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1、导数在三次函数中的应用导数在三次函数中的应用新课程的高考增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考察的要求逐渐加强，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法，近几年多个省高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质，从而来考察学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨。一、一、关于三次函数的切线问题关于三次函数的切线问题函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点)(xfy 0x)(x
2、fy 处的切线的斜率。也就是说，曲线在点处的切)(,(00xfxP)(xfy )(,(00xfxP线的斜率是，相应的，切线的方程为)(0xf)(00 0xxxfyy例 1：已知曲线，过原点作 S 的切线，求切线方程。13:23xxyS误解：，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率，xxy6320/ 0xyk所以所求的切线方程为0y分析：此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的导数，而原点（0，0）不在曲线 S 上，所以本题应该先设切点，再求斜率，最后求出切线方程。正解：设切点为，则切线的斜率) 13,(2 03 00 xxx02 063xxk所以切线方程为：)(63()
3、 13(002 02 03 0xxxxxxy因为原点在切线上，得到0) 12() 1(02 0xx所以或10x210x所以所求的切线方程为或xy3xy415例 2：已知曲线，求过原点 O（0，0）的切线方程。233:xxyS误解：，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率，xxy6320/ 0xyk所以所求的切线方程为0y分析：此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念：“点O 处的切线”与“过点 O 的切线” 。 “点 O 处切线的斜率”等于该点的导数值，而“过点 O 的切线”则仅表明，切线是经过点 O 的，但直线未必在点 O 处与曲线相切， “过点 O 的切线的斜率不一定是该点
4、的导数值，所以本题也应该先设切点，在求斜率，最后求出切线方程。正解：设切点为，则切线的斜率)3,(2 03 00xxx02 063xxk所以切线方程为：)(63()3(002 02 03 0xxxxxxy因为原点在切线上，得到0)32(02 0xx所以或00x230x所以所求的切线方程为或0yxy49二、二、关于三次函数的单调性问题关于三次函数的单调性问题设三次函数的导函数为常数） ，)(xfcbaacbxaxxf, 0()( 2。acb42若，则当时，在 R 上为单调递增函数；当00a0)( xf)(xf时，在 R 上为单调递减函数。0a0)( xf)(xf若，则当时，在 R 上为单调递增函
5、数；当00a0)( xf)(xf时，在 R 上为单调递减函数。0a0)( xf)(xf若，设的两根分别为和，则当时，00)( xf1x2x21xx 0a在，上为正，在上为负，所以在)( xf),(1x),(2x),(21xx)(xf，上为单调递增函数，在上为单调递减函数。当),(1x),(2x),(21xx时，在上为正，在，上为负，所以在0a)( xf),(21xx),(1x),(2x上为单调递增函数，在，上为单调递减函数。),(21xx),(1x),(2x例 3：已知函数在 R 上是增函数，求实数 m 的取值范xmxmxxf3)(23围。解：323)( 2mxmxxf1）当 m=0 时，在
6、R 上是增函数。03)( xf)(xf2）当时，的0m0)( xf)9(43642mmmm 当 m9 时，开口向上且，说明存在区间使，所)( xf00)( xf以 m9 时，在 R 上不是增函数。)(xf综上可得，所求的实数 m 的取值范围为 9 , 0例 4：已知在（-1，）内单调递减，求实数的取值范围。1)(xaxxfa误解：2) 1()( xaxf由已知，在（-1，）上恒成立，所以0) 1()( 2xaxf0a分析：错误的原因在于未验证是否恒为 0。在区间 D 上单调递增)( xf)(xf（或递减）的充要条件是（或且在任一子区间上0)( xf)0)( xf不 恒为 0。而当 a=0 时，
7、=0 在（-1，）上恒成立，)( xf此时=0 不是单调递减函数，所以实数0。)(xfa三、关于三次函数的极值和最值问题三、关于三次函数的极值和最值问题设三次函数的导函数为常数） ，)(xfcbacbxaxxf,()( 2，讨论当时三次函数在闭区间上的最值问题（请读acb420aTS,0a者自行证明）（1）当时，在 R 上为单调递增函数，所以没有极值00)( xf)(xf)(xf点，在区间端点 S 处达到最小，T 处达到最大。（2）当时，设的两根分别为和，则是的极00)( xf1x2x21xx 1x)(xf大值点，是的极小值点。最值讨论如下：2x)(xf当 T或时，在S，T上单调递增，在区间端
8、点 S 处达到1x2xS )(xf最小，T 处达到最大。当 S时，在处达到最大，最小值通过比较和21xTx)(xf1x)(Sf加以确定。)(Tf当时，在S，T上单调递减，在区间端点 T 处达到21xTSx)(xf最小，S 处达到最大。当时，在处达到最小，最大值通过比较和TxSx21)(xf2x)(Sf加以确定。)(Tf当时，通过比较和可以确定最大值，通过比TxxS21)(1xf)(Tf较和可以确定最小值。)(2xf)(Sf例 5：设函数),)()()(Rbabxaxxxfy（1） 若，过两点（0，0） 、 （的中点作与 x 轴垂直的直线，0,abba)0 , a此直线与函数的图象交于点，求证：
9、函数)(xfy )(,(00xfxP在点 P 处的切线过点（b,0） ；)(xfy （2） 若，且当时恒成立，求实数的)0(aba 1, 0ax22)(axfa取值范围。解：（1）由已知)2(4,2(2abaaPabxbaxy)22(32所以，所求的切线斜率为42)22()2(32 2aababaa切线方程为)2(4)2(422axaabay令，解得0ybx 所以函数在点 P 处的切线过点（b,0）)(xfy （2）因为 所以ba 2)()(axxxfy)3)(34322axaxaaxxy当时，函数在上单调递增，在上0a)(xfy )3,(a),3(aa单调递减，在上单调递增),(a此时， 即
10、 1, 0ax 1, 0ax所以，由题意有 即 222) 1(2)3(aafaaf223212274aaaa解得或2271 a21a结合，所以0a2271 a当时，函数在上单调递增0a)(xfy ),3(a此时， 即 1, 0ax 1, 0ax所以，由题意有22)1 (aaf即222)1)(1 (aaaa整理得：0156423aaa因为，所以上述方程无解0a综上可得，所求实数的取值范围为a)227, 1 (例 6：已知函数在处有极值为 10，求的值。223)(abxaxxxf1xba,误解：023)( 2baxxxf由题意 即 10) 1 (0) 1 ( ff 1010232ababa解得 或
11、 114 ba 33 ba分析：可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零，其充要条件是这点两侧的导数异号。因此，此题在求出的值后，还需ba,要检验两侧导数的符号。当时，当时， 114 ba) 1)(113(1183)( 2xxxxxf1113x；当时，这时是极值点，符合题意。0)( xf1x0)( xf1x当时，这时在处无极值，不合题 33 ba0) 1(3)( 2xxf)(xf1x意，应舍去。所以，所求的11, 4ba总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时应用非常的方便，尤其是可以利用导数方便的解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题，在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，注意应用过程中的误区，以避免出现一些不必要的错误。
