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1、104难点难点 31 数学归纳法解题数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突 出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. 难点磁场()是否存在 a、b、c 使得等式 122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c).12) 1( nn案例探究 例 1试证明：不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列，当 n1,nN*且 a、b、c 互不相等时，均有：an+cn2bn. 命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属级题目. 知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对
2、等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(akck)(ac)0 恒成立(a、b、c 为正数)，从而 ak+1+ck+1akc+cka.证明：(1)设 a、b、c 为等比数列，a=,c=bq(q0 且 q1)qban+cn=+bnqn=bn(+qn)2bnnnqbnq1(2)设 a、b、c 为等差数列，则 2b=a+c 猜想()n(n2 且 nN*)2nnca 2ca 下面用数学归纳法证明：当 n=2 时，由 2(a2+c2)(a+c)2，222 )2(2caca设 n=k 时成立，即,)2(2kkkcaca则当 n=k+1 时， (ak+1+ck+1+ak
3、+1+ck+1)41 211 kkca(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)41 41()k()=()k+12ca 2ca 2ca 例 2在数列an中，a1=1，当 n2 时，an,Sn,Sn成等比数列.21(1)求 a2,a3,a4，并推出 an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列an所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析：(2)中，Sk=应舍去，这一点往往容易被忽视.321 k技巧与方法：求通项可证明是以为首项，为公差的
4、等差数列，进而求得nS111 S21105通项公式.解：an,Sn,Sn成等比数列，Sn2=an(Sn)(n2) (*)21 21(1)由 a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=32由 a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得：a3=32 31 152同理可得：a4=,由此可推出：an=352) 1( ) 12)(32(2) 1( 1nnnn(2)当 n=1,2,3,4 时，由(*)知猜想成立.假设 n=k(k2)时，ak=成立) 12)(32(2 kk故 Sk2=(Sk) 12)(32(2 kk21(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)321,121
5、 kSkk由 Sk+12=ak+1(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)21 21.1, 1) 1(23) 1(2221 12122 ) 12(11112 112 12命题也成立即 knkkaakaakaakkkk kk k由知，an=对一切 nN 成立. )2() 12)(32(2) 1( 1nnnn(3)由(2)得数列前 n 项和 Sn=,S=Sn=0.121 nlim n 锦囊妙记 (1)数学归纳法的基本形式 设 P(n)是关于自然数 n 的命题，若1P(n0)成立(奠基) 2假设 P(k)成立(kn0)，可以推出 P(k+1)成立(归纳)，则 P(n)对一切大
6、于等于 n0的自 然数 n 都成立. (2)数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的 通项与和等. 歼灭难点训练 一、选择题1.()已知 f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数 m,使得对任意 nN,都能使 m 整除106f(n)，则最大的 m 的值为( ) A.30B.26C.36D.62.()用数学归纳法证明 3kn3(n3,nN)第一步应验证( ) A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4 二、填空题3.()观察下列式子：则可归47 41 31 211 ,35 31 211 ,23 21122222纳出_.4.()已知 a1=,an
7、+1=,则 a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想21 33 nn aaan=_. 三、解答题5.()用数学归纳法证明 4+3n+2能被 13 整除，其中 nN*.12n6.()若 n 为大于 1 的自然数，求证：.2413 21 21 11nnnL7.()已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145. (1)求数列bn的通项公式 bn;(2)设数列an的通项 an=loga(1+)(其中 a0 且 a1)记 Sn是数列an的前 n 项和，nb1试比较 Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.318.()设实数 q 满足|q|1,数列an满足：a1=2,a20,an
8、an+1=qn,求 an表达式，又如果S2n3,求 q 的取值范围.lim n参考答案 难点磁场 解：假设存在 a、b、c 使题设的等式成立，这时令 n=1,2,3,有101133970)24(2122)(614cbacbacbacba于是，对 n=1,2,3 下面等式成立122+232+n(n+1)2=)10113(12) 1(2nnnn记 Sn=122+232+n(n+1)2设 n=k 时上式成立，即 Sk= (3k2+11k+10)12) 1( kk那么 Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)22) 1( kk107= (3k2+5k+12k
9、+24)12)2)(1(kk=3(k+1)2+11(k+1)+1012)2)(1(kk也就是说，等式对 n=k+1 也成立. 综上所述，当 a=3,b=11,c=10 时，题设对一切自然数 n 均成立. 歼灭难点训练 一、1.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除. 证明：n=1,2 时，由上得证，设 n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除，则 n=k+1 时， f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k
10、 =(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2) f(k+1)能被 36 整除f(1)不能被大于 36 的数整除，所求最大的 m 值等于 36. 答案：C 2.解析：由题意知 n3，应验证 n=3. 答案：C二、3.解析：11112 ) 11 (1123 21122即12122 ) 12(1 ) 11 (11,35 31 2112222即(nN*)112 ) 1(1 31 211222nn nL归纳为(nN*)112 ) 1(1 31 211:222nn nL答案53,553 103,543 93,533 83 33,523 7332121333:. 454 22 311 2 naaaaa
11、aaaan猜想同理解析、 73:答案83 93 103 53 n 三、5.证明：(1)当 n=1 时，421+1+31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时，42k+1+3k+2能被 13 整除，则当 n=k+1 时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13 =42k+113+3(42k+1+3k+2) 42k+113 能被 13 整除，42k+1+3k+2能被 13 整除108当 n=k+1 时也成立. 由知，当 nN*时，42n+1+3n+2能被 13 整除.6.证明：(1)当 n=2 时，2413 127 221 121(2)假设
12、当 n=k 时成立，即2413 21 21 11kkkL2413 ) 1)(12(21 2413221 121 2413 11 221 121 241311 11 221 121 21 31 21,1kkkkkkkkkkkkkkknL时则当7.(1)解：设数列bn的公差为 d,由题意得, 311452) 110(10101 111dbdbbbn=3n2 (2)证明：由 bn=3n2 知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)41 231 n=loga(1+1)(1+)(1+ )41 231 n而logabn+1=loga,于是，比较 Sn与logabn+1的大小比较(1+1
13、)(1+)(1+31313 n3141)与的大小.231 n313 n取 n=1，有(1+1)=33311348取 n=2，有(1+1)(1+33312378)41推测：(1+1)(1+)(1+) (*)41 231 n313 n当 n=1 时，已验证(*)式成立.假设 n=k(k1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)41 231 k313 k则当 n=k+1 时，)1311 (13)2) 1(311)(2311 ()411)(11 (3 kkkkL3131323kkk109333222333331) 1(343)23(13130) 13(49 ) 13() 13)(43()23()
14、43()131323(kkkkkkk kkkkkkkkQ,即当 n=k+1 时，(*)式成立31) 1(3)1311)(2311 ()411)(11 (kkkL从而由知，(*)式对任意正整数 n 都成立.于是，当 a1 时，Snlogabn+1,当 0a1 时，Snlogabn+131 318.解：a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,29anan+1=qn,an+1an+2=qn+1两式相除，得,即 an+2=qanqaann12于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜想：a2n+1=qn(n=1,2,3,)21综合，猜想通项公式为 an= )(2 21)(12 21N NN Nkknqkknqkk时时下证：(1)当 n=1,2 时猜想成立 (2)设 n=2k1 时，a2k1=2qk1则 n=2k+1 时，由于 a2k+1=qa2k1a2k+1=2qk即 n=2k1 成立. 可推知
