动态问题解题技巧

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1、一、动态问题的动中不变问题 对于这类问题，我们需要认真审题，从题目已知条件从分析出，线段或者线段对于这类问题，我们需要认真审题，从题目已知条件从分析出，线段或者线段 所在直线的夹角不变（长度或者角度）所在直线的夹角不变（长度或者角度） ，直线或者线段所在直线位置关系不变，直线或者线段所在直线位置关系不变 （平行、垂直、夹角）（平行、垂直、夹角） ，图形的相互关系不变（全等、相似），图形的相互关系不变（全等、相似） 【例例 1】长度不变长度不变在直角坐标系中，经过坐标原点 O，分别与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于O1点 A、B。（1）如图，过点 A 作的切线与 y 轴交于点 C，点 O 到直线

2、 AB 的距离为O1，求直线 AC 的解析式；12 53 5，sinABC（2）若经过点 M（2，2） ，设的内切圆的直径为 d，试判断 d+ABO1BOA的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。解答：第（1）问省略 （2）如图 【分析分析】从题目已知条件可知，有关长度不变的量只有从题目已知条件可知，有关长度不变的量只有 OM 的长，那么的长，那么 d+AB 肯定是一个与肯定是一个与 OM 有关的量有关的量1、根据题目已知条件，利用特殊情形（以 OM 为直径） ，求出 d+AB 的值O12、从 1 可知，过 M 点作 MNOM，交 x 轴于 N 点，连结BM、AM，设

3、OAB 的内切圆为O2，与三角形的三边切于 P、Q、R 三点， 如图【例例 2】相似相似+角度不变角度不变 已知：如图 1，直线 y=kx+3(k0)交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 A，以 A 点为圆心， AB 为半径作A 交 x 轴于另一点 D，交 y 轴于点 E、F 两点，交直线 AB 于 C 点，连结 BE、CF，CBD 的平分线交 CE 于点 H. （1）求证：BE=HE；（2）若 AHCE，Q 为 上一点，连结 DQ 交 y 轴于 T，连结 BQ 并延长交BFy 轴于 G， 求 ATAG 的值； （3）如图 2, P 为线段 AB 上一动点(不与 A、B 两点重合)，连结 PD

4、交 y 轴于 点 M，过 P、M、B 三点作O1交 y 轴于另一点 N，设O1的半径为 R，当 k=时，给出下列两个结论：MN 的长度不变；的值不变.其中有且只有一34MNR个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值. 解：（1）省略（2） 【分析分析】要求要求 ATAG 的值，就是与题目已知条件中的某线段长有关，的值，就是与题目已知条件中的某线段长有关， 而题目的已知条件只告诉我们而题目的已知条件只告诉我们 OA 的长，进一步分析可知，我们可以得到的长，进一步分析可知，我们可以得到 OB 和和 AB 的长，从的长，从 ATAG 这个表现形式来看，应该是利用相似来解答，把

5、这个表现形式来看，应该是利用相似来解答，把 AT 和和 AG 放到某两个三角形里而且要与我们刚才分析的其中的线段联系起来，只放到某两个三角形里而且要与我们刚才分析的其中的线段联系起来，只 有有 AB 的长也就是圆的半径可以与的长也就是圆的半径可以与 AT、AG 恰好构造成两个三角形恰好构造成两个三角形(3) 【分析分析】MN/R 的值不变，从表现形式来看，有点像简单三角函数里的某个的值不变，从表现形式来看，有点像简单三角函数里的某个角的三角函数值，所以我们选择证明角的三角函数值，所以我们选择证明 MN 和某个半径（和某个半径（O1M）的夹角不变来证）的夹角不变来证 明，而从题目已知条件可知，明

6、，而从题目已知条件可知， OAB 和和 OBA 是不变的是不变的 过 O1点作 O1RMN，连结 BM、BN、O1M、AD 易证BAM 和DAM 全等，有ABM=ADM，BAM=DAM DMO=PBN （圆内接四边形的一个外角等于内对角） MO1R=MBN MO1R=PBNABM MO1R=DMOABM DMO=DAM+ADM （三角形外角） BAM=DAM BAM=DMOADM ABM=ADM MO1R=BAM MN/R 的值不变 【例例 3】位置关系不变：平行位置关系不变：平行已知：如图 11，PF 是O 的切线，PEPF，A 是O 上一点，直线 AE、AP 分别交O 于 B、D，直线 D

7、E 交O 于 C，连结 BC(1)求证：PEBC；(2)将 PE 绕点 P 顺时针旋转，使点 E 移到圆内，并在O 上另选一点 A其他条件不变，此时，PE 与 BC 是否仍然平行？证明你的结论（1）证明省略）证明省略 （2） 【分析分析】如果如果 PE BC,那么有那么有 BCE= PED（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ， 且且 BCE= PAE，因此我们只需要证明，因此我们只需要证明 PEDPAE 即可。如图：即可。如图：猜想：PEBC 证明：PF 是O 的切线 PF2=ODPA （切割线定理，可以连结 DF、AF，利用相似来证明） PE=PF PE2=ODPA EPD

8、=APE PEDPAE PED=PAE BCE=PAE BCE=PED PEBC 【例例 4】全等全等+位置关系不变：垂直位置关系不变：垂直如图，ABD 与CDE 中均为等腰直角三角形，B，D，C 三点在一直线上.(1)试问 BE 与 AC 有何关系？并证明你的结论。(2)当CDE 绕点 D 沿顺时针方向旋转时，BE 与 AC 的关系分别怎样？第（1）问 BE=AC 且 BEAC 证明过程略(2)【分析】第 1 问是通过证明三角形全等而得出的结论，在旋转的过程中，让我们看看证明三角形全等的条件是否发生改变，比如线段的长度，角的大小以 及他们之间的关系，观察可以发现线段的长度没有发生改变，角的大

9、小发生了 改变，可是这两个角之间的数量关系没有发生改变，还是相等的，那么我们还 是可以利用第 1 问的思路来解答猜想：BE=AC，BEAC 证明：BD=ADDE=DC90+ADE=BDE=ADC=90+ADEBDEADCBE=AC DBE=DACFBA+BAF=FBA+BAF+DAC=FBA+BAF+DBE=90 BFA=180（FBA+BAF）=90 BEAC 二、动态问题中的最值问题 这类问题有以下几种形式这类问题有以下几种形式 两点之间线段最短两点之间线段最短 垂线段最短垂线段最短 三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边 二次函数的最值问题（需要考虑自变量的取值范围）：见后面的

10、面积问题二次函数的最值问题（需要考虑自变量的取值范围）：见后面的面积问题 平移综合平移综合 利用抛物线焦点和准线转化的问题利用抛物线焦点和准线转化的问题 不管是哪种形式，或者由多少条线段组成，其本质都是要利用对称或者平移或不管是哪种形式，或者由多少条线段组成，其本质都是要利用对称或者平移或 者等量转化来使这些线段首尾相接，从而使它们共线者等量转化来使这些线段首尾相接，从而使它们共线 【例例 1】两点之间线段最短两点之间线段最短已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点 A(0，3)，与 x 轴分别交于 B(1，0)、 C(5，0)两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 D 为线段

11、OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式；（3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点(设为点 E)，再 到达抛物线的对称轴上某点(设为点 F)，最后运动到点 A。求使点 P 运动的总路 径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。解：第（1） （2）问省略（3） 【分析分析】如下面的左图，我们先在如下面的左图，我们先在 x 轴上任取一点轴上任取一点 E 和抛物线对称轴上任和抛物线对称轴上任 取一点取一点 F，连结，连结 ME、EF、AF，要使这，要使这 3 条线段共线，我们首先作条线段共线，我们首先作 M 关于关于 x 轴的对称点轴的对称点 M和

12、和 A 关于抛物线对称轴的对称点关于抛物线对称轴的对称点 A，连结，连结 EM和和 FA，有，有 EM=EM，FA=FA，则，则 ME、EF、AF 的长转变成折线段的长转变成折线段 MEEFFA的长，的长， 这条折线中，这条折线中，M和和 A是确定的点，只有是确定的点，只有 E、F 是动点，要使折线长最短，则连是动点，要使折线长最短，则连 结结 AM，AM与与 x 轴和抛物线对称轴的交点轴和抛物线对称轴的交点 E、F 为所求，如下面右图为所求，如下面右图【例例 2】垂线段最短垂线段最短 抛物线 y=ax2+bx+c 经过两点 A（2,0） 、C（0,4） ，对称轴为 x=1/2，抛物线与 x

13、轴的另一个交点为 B （1） 求抛物线的解析式 （2） 点 M 从 C 点沿 y 轴向下运动到某点 P，在运动到 A 点，已知 M 点在 PA 上的运动速度是 PC 上运动速度的 0.6 倍，求 M 点到达 A 点时间最短时 P 点的坐标解（1）（2）分析：设分析：设 M 点在点在 PC 上的运动速度为上的运动速度为 V，那么在，那么在 PA 上的运动速度为上的运动速度为 0.6V，从，从 C 点运动到点运动到 A 点的时间为点的时间为 PC/V+PA/0.6V，变形为，变形为 （5/3V）（PA+3PC/5） ，过，过 P 点作点作 PQBC，垂足为，垂足为 Q，计算，计算 PQ=3PC/5

14、， 则原题变为求则原题变为求 PA+PQ 的最小值，过的最小值，过 A 点作点作 AQ 垂直垂直 BC，与，与 y 轴交于轴交于 P 点，点， 则则 P 点为所求，如图点为所求，如图【例例 3】三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（2,0） 、B（4,0） 、C（0，4）三点 （1） 求抛物线解析式 （2） P 是抛物线对称轴上的动点，求|PBPC|的最大值，并求出此时 P 点的 坐标解：（1）（2）分析：连结分析：连结 PB、PC、BC，根据三角形三边之间的关系有，根据三角形三边之间的关系有 |PBPC|BC，当，当 P、B、C 三点共

15、线，且三点共线，且 P 点在线段点在线段 BC（或（或 CB）延长线上）延长线上 时，取等号，显然这种情况不存在；时，取等号，显然这种情况不存在； 这时我们应看到这时我们应看到 P在对称轴上，有在对称轴上，有 PA=PB，把，把|PBPC|转化成转化成|PAP C|，在，在PAC 中，有中，有|PAPC|AC，当，当 P、A、C 三点共线，且三点共线，且 P在线段在线段 AC（CA）延长线上时取等号。）延长线上时取等号。 故连结故连结 AC 并延长交抛物线对称轴于点并延长交抛物线对称轴于点 P，点，点 P 为所求，如图为所求，如图【例例 4】平移综合平移综合已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3,0） 、C（0，3） 、D（7,4）三点，P、Q 是 x 轴上的任意两点，且 PQ=2（1） 求抛物线解析式（2） 求 CP+PQ+QD 的最小值，并求出对应的 P、Q 两点的坐标解（1）（2）分析：连结分析：连结 CP、QD，因为，因为 PQ 是定值，要使是定值，要使 CP+PQ+QD 最小，也就是最小，也就是 求求 CP+QD 的最小值，我们想办法通过平移使的最小值，我们想办法通过平移使 CP、QD 有公共端点，把有公共端