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1、实变函数1 实变函数综述是一门数学系主要的基础课程，目的是改造数是一门数学系主要的基础课程，目的是改造数 学分析的内容，以更加适合研究客观世界。学分析的内容，以更加适合研究客观世界。特征是：特征是：a. 从以区间、连续函数为主要研究对从以区间、连续函数为主要研究对 象拓广到以点集、可测函数为主要研究对象；象拓广到以点集、可测函数为主要研究对象； b. 极限的概念获得极大的改进和弱化；极限的概念获得极大的改进和弱化；c.勒贝勒贝 格积分代替了格积分代替了黎曼积分黎曼积分为数学各分支的发展提供了一个分析基础，使为数学各分支的发展提供了一个分析基础，使 数学现代化成为可能数学现代化成为可能参考文献周
2、民强，实变函数(论)，北京大学出版社，1995.6(2001)周性伟，实变函数，科学出版社，1998.9胡适耕，实变函数，高等教育出版社，1999.7徐森林，实变函数论，中国科学技术大学出版社，2002郑维行等，实变函数论与泛函分析概要，高等教育出版社,1987夏道行等，实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1983.2Halmos，测度论(Measure theory) Rudin , 实分析与复分析(Real and complex analysis).教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版）,程其襄 等编 高等教育出版社，2010年6月.考核：闭卷考试平时成绩占30%（包括作业、出勤和小
3、测验）， 卷面成绩占70%江渝，65903843，红瓦楼914答疑时间：待定2.微积分发展的三个阶段创立（17世纪）：Newton（力学）Leibniz（几何） (无穷小)严格化（19世纪）: Cauchy, Riemann, Weierstrass (极限理论(-N, -语言)，实数理论)外微分形式（20世纪初）：Grassmann, Poincare, Cartan （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）微积分继续发展的三个方向外微分形式 (整体微分几何) （微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）3.学习实变函数的出发点与思路应用
4、广泛R可积的函数类太小，D（x）不可积R积分本身的缺陷4. Riemann积分回顾(1) Riemann积分的定义积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。xi-1xiiniiTbaxfdxxfR 10|)(lim)()(其中iiiiii xxxxx 11(2) Riemann可积的充要条件f(x)在a,b上Riemann可积iniiTbaxMdxxf 10|lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10|: )(inf: )(sup11iiiiii xxxxfmxxxxfM其中：xi-1xixi-1xi(2) Riemann可积的充要条件f(x)在a,
5、b上Riemann可积 iniixT1, 0，使得分划iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM: )(inf: )(sup11其中：xi-1xi例：Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形 可看成由0,1中每个 有理点长出的单位线 段组成。11 iniixT，有分划1lim)(10| iniiTbaxMdxxf上积分0lim)(10| iniiTbaxmdxxf下积分 有理数集:)(1 ,01 1 ,00 QxDQx Qx （3)Riemann积分的局限性( )( )( )xaf t dtf xf aa.微积分基本定理 定理：若f(x)在 a,b上可微且f (x
6、)在a,b上 Riemann可积,则 1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积； Riemann积分意义下，微分和积分不是互为逆运算b.积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）例：设rn为0,1中全体有理数(因为其为可数集，故可把它排成序 列)，作0,1上的函数列 , 3 , 2 , 1)(,1 , 1 , 00321321 nxfnnrrrrx rrrrxn故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限 运算与积分运算不一定可交换次序，即：dxxfdxxfnnbanban)(lim)(lim 不一定成立。Qx QxnnxDxf 1 , 01 1 , 00)
7、()(lim则 fn(x)在a,b上Riemann可积,但不Riemann可积。Riemann积分iniiTbaxfdxxfR 10|)(lim)()(xi-1xi为使f(x)在a,b上Riemann可积， 按Riemann积分思想，必须使得 分划后在多数小区间上的振幅 足够小，这迫使在较多地方振动 的函数不可积。Lebesgue提出， 不从分割定义域入手， 而从分割值域入手；(积分与分割、介点集的取法无关)iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM: )(inf: )(sup115.Lebesgue积分思想简介1902年Lebesgue在其论文“积分、长度与面积”中 提出（参见：Lebe
8、sgue积分的产生及其影响，数学 进展，2002.1）iniibamEdxxfL 10,lim)()(yi yi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度”Lebesgue积分思想iniibamEdxxfL 10,lim)()(取“极限”)(:1iiiyxfyxE取点集yi yi-1f(x)在 Ei上的振幅不会大于iniimEs 1作和iiiyy1其中 mEi 表示 Ei 的“长度”，Mxfmyyii)(,1其中Myyyymn210, 0 作分划即：对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值 的大小分类，然后计
9、算每一类的面额总值，再相加， 这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序 来计算总数，那就是Riemann积分思想（参见：周性伟，实变函数教学的点滴体会， 高等理科教学，2000.1）即采取对值域作分划，相应得到对定义域的分划 （每一块不一定是区间）， 使得在每一块上的振幅都很小， 即按函数值的大小对定义域的点加以归类yi yi-16.Lebesgue积分构思产生的问题(1) 集合Ei的“长度”如何定义（第三章 测度论）；(2)怎样的函数可使 Ei 都有“长度”（第四章 可测函数）；(3)定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章 积分论）；第一章 集合，
10、 第二章 点集， 第六章 微分与不定积分yi yi-1)(:1iiiyxfyxE7.集合论中的例子 Hilbert旅馆问题 1, 2, 3, 4, 5, 6, a1, a2, a3, a4, a5, a6, 问下列情况是否能把新来的人安排下：1 又来了有限个人b1, b2, b3, ，bn3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队）4 又来了0,1个人2 每个人带一个亲戚b1, b2, b3, , bn, Hilbert旅馆问题解答1 b1, b2, b3 , , bn , a1 , a2 , a3 , 1, 2, 3, 4, 5, 6,a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 4 不能安排进去（0,1是不可数集）2 b1, a1 , b2, a2 , b3, a3 , 3 a1, a2 , a3 , a4 ,a11, a12, a13, a14, a21, a22, a23, a24, a31, a32, a33, a34,
