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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）数学（文科）第第 I I 卷（共卷（共 5050 分）分）本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 ， ，则 24Axx130Bx xxAB I（A） （B） （C） 1,31,42,
2、3（D） 2,4（2）若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 z1ziiiz （A） （B） （C） 1 i1 i1 i （D）1 i （3）设 ，则 的大小关系是0.61.50.60.6,0.6 ,1.5abc, ,a b c（A） （B） （C） abcacbbac（D） bca（4）要得到函数的图象，只需将函数的图sin 43yxsin4yx象（A）向左平移个单位 （B）向右平移12个单位12（C）向左平移个单位 （D）向右平移3个单位3（5）设 ，命题“若 ，则方程 有实根”mR0m 20xxm的逆否命题是（A）若方程有实根，则 20xxm0m （B） 若方程有实根，则20xxm0m （
3、C） 若方程没有实根，则20xxm0m （D） 若方程没有实根，则20xxm0m （6）为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图。考虑以下结论:甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温；甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（A） （B） （C） （D） （7）在区间上随机地取一个数
4、，则事件“0,2x”发生的概率为1 211log12x （A） （B） （C） 3 42 31 3 （D） 1 4（8）若函数 是奇函数，则使 成立的 的取 21 2xxf xa 3f x x值范围为（A） （B） （C） , 1 1,00,1（D） 1,（9）已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A） （B） （C）2 2 34 2 3（D）2 24 2（10）设函数 若 ，则 3,1,2 ,1,xxbxf xx546ffb （A）1 （B） （C）7 8（D） 3 41 2第第 II 卷（共卷（共 100 分）分）二、
5、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）执行右边的程序框图，若输入的的值为 1，则输出的 的值是 .xy（12）若 满足约束条件 则, x y1,3,1,yxxyy 的最大值为 .3zxy（13）过点 作圆的两条1, 3P221xy切线，切点分别为 A，B，则 .PA PBuu u r uu u r（14）定义运算“ ”：.当 22 ,0xyxyx yR xyxy0,0xy时，的最小值为 .2xyyx（15）过双曲线 的右焦点作一条与其渐近2222:10,0xyCabab线平行的直线，交 C 于点 P，若点 P 的横坐标为 则 的离2aC心率为 .三、解答题：本大题共
6、 6 小题，共 75 分（16） （本小题满分 12 分）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的请况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（I）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有5 名男同学，3 名女同学，现从这 5 名男同54321,AAAAA321,BBB学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求被选中且未被选中的1A1B概率。（17） （本小题满分 12 分）中，角所对的边分别为，已知，ABCCB,A,cba,33cosB，求和 的值
7、.32,96)sin(acBAAsinc（18） （本小题满分 12 分）如图，三棱台中，ABC-DEF分别为的2,ABDE G HBCAC,中点，（I）求证：平面；/BDFGH（II）若，求证：平面平面.BCABBCCF,BCDFGH（19） （本小题满分 12 分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前 项na11nnaan和为。12 nn（I）求数列的通项公式；na（II）设，求数列的前 项和 .na nna2) 1(bnbnnT（20） （本小题满分 13 分）设函数，已知曲线在点处的xexxgxaxxf2 )(,ln)()()(xfy )1 (, 1 (f切线与直线平行。02 yx
8、（I）求 的值；a（II）是否存在自然数 ，使的方程在内存在唯k)()(xgxf) 1,(kk一的根？如果存在，求出 ；如果不存在，请说明理由；k（III）设函数表示中的较小值） ，( )min ( ), ( )(min,m xf x g xp qqp,求的最大值.)(xm（21） （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知椭圆xoy的离心率为，且点在椭圆上，)0( 1:2222 baby axC23)21, 3(C（I）求椭圆的方程；C（II）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的144:2222 by axEPCP直线交椭圆 E 于两点，射线交椭圆 E 于点。mkxyBA,POQ（i）求的
9、值；OPOQ（ii）求面积的最大值。ABQ文科数学试题参考答案文科数学试题参考答案一、一、 选择题选择题（1）C （2）A （3）C （4）B （5）D（6）B （7）A （8）C （9）B （10）D二、填空题二、填空题（11）13 （12）7 （13） （14） （15）3 2223三、解答题三、解答题（16）解：（解：（I）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，人，故故 至少参加上述一个社团的共有至少参加上述一个社团的共有人，人，453015所以所以 从该班随机选从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一
10、个社团名同学，该同学至少参加上述一个社团 的概率为的概率为.151 455p （II）从这）从这 5 名男同学和名男同学和 3 名女同学中各随机选名女同学中各随机选 1 人，其一切可能人，其一切可能 的结果组成的基本事件有；的结果组成的基本事件有； 111213212223313233414243515253,A BA BA BA BA BA BA BA BA BA BA BA BA BA BA B共共 15 个个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件事件“被选中且被选中且未被选中未被选中”所包含的基本事件有：所包含的基本事件有：1A1B共共 2
11、个个.1213,A BA B因此因此被选中且被选中且未被选中的概率为未被选中的概率为.1A1B2 15p （17） 解：在解：在中，由中，由得得ABC3cos,3B 6sin,3B 因为因为，ABC所以所以6sinsin().9CAB因为因为10,(1,2)x( )xhx1 e当时，0,(2,)x( )xhx所以当时，单调递增.(1,)x( )h x所以1k 时，方程( )( )f xg x在( ,1)k k 内存在唯一的根.（III）由（II）知 方程( )( )f xg x在(1,2)内存在唯一的根0x，且0(0,)xx时，( )( )f xg x，0(,)xx时，( )( )f xg x
12、，得到020(1)ln ,(0, ( ),(,)xxx xx m xxxxe.当0(0,)xx时，若(0,1 ,x( )0;m x 若由0,0(1,),xx1( )11m xnxx可知 00( )().m xm x故0( )().m xm x当0(,)xx时，( )m x(2),xxx e可得0(,2)xx时，( )0,( )m xm x单调递增；(2,)x时，( )0,( )m xm x单调递减；可知24( )(2),m xme且0()(2)m xm.综上可得函数( )m x的最大值为24 e.（21）解：（解：（I）由题意知22311,4ab又223 2ab a，解得224,1ab.所以
13、椭圆 C 的方程为2 21.4xy（II）由由（I）知椭圆 E 的方程为22 1164xy.（i）设00|(,),|OQP xyOP由题意知00(,)Qxy.因为2 20 01.4xy又22 00()()1164xy，即22 20 0()1.44xy所以2，即|2.|OQ OP（ii）设1122( ,), (,),A x yB xy将ykxm代入椭圆 E 的方程，可得222(14)84160kxkmxm，由0, 可得224 16mk则有21212228416,.1414kmmxxx xkk 所以221224 164|.14kmxxk因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0,)m，所以OAB的面积2222212222 (164)12| 164|21414km mmkmSmxxkk22222 (4).1414mm kk设22.14mtk将ykxm代入椭圆 C 的方程，可得222(14)8440kxkmxm，由0, 可得2214mk 由可知 t,01因此22 (4)24St ttt故2 3S .当且仅当1t ，即2214mk 时取得最大值2 3.由（i）知，ABQ的面积为3S，
