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1、结构力学 STRUCTURAL MECHANICSChap4 静定结构的位移计算 4.1 概述 4.2 虚功原理 4.3 结构位移计算一般公式 4.4 荷载作用下静定结构位移计算 4.5 图乘法 4.6 温度变化时静定结构位移计算 4.7 线弹性体系互等定理4.1 概述1、结构位移及其分类 变形：结构在荷载作用下，会产生应力和应变，以致结 构的原有形状会发生变化，这种变化称为变形。位移：结构变形时，结构上某个点发生的移动或某个截 面发生的转动，称为结构的位移。 除了荷载作用将引起位移外，温度改变、支座移动与制造 误差等因素，虽然不一定使结构都产生应力和应变，但都将使 结构产生位移。1、结构位移
2、及其分类 角位移线位移位移的分类：线位移；角位移。AB相对角位移2、结构位移计算的目的 验算结构的刚度；为超静定结构的内力计算打下基础；结构制作、施工的需要。3、结构位移计算的假定材料服从虎克定律。 结构的变形是微小的。 结构各处的约束都是理想约束。线弹性体系4.2 虚功原理（1）刚体体系虚功原理（2）变形体体系虚功原理（1）刚体体系虚功原理(一)虚功的概念 如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起， 即作功的力与相应于力的位移彼此独立，二者无 因果关系，这时力所作的功称为虚功。力系所属状态称为力状态 位移所属状态称为位移状态1.虚功(一)虚功的概念 2.虚功与实功的差别FP111AB11OA
3、BFPFP1FP1112212ABFP2III2.虚功与实功的差别的第一个脚标表示位移发生的位置和方向，即此位移是作用点沿方向的位移；引起的。 第二个脚标表示产生位移的原因，即此位移是由虚功所谓“虚”就是表示位移与作功的力无关。FP1AB12ABFP2状态1上的力也可以不是一个力，而是一组力；状态2上的虚位 移也可以不是一个力或一组力引起的，而是其他因素，比如温 度改变、支座移动等引起的。虚位移可以理解为结构可能发生 的连续的、微小的、约束所允许的位移。12状态1的力在状态2的位移上所作的虚功 2.虚功与实功的差别(二)虚功原理 具有理想约束的刚体体系在任意平衡力系作用下，体 系上所有主动力在
4、任一与约束条件相符合的无限小刚 体位移上所作的虚功总和恒等于零。刚体体系的虚功方程 所谓理想约束，是指其约束力在虚位移 上所作的功恒等于零的约束。 (三)虚功原理的两种应用1.虚设位移状态求未知力FPABab lFAFByFBx拟求支座A处的支反力 FPABFAABAPAB虚位移原理 应用虚位移原理求解静定结构的某一约束力时， 一般应遵循如下步骤： （1）解除欲求约束反力的约束，用相应的约束反 力来代替。 （2）把机构可能发生的刚体位移当作虚位移，写 出虚功方程。 （3）求出虚位移之间的几何关系，利用虚功方程 即可求解约束反力。单位支座位移法 单位位移法 2aAEDCBFFPFPa2a2aaA
5、EDCBFFPFPFDA EDCBF例 试求图示多跨超静定梁的支反力和截面C处的弯矩。FD2aAEDCBFFPFPa2a2aaAEDCBFFPFPAEDCBFMC2a(三)虚功原理的两种应用2.虚设力状态求未知位移ABab lCc拟求C点的竖向位移 ABCFP=1虚力原理 单位荷载法 4aADCB2aa（2）变形体体系虚功原理(一)虚功原理(二)变形体体系虚功方程的推导 ABdsAB相对轴向应变 相对切应变 相对轴线曲率 变形体体系的虚功方程 力状态的外力在位移状态的位移上所作的外力虚功 ，等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的内 力虚功。论对于弹性、非弹性、线性、非线性的变形体体系 均适用
6、。4.3 结构位移计算一般公式1、计算位移的一般公式 平面杆件结构位移计算的一般公式 2、结构位移计算的一般步骤3、广义位移的计算3、广义位移的计算3、广义位移的计算4.4 荷载作用下静定结构位移计算1、荷载引起的位移的计算公式 重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。为虚设单位荷载引起的内力；计算步骤： （1）根据荷载情况，求出结构各截面的 ；（2）利用材料力学公式，求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变： （3）荷载作用下的位移计算公式：2、各类结构的位移公式(1)梁和刚架(2)桁架(3)桁梁混合结构(4)拱通常只考虑弯曲变形的影响，精度就够了；仅在扁平拱中计算 水平位移时才考虑轴向变形对位移的影响
7、。3、截面平均切应变 和系数4、梁的位移计算举例 （1）根据欲求位移虚设单位荷载，然后分别列出各杆段 的内力方程；位移计算的基本步骤：（2）列出实际荷载作用下的各杆段内力方程；（3）将各内力方程分别代入到相应的计算公式中，分段 积分后再求和，即可计算所求位移。 例：试求图示悬臂梁在A端的竖向位移 ，并比较弯曲变形与剪切 变形对位移的影响。P=1ABqlABABMP图FQP图实际受力状态虚设荷载状态ABABAB图图弯曲变形引起的位移为 剪切变形引起的位移为 总位移为 实际受力状态虚设荷载状态剪切变形与弯曲变形引 起的位移的比值为 对于一般的梁可以忽略剪 切变形对位移的影响。对于深梁，剪切变形对位
8、移的影响不可忽略。 4.5 图 乘 法（2）利用积分公式 ，求解结构位移。（1）写出 和 的表达式；梁、刚架在荷载作用下的位移计算回顾1、图乘法及其应用条件 （1）杆轴为直线；应用条件：（2）EI为常数；（3） 和 两个弯矩图中至少有一个直线图形。 MiyxMKdxxy0x0AMK图Mi图CAOB是微分面积对y轴的面积矩； 是 图面积A对y轴的面积矩。 是 图的微分面积； 杆段为等截面直杆；两个弯矩图中至少有一个直线图形， 标距y0取自直线图中。应用条件：面积A与标距y0在杆的同一侧，乘积Ay0取正；否则取负。正负号规则：2、常见图形的面积和形心位置 (a+l)/3(b+l)/3三角形A=hl
9、/2labhC l/2l/2C二次抛物线A=2hl/3h顶点5l/83l/8二次抛物线A=2hl/3顶点hC3l/4l/4二次抛物线A=hl/3顶点hC2、常见图形的面积和形心位置 (n+1)l/(n+2)l/(n+2)n次抛物线A=hl/(n+1)C 顶点hhC4l/5l/5三次抛物线A=hl/4顶点3、应用图乘法时的几个具体问题（1）如果两个图形都是直线图形，则标距y0可任取自其中一个 图形。 （2）如果一个图形为曲线，另一图形为折线，则应分段考虑。A1y1MK图Mi图A2A3y2y33、应用图乘法时的几个具体问题（3）如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。
10、A1 A2y1y2abdcMK图Mi图梯形分解l/3l/3l/3各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同 侧乘积取正，否则取负。3、应用图乘法时的几个具体问题（3）如果图形比较复杂，可以将图形分解为几个简单图形，分项计算后再进行叠加。非标准抛物线分解labdchMKMi+bah+4、例题例：试用图乘法计算图示简支梁在均布荷载作用下的B端转角。 qABAB1MP图图例：试求图示悬臂梁中点C的挠度。图MP图FPABCl/2l/2FPlABC1l/6l/3方法1：标距取自 图方法2：标距取自 图 例：试求图示刚架结点B的水平位移，只考虑弯曲变形的影响。qllql2/2ql2/8qlql
11、/2ql/2A1A3A2BAC图 MP图ql2/2111ly1y31ly2例：试分析例5-9所示刚架轴线变形对B点水平位移的影响。P=1qllBFNP1=0qlql/2ql/2A111 FNP2=ql/2ACFNP4.6 温度变化时静定结构位移计算t2CBAt1dsd t0dst1ds t2dshh1 h2111a例：试求图示刚架C点的竖向位移。梁下侧和柱右侧温度升高 ，梁上侧和柱左侧温度无改变。各杆截面为矩形，截面高度 ， ， 。图图aa0+10+10C0BA4.7 线弹性体系互等定理互等定理的应用条件（1）材料处于弹性阶段，应力与应变成正比； （2）结构变形很小，不影响力的作用。状态 I状
12、态 II1、功的互等定理令状态I的力系在状态II的位移和变形上作虚功令状态II的力系在状态I的位移和变形上作虚功在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上所作的功 等于第二状态外力在第一状态位移上所作的功 。 2、位移互等定理FP121FP212称为位移影响系数 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影 响系数 等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 。3、反力互等定理称为反力影响系数 c1c2FR11FR21FR22FR121122在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响 系数 等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数 。
