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1、辽宁师范大学教育硕士研究生学位论文论文题目：数学问题解决的研究与实践研究生：吕雪指导教师：李莉专业方向：学科教学数学年级：2 0 0 3 级辽宁师范大学研究生部2 0 0 5 年4 月数学问题解决的研究与实践数学问题解决的研究与实践专照：数学教育中文摘要：本文壤据瑗代诀短瑾谂、教育懋诠，狡器奔绥了润惩与弱惩瓣决的涵义及问题解决的过程，主要分析阐述了对数学问题解决的理解：数学问颜的涵义、结构、与习题的区别；数学问题解跃的思维进程、策略、方法等。莽在我蒸磴主，联系谋程踱革瑷菰与素凄蒙肖的要求论述了问题解决在数学教学中的地位、谯教学实际中如何培养学生解决阚题的能为并进行了一些尝试与实践。关键谰：阔麓
2、问嚣解决数学潮惩数学问题解决问题解决与数学教学弓l言2 0 0 1 年6 月，教育部颁布基础教育课程改革纲要，特别强调“一应根据基础教育课程改革的目标与内容，调整培养目标、专业设置、课程结梭，改革教学方法。”进行数学谦程敬革也是索痰教育羧革深入发展静需要“数学应面向垒体学生，提高学生的数学索养”是贯穿这次数学课程改革的核心理念和灵馥主线。强调发展学生的数学应用意识帮能力，认为学生在“数学器考、解决闷蘧”等方面的发展诧单纯在“知识技能”方面的发展更为黧骥。数学问题解决能力的发展是数学学习的酋要任务。数学教学零莰要壤葵学生爨骞现代戮学躲系绫雏基鑫| l 甄识窝基本技鹱，燮要教会学生学会思考，其宥独
3、立的、创造性解决问题的能力。本文主要围绕这个主题，结合救学实际给出一些粗浅的见解。一、问题与问题解决巴尔扎党说：抒羚一切科学大门的销匙毫无辩波的部怒目号，我髓大部分的伟大教现都应该归功予“为什么”。闯蓬是入类认识满动的起点、动力、和方向。发现问麟。应如何解决? 因此在谈及本文的生要内容之前，毒盛蔡费确一下“酒爨”弱“鞠疆解决”的涵义，蛙及弱艨解决斡一般遘程鞠策略。 ( 一) 问题海惩是多耱多样静，“蠢戴8 这个橇念涵义瞧缀广，其有一定静将 玺。1 对问题涵义的不同理解一个人在生活中每时每蠹都会遇至耱种各样的目题。早在1 9 4 5 年，卡尔登克容( K d 魏l n e k 目) 就曾提出有关
4、问题的定义，酃：闽题产生于当巢一生物具有一个目标，但不知如何选到这一目标之时。尽管几十年过 去7 ，但是拣一毒关闯惩的定义基零土仍是正确酶，美国羲学窳桂藏数学同麟解决的研究与实践( J D e w e y ) 也指出，问题存在于人们遇到困难时。目前西方心理学界比较流杼的婚疆的定义是幽美国心理学家缀聪尔与廷簸( N e w e l l s i m o n ) 提出的，即：闽磁是这样一种情境，个体想做菜件事，但不能即亥赣口道徽这件事所需采取的一系列行动。西蒙曾通俗地指出，当一个人接受一项任务，毽又不知道鲡舞去竞袋它鞋，锻掰耍瞧熬的裁是一令翔疆。根据现代认知心理学的研究，笔者认为一个问题包括个既定的
5、状态( 即，对现存情境的描述) 和一套操作蓉数( 即，从一种状态移动到另一种捩态豹巍粪或程穿) 。警情境簸予菜一捩态 i 孬阉鞭解决者雅鎏该情壤能进入另一种状态，而这时叉存在着某些障碍从一个情境向另个情境的顺利转按，趣题就是在这秘情况下发生鲍。2 问题赫须满足盖个特挫：( 1 ) 接骚性。本人接受这个问题。镣个人对阅题的接受都有各自的状嚣，燕括蠹部瓣葫因翻， 帮兹凌因。( 2 ) 障碍性。没有起始状态到达目标状态的现成的手段，必须通过一定的思维活动才能找到答案。( 3 ) 襟究往。没前一个瑗藏帮经验鹃方法萄 乏弱建，妊须对阏糕进行探兜。1 3 lo 营c o s c 三 21 问题( 1 )
6、随之就化归为：在4 B c 中，彳= 2 c ，求证c o s c 妄 Z同样可证问题( 2 ) 。分析上述解题过程，将元素统一、将条件与结论统一是关键。其实，中学数学学习内容，大部分内容是遵循着统一性原则的，如不同底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的米运算，多变元的问题通过消元变为一个变元的问题，三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统一等等。所以，和谐统一性原则是数学化归思维的一项重要原则。c ：具体化原则。指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时，应着力将问题向较具体的问题转化，以便其中的数量关系更易把握。d ：标准形式化原则。指将特解问题在形式上向该类问题的标准
7、形式化归。标准形式是指已数学瓣莲辩按瓣研究与实鹱经建立起来瓣数学横式如一嚣二次方程求根公式及摄与系数的关蒹都是关于标准形式的一元二次方程僦2 + 搬+ c = O 而言的，只有化归成标准的一茏二次方程嚣，才嚣露螭哭缝果。e ：底层次他僚则。魍决数学问题时，应尽擞将高维空间的待解问题化归成底维空间的闸纛，离次数懿闻嚣纯扫畿疯次数静阏麓，多元瓣疆健翔戈少元闻麓解决。化归常用方法有化繁为筒；化赢维为低镣；化抽象为具体：化非规范犊闯题为规范性闽题；纯数为形；化实际问题为数学闽题；化综仓为单一；纯一般为特殊。( 2 ) 数学建模方法“数学建攮”麓运瑗数学思想、方法鄯知谈解决实际运题熬过程，德含新课程标准
8、的要求，已经成为不同层次数学教育重要的和基本的内容。 数学建模W 以通过以下框凰体现：合乎实在数学建模中，闯越是关键。数学建横的闷题痘是多样的，斑来自学擞的酲常生活、联鬟毽界、其它学科等多方两。同时，解决阉题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系。数学建模可以采取课题筑鳇学习模式，教萍应g 导秘组织学燕学会独立愚考、努工合嚣、交流讨论、寻求帮助，成为学生的含作伙伴瓤参谋。鼓励学生使用计算机、计算- l 毒数学阔麟解决的研究与实践器罅工具，教师在必要时应给予适当的指导。指导学生完成数学建模报告报告中应毽攒闻题提出的背景、瓣题解决方案的设计、问题解决的过程、合作过程、结果的评价等。例现
9、需将一个半径为r 的嘲住形钢坯，加工成矩形截颟的钢柱。问怎糕藏取方辘使键柱戆体积为最大?分析：这是一个实际问题，豢使钢柱体积最大，使钢 宝截面积最大即可。所以，这个问题就是在已知圆内求出面积最犬的内接缀形。如图：鼬湖嚣长舡，粼贯谜瑚鼢= 正矿了，爿踊疆啪夹角为掰根搠变量瀚不同我们可以得捌下面不同的数学模黧。 模擞一：x 为何值时，丞数= 拶。菇坂五严i 徽僮 着I l 二：确何值时，透蚕滞= 4 嚣嚣c = _ 2 ，s i n 口) ( 2 r c o s 掰) 一2 ，2s i n 2 口宥最大使在约柬条件仁Z 2 下 求晒豁= 椭最大值兰、关干数学问趱解决的教学面晦2 l 世纪科学技术高
10、度发展，社会生活、生存条件急剧变化，电子计算祝静威用像语崔一样入A 都不可缺少的多媒律薅代，学什么，怎么学，应具有什么样的知识和能力才能主动适应这贱变化? 问题解决八十年戴寒g 入我嚣教育葬，受銎l 数学教赛要敕簧速关注。薮静教育思怒瓣教薅产生了定的影响，蘸要的一点是如何稽待问题榔狭教学的定位问蹶，方能卓育成效她进行问麒解决教学实践。 ( 一) 。“淘蘧鬈决”对审学数学教掌豹彩藕数学教学就是簧教会学生进行数学活动，即会把实际问题划为数学阚麟，恕数学闯题逐缀模式他，形成数学理论系绕，从丽形成数学糍力和数学观念，获得数学素养。闯藏解决对遗稀数学活动韵认谈和开最都其有推动作用。 l 。阚题趟决虚瑗l
11、 谖学教攀串砖琏蠢蔓。- 1 5 数学问题解决的研究与实践其实问题解决在数学教学中并不是一个新课题。著名心理学家加涅( G a g n e ) 在对学习进行分类时，先将学习分为8 类，后来改进为6 类。反映到教学中自然也有相应的8 类或6 类，但后3 类均为概念教学、命题教学、问题解决教学。其中，概念教学是基础，命题教学是核心，而问题解决则是前面两种教学的综合和提升，这就是问题解决的地位与价值。不过现代意义的问题解决教学与原来意义下的这种教学有两个重要的变化：( 1 ) 地位的变化。由“综台和提升”变为“8 0 年代中学数学的核心”，取代了数学命题的地位。( 2 ) 教育思想的变化。原来是为了
12、掌握概念、命题，并能用它们解决实际问题；现在意义的这种教学则强调学生的创造性，培养学生数学思维能力，树立数学观念。 2 问题解决的提倡时数学教学影响深远。问题解决的研究与实践，主要领域无疑是在数学教学中，因而问题解决有时被称为“问题解决教学”。到现在为止，对问题解决在教学中的含义有种种不同的解释，下面几种观点值得我们重视。其一，“问题解决”是数学教学的一个目的。持这种观点的人把学习怎样解决问题看成是学习数学的根本原因，强调要重视培养和发展学生解决问题的能力，其目的并不单纯地为了多解决几个新问题，而是为r 学习在这个充满疑问、有时甚至连问题的答案都是不确定的世界里生存的本领。数学教学目的在于引导
13、学生科学地观察、分析、抽象、概括并运用适当的方法求出问题可能的结果。其二，“问题解决”是个过程，具体讲是数学教学中对学生运用数学知识进行思维的指导过程，也是学生学习数学的一个发现过程、探索过程、 创新过程。从这个认识出发，我们不能只教给学生现成的数学知识一产品， 雨应教给学生把现实中的数量关系或构造给以数学化的解决一一过程。在 “过程教学”中。着重考虑的是学生用以解决问题的方法、策略及思维过程。这与我们过去在教学中所存在的，在“高考”、“中考”指挥下的，为了应付考试，不强调过程，只重视“结果”的状况是一个鲜明的对照。其三，“问题解决”是个基本技能。这个基本技能远非是一个单一的技巧，而是若干个技
14、巧的一个整体。在这个整体中，必须考虑问题的其体内容、形式以及从构造数学模型，设计求解模型的方法等等。这个观点强调h 硝 了“问题解决”作为基本数学技能的重要性和重大意义这些观点最基本的共同处是强调创造性地解决未解决的问题，培养学生的数学思维能力，树立数学观念，而不是强调数学知识和常规习题。因此我 l 】将上面几种观点综合起来，如果将问题解决作为目的，不仅增强数学教学目的完善性和可测性，而且具体体现出问题解决是中学数学的核心；- 1 6 -数学时磁解决的研究与实践如果将问题解决作为过程，能有助于检验我们对技能和概念所做的操作，它们彼此闻的耀互联系及它们在解决各种闯题中斑起的作甩，有勃予学生去发蕊
15、、去设计、去创新、去完戒；如聚将闯惩解决作为藏本技能，可以帮助我们组织日常教学中的技能，以及概念和问牒解决的基本内容。按照这撵豹综合溪点，“翘嚣瓣决”努将黠数学教骞及教学在试谈上斡提赢产生深避影响。 ( 二) 纛视数学问题解决的教学现钱社会燕瓣学技术竞争蔓热激嚣静时筏，瓣麓数字诧技术豹搀滋，数学与数学教育对国家的发展起着越来越重器的作用，教师是实施新课程的主体，是推行课程改革瓣关键。鞭的课程器要薪型的教瘴。必要求学篷“记忆公理定理、套题行瓣法”的教学方法可髓导致学生思维发展的停止，聪明才橱被扼杀。为适应2 l 世纪_ 歼放型、创新型人才的需要，中学数学教学一定鼙重视 越藤蘩决豹教学。1 加强对
16、数学知识发生发展过程的教学，既簧注意学生认知过程的特点，叉要注意数学知识的逻辑性、连续性、系统性。2 数学教学孛，妥簸融学黧在数学学鹭中静癌主活动。教簿要；l 导学生程理解数学中的道理和意思酌过程中培养自我_ i I 箍控能力。3 讨论嚣争争成功豹解法，如果可能的话，和以前的闷鼷联系起来，对简磁避行推广。概括出一般原壤，会藏辩解决薪鲻题有用的经验。4 重视数学应用，培养和发展学生的数学应用意识。课程标准指出：“裹孛数学谍程斑谤漉一些基本内容戆察际謦暴鞠斑用终馕，舞震数学建稹的学习活动，设虚些反映数学应用的专麒课程。”撼倡以数学思想为童线的应用教学法。加强从实际问题中抽象、概括数学模型教学，提赢 獬 学生的数学建模能力。( 三) 。丸穰I 殴学阏艇及其解决的方法俗话说：“授之鞋缀，不翔授之以渔”。笔者结台自己的高中教学实际，针对教学中常见的几种问题及其解决方法进行了2 年多的实践，现小缩如下： 1 排列女晗问题的制析在辫答接列组合目题对，不少同学感赏困难，分辨不渍是摊
