第三章 单因素方差分析与多重比较

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1、3 - 1统计统计 分析 软软件应应用第3章 单因素方差分析与多重比较南京农业农业 大学农农学院李刚华刚华统计学3 - 2统计统计 分析 软软件应应用3.1 方差分析引论一. 方差分析及其有关术语 二. 方差分析的基本思想和原理 三. 方差分析的基本假定 四. 问题的一般提法3 - 3统计统计 分析 软软件应应用什么是方差分析(ANOVA)? (analysis of variance) 检验多个总体均值是否相等 通过分析观察数据的误差判断各总体均值是 否相等 研究分类型自变量对数值型因变量的影响 n一个或多个分类尺度的自变量l2个或多个 (k 个) 处理水平或分类n一个间隔或比率尺度的因变量

2、 有单因素方差分析和双因素方差分析n单因素方差分析：涉及一个分类的自变量n双因素方差分析：涉及两个分类的自变量3 - 4统计统计 分析 软软件应应用什么是方差分析? (例题分析)消费费者对对四个行业业的投诉诉次数 行业业 观测值观测值零售业业旅游业业航空公司家电电制造业业 1 2 3 4 5 6 757 66 49 40 34 53 4468 39 29 45 56 5131 49 21 34 4044 51 65 77 58【例例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在 四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费四个行业分别抽取

3、了不同的企业作为样本。最近一年中消费 者对总共者对总共2323家企业投诉的次数如下表家企业投诉的次数如下表3 - 5统计统计 分析 软软件应应用什么是方差分析?(例题分析)分析四个行业之间的服务质量是否有显著差 异，也就是要判断“行业”对“投诉次数” 是否有显著影响 作出这种判断最终被归结为检验这四个行业 被投诉次数的均值是否相等 如果它们的均值相等，就意味着“行业”对 投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务 质量没有显著差异；如果均值不全相等，则 意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它 们之间的服务质量有显著差异3 - 6统计统计 分析 软软件应应用方差分析中的有关术语因素或因子(facto

4、r) 所要检验的对象 要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验 的因素或因子 水平或处理(treatment) 因子的不同表现 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子 的水平 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每个行业被投诉的次数就是观察值3 - 7统计统计 分析 软软件应应用方差分析中的有关术语试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平 的试验 总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业 可以看作是四个总体 样本数据 被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的 样本数据3 - 8统计统计 分析 软软件应应用方差分析的基本思想和原理 (图

5、形分析)零售业 旅游业 航空公司 家电制造3 - 9统计统计 分析 软软件应应用从散点图上可以看出n不同行业被投诉的次数是有明显差异的n即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明 显不同l家电制造也被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低行业与被投诉次数之间有一定的关系n如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被 投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的 模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理 (图形分析)3 - 10统计统计 分析 软软件应应用仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不 同行业被投诉的次数之间有显著差异n这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的需要有更准确的方法

6、来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析n所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差n这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分 析时，需要考察数据误差的来源。 方差分析的基本思想和原理3 - 11统计统计 分析 软软件应应用1. 比较两类误差，以检验均值是否相等 2. 比较的基础是方差比3. 如果系统(处理)误差显著地不同于随机误 差，则均值就是不相等的；反之，均值就 是相等的4. 误差是由各部分的误差占总误差的比例来 测度的方差分析的基本思想和原理3 - 12统计统计 分析 软软件应应用方差

7、分析的基本思想和原理 (两类误差)随机误差 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差 异 比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误 差 系统误差 因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差 异 比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可 能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由 系统性因素造成的，称为系统误差3 - 13统计统计 分析 软软件应应用方差分析的基本思想和原理 (两类方差)数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称 为方差 组内方差(within groups

8、) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，零售业被投诉次数的方差 组内方差只包含随机误差 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，四个行业被投诉次数之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差3 - 14统计统计 分析 软软件应应用方差分析的基本思想和原理 (方差的比较)若不同不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只 包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误 差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近 1 若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含 随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平

9、均后 的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值 就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存 在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投 诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主 要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响3 - 15统计统计 分析 软软件应应用方差分析的基本假定每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态 分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，四个行业

10、被投诉次数的方差都相等 观察值是独立的 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的 次数独立3 - 16统计统计 分析 软软件应应用方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是 否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差 的四个正态总体的均值是否相等 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样 本的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相 等的证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就 越充分 3 - 17统计统计 分析 软软件应应用方差分析中基本假定 如果原假设成立，即H0: m1 = m2 = m3 = m4n四个行业被投诉次数的均值都相等n意味着每

11、个样本都来自均值为、方差为2的 同一正态总体 X Xf(X)f(X)11 2 2 3 3 443 - 18统计统计 分析 软软件应应用方差分析中基本假定 若备择假设成立，即H1: mi (i=1，2，3，4)不全 相等n至少有一个总体的均值是不同的n四个样本分别来自均值不同的四个正态总体 X Xf(X)f(X)3 3 11 2 2 443 - 19统计统计 分析 软软件应应用问题的一般提法设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1、2 、k 表示 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出 如下假设： H0: 1 2 k H1: 1 , 2 , ，k 不全相等 设1为零售业被投诉次数的均值，

12、2为旅游业被 投诉次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值 ，4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设 为 H0: 1 2 3 4 H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等3 - 20统计统计 分析 软软件应应用3.2 单因素方差分析一. 数据结构 二. 分析步骤 三. 关系强度的测量 四. 用Excel进行方差分析3 - 21统计统计 分析 软软件应应用单因素方差分析的数据结构 (one-way analysis of variance) 观观察值值 ( j )因素(A) i水平A1 水平A2 水平Ak1 2 : : n x11 x21 xk1x12 x22 xk2: : : : :

13、: :x1nx2n xkn3 - 22统计统计 分析 软软件应应用分析步骤分析步骤 提出假设提出假设 构造检验统计量构造检验统计量 统计决策统计决策3 - 23统计统计 分析 软软件应应用提出假设一般提法 H0: m1 = m2 = mk 自变量对因变量没有显著影响 H1: m1 ，m2 ， ，mk不全相等 自变量对因变量有显著影响 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个 总体的均值不相等，并不意味着所有的均 值都不相等 3 - 24统计统计 分析 软软件应应用构造检验的统计量构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS) 3 - 25统计统计 分析 软软件应应用构造

14、检验的统计量 (计算水平的均值)假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简 单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本 的全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为 式中：式中： n ni i为第为第 i i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数x xij ij 为为第第 i i 个总体的第个总体的第 j j 个观察值个观察值 3 - 26统计统计 分析 软软件应应用构造检验的统计量 (计算全部观察值的总均值)全部观察值的总和除以观察值的总个数 计算公式为 3 - 27统计统计 分析 软软件应应用构造检验的统计量 (例题分析)3 - 28统计统计 分析 软软件应应用构造检验的统计量 (计算

15、总误差平方和 SST)全部观察值 与总平均值 的离差平 方和 反映全部观察值的离散状况 其计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SST SST = (57-47.869565)= (57-47.869565)2 2+ +(58-47.869565)(58-47.869565)2 2=115.9295 =115.92953 - 29统计统计 分析 软软件应应用构造检验的统计量 (计算水平项平方和 SSA)各组平均值 与总 平均值 的离差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称 组间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为 前例的计算结果：前例的计算结果：SSA S