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1、热点总结与强化训练(六)热点1 古典概型1.本热点在高考中的地位古典概型一直是高考的重点内容，以古典概型的定义为重点，结合两大特点考查古典概型问题，可在填空题中单独考查，也可在解答题中与其他概率类型相结合考查.2.本热点在高考中的命题方向及命题角度在能力考查上，以理解问题、分析问题、解决问题的能力和应用分类讨论思想、化归思想的能力为主.1.古典概型：满足以下两个条件的概率模型试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等.2.求解古典概型问题的步骤及关键(1)步骤：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；分别求出基
2、本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；利用公式 求出事件A的概率.(2)关键：正确划分基本事件；求出基本事件的总数及事件A所包含的基本事件数.在备考中，重点关注古典概型的概念、理解其性质特点，另外掌握其常用的解题方法如枚举法、树形图法、列表法等.(1)(2011安徽高考改编)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于.(2)(2011浙江高考改编)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是.【解题指南】(1)先求出基本事件总数15，观察可得构成3个矩形.(2)利用古典概型及对立事件概率公式求解.【规范解答
3、】(1)基本事件总数是 观察可得构成3个矩形.所以是矩形的概率为 (2)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球共有10个基本事件；所取的3个球中至少有1个白球的反面为“3个球均为红色”，有1个基本事件，所以所取的3个球中至少有1个白球的概率是答案：(1) (2)1.在集合1,2,3中先后随机地取两个数,若把这两个数按照取的先后顺序组成一个两位数,则“个位数与十位数不相同”的概率是.【解析】可以组成的两位数的个数为33=9,其中个位数与十位数相同的有3个,不同的有6个,故个位数与十位数不相同的概率为答案：2.在集合xx= ,n=1,2,3,，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程 的概率是_
4、.【解析】基本事件总数为10，满足方程 的基本事件数为2，故所求概率为答案:3.盒子里共有大小相同的3个白球，1个黑球.若从中随机摸出两个球，则它们颜色不同的概率是_.【解析】从盒子中随机摸出两个球共有 种情况,而摸出两个颜色不同的球有 种情况,故所求概率为答案:4.三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为_.【解析】排成一行.可能的情况为EEB、EBE、BEE共3种，所以所求概率为答案:5.在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点.在A、P、M、C中任取一点记为E，在B、Q、N、D中任
5、取一点记为F.设G为满足向量 的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为_.【解题指南】可先求落在平行四边形ABCD内或边界上的点G的概率.【解析】基本事件的总数是44=16，在 中，当时，点G分别为该平行四边形的各边的中点，此时点G在平行四边形的边界上，而其余情况中的点G都在平行四边形外，故所求的概率是答案:热点2 概率与统计的综合问题1.本热点在高考中的地位该部分是高中数学的主干知识模块，一般是两道小题一道解答题，小题重在考查概率统计的一些主要知识和方法，如抽样方法、频率分布直方图、样本数字特征的计算、等可能事件的概率等，解答题重在考查以概率计算为中
6、心的概率统计问题. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度把随机抽样、用样本估计总体等统计知识和概率知识相结合命制概率统计解答题是一个新的命题趋向. 1.抽样方法的适用范围(1)简单随机抽样：总体容量较小，且无明显的个体差异；(2)系统抽样：总体容量较大，且无明显的个体差异；(3)分层抽样：总体容量较大，且个体差异明显(有明显的层次差异).2.频率分布直方图与茎叶图(1)频率分布直方图的作法求极差：即最大数与最小数之差；决定组距与组数：组距与组数的确定无固定的标准，常常需要一个探索与选择的过程；数据分组：计算各小组的频数及频率，列出频率分布表；画频率分布直方图：纵轴表示 各小矩形的面积即频率.
7、 (2)频率分布直方图常与随机事件及古典概型相结合考查概率的计算问题.(3)茎叶图刻画数据的优点所有的数据信息均可以从茎叶图中得到；茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况.3.样本的数字特征样本的平均数与方差是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有重要的实际意义，众数、平均数、中位数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小.解答概率与统计相结合的应用问题，要能够准确、熟练地掌握抽样方法、样本特征数的有关性质，熟悉古典概型的特点及计算方法，注意强化数形结合思想的应用意识.(2011 广东高考)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2
8、,6)的同学所得的成绩，且前5位同学的成绩如下： 编编号n12345成绩绩xn 7076727072(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s;(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率.【解题指南】(1)由平均数的计算公式列出关于x6的方程，求出x6，由标准差的计算公式求标准差；(2)由古典概型的概率计算公式直接求解.【规范解答】(1)由题意即解得x6=90；标准差s= (2)从前5位同学的成绩中随机地选2位同学的成绩，有10种可能，分别是(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(
9、76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72).恰有一位同学成绩在区间(68，75)中，有4种可能，分别是(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72).设事件A为“恰有1位同学成绩在区间(68，75)中”，则故恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率是1.为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)高校相关人数抽取人数 A18xB362C54y(1)求x,y；(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率. 【解析】(1)由题意可得，所以x=1,y=3.(
10、2)记从高校B抽取的2人为b1,b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共10种.设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共3种.因此故选中的2人都来自高校C的概率为2.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身
11、高在170185cm之间的概率；(3)从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率.【解析】(1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计该校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170185cm之间的频率 故由频率估计该校学生身高在170185cm之间的概率为0.5.(3)样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为，样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为，从上述人中任取人的树状图为：故从样本中身高
12、在180190cm之间的6名男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率3.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：文艺节艺节 目新闻节闻节 目总计总计20至40岁岁401858大于40岁岁152742总计总计5545100(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率. 【解析】(1)假设收看新闻节目的观众与年龄无关，则即 这是矛盾的，所以收看新闻节目的观众与年龄有关.(2)设应该抽取大于40岁的观众x名，则有： 解得x3.所以大于40岁的观众应该抽取3名.(3)设所抽取的5名观众中，a、b两人为20至40岁；C、D、E三人为大于40岁，从中任抽取2人，所有抽法有：ab、aC、aD、aE、bC、bD、bE、CD、CE、DE共10种，其中恰有1名观众的年龄为20至40岁的抽法有aC、aD、aE、bC、bD、bE共6种，所以恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率为
