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1、1专题二专题二 高考三角函数与平面向量命题动向高考三角函数与平面向量命题动向高考命题分析纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力在新课标高考试卷中一般有 24 题，分值约占全卷的 14%20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示高考命题特点新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，
2、奇花斗艳，其特点如下：(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深
3、受命题者的青睐主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用高考动向透视考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题
4、常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法” ， “齐次化切”等2【示例 1】(2011福建)若，且 sin2cos 2 ，则 tan 的值等于(0， 2)1 4( )A. B. C. D.223323解析 由二倍角公式可得 sin212sin2 ，即sin2 ，sin2 ，又因为1 43 43 4，所以 sin ，即，所以 tan tan ，故选 D.(0， 2)32 3 33答案 D本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用考查三角函数的图象及其性质三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型)函数、余弦(
5、型)函数、正切(型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下【示例 2】(2011浙江)已知函数f(x)Asin，xR R，A0,0，yf(x)的部分图象如图所示，( 3x) 2P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)(1)求f(x)的最小正周期及的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，PRQ，求A的值
6、2 3解 (1)由题意得，T6.2 3因为P(1，A)在yAsin的图象上，( 3x)所以 sin1.( 3)又因为 0， 2所以. 63(2)设点Q的坐标为(x0，A)，由题意可知x0，得x04，所以Q(4，A)，如图，连接PQ，在PRQ中， 3 63 2PRQ，由余弦定理得 cosPRQ ，2 3RP2RQ2PQ2 2RPRQA29A294A22A 9A21 2解得A23.又A0，所以A.3本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识求单调区间高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小问中，属中档题对于形如yAsin(x)(或yAcos(x)，A0 的
7、单调区间的求法是：先考虑A，的符号，再将x视为一个整体，利用ysin x的单调区间，整体运算，解出x的范围即可【示例 3】(2011安徽)已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)对xR R 恒成立，且ff()，则f(x)的单调递增区间是( )|f( 6)|( 2)A.(kZ Z)k 3，k6B.(kZ Z)k，k 2C.(kZ Z)k 6，k23D.(kZ Z)k 2，k解析 因为当xR R 时，f(x)恒成立，所以fsin1，可得|f( 6)|( 6)( 3)2k或2k.因为fsin()sin f() 65 6( 2)sin(2)sin ，故 sin 0，所以2k，所以f(x)
8、5 6sin，所以由2k2x2k 得，函数的单调递增区间为(2x5 6) 25 6 2(kZ Z)k 6，k23答案 C本题的亮点是引入参数与不等式恒成立问题，求解此类问题的关键是：利用4隐蔽条件“正弦函数的有界性” ，把不等式恒成立问题转化为含参数的方程，求出参数的值，注意利用已知条件剔除增根；求出函数的解析式即可求其单调递增区间，熟悉正弦函数的单调性可加快求解此类问题的速度【训练】 (2011新课标全国)设函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为 ，且f(x)f(x)，则( )(0，| 2)Af(x)在单调递减(0， 2)Bf(x)在单调递减( 4，34)Cf(x)在单调递增(0
9、， 2)Df(x)在单调递增( 4，34)解析 f(x)sin(x)cos(x)sin，由最小正周期为 得2(x 4)2，又由f(x)f(x)可知f(x)为偶函数，|可得，所以f(x)cos 2 422x在单调递减(0， 2)答案 A求最值高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：化成yAsin(x)的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；化成二次函数形式后利用配方法求其最值【示例 4】(2011重庆)设aR R，f(x)cos x(asin xcos x)cos2满足f( 2x)f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最
10、小值( 3) 4，1124解 f(x)asin xcos xcos2xsin2 x sin 2xcos 2x.a 2由ff(0)得 1，解得a2.( 3)32a 21 23因此f(x)sin 2xcos 2x2sin.3(2x 6)当x时，2x，f(x)为增函数， 4，3 6 3，2当x时，2x，f(x)为减函数， 3，1124 6 2，345所以f(x)在上的最大值为f2. 4，1124( 3)又因为f，f，( 4)3(11 24)2故f(x)在上的最小值为f. 4，1124(11 24)2本小题主要考查基本三角函数公式，以及运用三角函数公式对相关函数的解析式进行化简的能力，同时考查数形结合
11、思想【训练】 (2011上海)函数y2sin xcos x的最大值为_解析 注意到ysin(x)其中 cos ，sin 5(25sin x15cos x)525，因此函数y2sin xcos x的最大值是.155答案 5利用三角恒等变换求三角函数值三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在前几年的高考中单独命题的情况很少，但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，但有的省份对三角恒等变换进行了单独命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切
12、公式以及二倍角公式【示例 5】(2011天津)已知函数f(x)tan.(2x 4)(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)设，若f2cos 2，求的大小(0， 4)( 2)解 (1)由 2xk，kZ Z，得x，kZ Z，所以f(x)的定义域为 4 2 8k 2，f(x)的最小正周期为.x R R|x 8k2，k Z Z 2(2)由f2cos 2，得 tan2cos 2，( 2)( 4)2(cos2sin2)，sin(4)cos(4)整理得2(cos sin )(cos sin )sin cos cos sin 因为，所以 sin cos 0.(0， 4)6因此(cos sin )2 ，即
13、sin 2 .1 21 2由，得 2.所以 2，即.(0， 4)(0， 2) 6 12本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力【训练】 (2011浙江)若 0，0，cos ，cos， 2 2( 4)1 3( 42)33则 cos( )( 2)A. B C. D33335 3969解析 对于coscoscoscossinsin( 2)( 4)(42)( 4)( 42)( 4)( 42)，而，.( 4) (4，34) ( 42) ( 4，2)因此 sin，sin，( 4)2 23( 42)63则 cos
14、.故选 C.( 2)1 3332 23635 39答案 C三角函数的综合应用三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题，新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合线性规划知识命题，给今后的命题提出了新的挑战【示例 6】设函数f()sin cos ，其中，角的顶点与坐标原点重合，始3边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且 0.(1)若点P的坐标为，求f()的值；(1 2，32)(2)若点P(x，y)为平面区域Error!上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值解 (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得Error!于是f()sin cos 2.33321 27(2)作出平面区域(即三角区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)于是 0. 2又f()sin cos 2sin，且，3( 6) 6
