new 测量误差基本知识

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1、测量学学习辅导测量学同济大学 测量与国土信息工程系 1第六章 测量误差基础知识26-1 测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响3一.产生测 量误差的原 因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素： 仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。 人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。 外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光) 结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词： 观测条件: 上述三大因素总称为观测条件 等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。4二、测量误差的分类与对策（一）分类 系统误差在相

2、同的观测条件下，误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律 变化。 例： 误差钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均)5二、测量误差的分类与对策（一）分类 偶然误差在相同的观测条件下，误 差出现的符号和数值大小都不相同，从 表面看没有任何规律性，但大量的误差 有“统计规律”粗差特别大的误差（错误）例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差 。6（二）处理原则粗差细心，多余观测系统误差找出规律，加以改正偶然误差多余观测，制定限差7如何处理含有偶然误差的数据？n例如：

3、n对同一量观测了n次n观测值为 l1,l2,l3,.lnn如何取值？如何评价数据的精度？8三.偶然误差的特性 1.偶然误差的定义： 设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值 ，则产生了n个真误差 ：(6-1-1)真误差真值观测值9n例如：n对358个三角形在相同的 观测条件下观测了全部内 角，三角形内角和的误差 i为i= 180 (i +i+ I) 其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误 差I的规律。10误差区间 负误差 正误差 误差绝对值 d “ K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.25436 400.112 41 0

4、.115 81 0.22669 330.092 33 0.092 66 0.184912 230.064 21 0.059440.1231215 170.047 16 0.045330.0921518 130.036 13 0.036260.0731821 60.017 5 0.014 110.0312124 40.011 2 0.00660.01724以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000表6-1 偶然误差的统计 11-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=k/d 有限性 ：

5、偶然误 差应小于限 值。 渐降性 ：误差小 的出现的概 率大 对称性 ：绝对值 相等的正负 误差概率相 等抵偿性 ：当观测 次数无限 增大时， 偶然误差 的平均数 趋近于零 。12偶然误差的特性n有限性：在有限次观测 中，偶然误差应小于限 值。n渐降性：误差小的出现 的概率大n对称性：绝对值相等的 正负误差概率相等n抵偿性：当观测次数无 限增大时，偶然误差的 平均数趋近于零。136 -2评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差146 -2评定精度的标准二、相对中误差平均误差一、中误差15按观测值的真误差计算中误差16n如果函数 是连续型 随机变量X的分布密度函数概率17正态分布18m1较

6、小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7 m2=3.619正态分布的特征n正态分布密度以 为对称轴,并在 处 达到最大。n当 时，f(x) 0，所以f(x)以x轴为渐近 线。n用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐 点。n对分布密度在某个区间内的积分就等于随机 变量在这个区间内取值的概率2021区别错误与误差的阀值n随机变量X在区间（x1x2） 之 间的概率为n则函数 是连续型随 机变量X的分布密度函数n如果n就得正态分布22三、极限误差2324n但大多数被观测对象的真值不知 ，任何评定观测值的精度，即：=？

7、 m=？ 寻找最接近真值的值x6 -3观测值的算术 平均值及改正值 25集中趋势的测度（最优值）n中位数：设把n个观测值按大小排列，这 时位于最中间的数就是“中位数”。n众数：在n个数中，重复出现次数最多的 数就是“众数”。n切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数 。算术平均数：满足最小二乘原则的最优解26一、算术平均值 ：满足最小二乘原则的最优解27证明（x是最或然值）n n将上列等式相加，并除以n,得到n 28二、观测值的改正值n若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解x改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘296 -4观测值的精度评定n标准差可按下式

8、计算中误差30证明n将上列左右两式相减，得31分别取平方32取和对代入前式33计算标准差例子 34小结n一、已知真值X，则 真误差n一、真值不知，则二、中误差二、中误差356 -5误差传播定律n已知：mx1,mx2,mxnn求：my=?y=? 36观测值函数的中误差误差传播定律 一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数 37二、几种常用函数的中误差 （一）和(差)函数已知：mx,my, 求：mz=?38二、几种常用函数的中误差 （一）和(差)函数已知： mx,my, 求：mz=?和39二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数已知： mx,

9、my, 求：mz=?和40二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数已知： mx,my, 求：mz=?41二、几种常用函数的中误差 （一）和差函数已知： mx,my, 求：mz=?和42二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数已知：mx, 求：mz=?和平方43二、几种常用函数的中误差 （二）倍乘函数已知：mx, 求：mz=?44解：例 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式45二、几种常用函数的中误差 （三）线性函数已知：mxi, 求：mz=?46（三）线性函数特殊xi为独立观测值47例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量

10、六次，求该距离的算术平均值 ； 观测值的中误差 ； 算术平均值的中误差 ； 算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。 48二.误差传播 定律(四)一般函数的中误差公式误差传播定律设有函数xi为独立观测值对上式线性化49中误差关系式：n小结n第一步：写出函数式n第二步：写出全微分式(线性化)n第三步：写出中误差关系式n注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进 一步写出中误差关系式。50观测值函数中误 差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数和差函数线性函数算术平均值51例已知某矩形长a=500米，宽b=400米, ma=mb=0.02

11、cm， 求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤： (1)列出函数式； (2)对函数式线性化(全微分)； (3)套用误差传播定律，写出中误差式。 52例题 已知有 求：错误53例题 已知有； 求：54观测值：斜距S和竖直角v 待定值：水平距离D6 -6 误差传布定律 应用举例556-6 误差传播定律应用观测值：斜距S和竖直角v 待定值：高差h56误差传播定律 应用举例算术平均值已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：mx57算例：用三角形闭合差求测角中误差58误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均

12、值的中误差公式：例：要求三角形最大闭合差 ，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测 4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。59 D MPxyXYO由误差传播定律：解：P点的点位中误差：例9：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差 ，求由此引起的P点的坐标中误差 、 ，以及P点的点位中误差 。606 -7加权平均数及其中误差n现有三组观测值，计算其最或然值 A组： 123.34, 123.39, 123.35 B组： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32 C组：

13、 123.34, 123.38, 123.35, 123.39, 123.32n各组的平均值 A组： 123.360B组： 123.333C组： 123.356=?61加权平均数n各组的平均及其权A组： 123.360 权PA=3B组： 123.333 PB=4 C组： 123.356 PC=5 ( ) ( ) ( )62一、权与中误差n平均数的权pA=3n平均数的中误差nm单位权中误差n权与误差的平方成反比63二、加权平均数64三、加权平均值的中误差65四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则66加权平均值标准差的算例67例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算 组号测回数各组平均值L权P LP L表5-5加权平均值：1 2 402014“ 4 1 4 2 4 40 20 17 “ 7 2 14 3 6 40 20 20 “ 10 3 30L0= 40 20 10 “