二、曲杆已知：如图所示，F及R 。试绘制FS、M、 FN 图。OFRAB例16轴线为曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。ORq xAFB解：建立极坐标，q表示截面mm的位置。OFRqmmxABMFN FSOFRqmmxABAB OM图OO+FS图FN图2FRFF+应用计算机分析软件绘内力图3m3m2m40kNAD50kN/mCB50kN/m3m4m2m1kNAD1kN/mCB8kN1m公路桥梁结构设计系统（GQJS）
