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1、专题二 面向量、复数运算1向量共线的充要条件：O 为面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是12(其OPOAOB中 121)2三角形中线向量公式：若 P 为OAB 的边 AB 的中点，则向量与向量、的关系是 (OPOAOBOP12)OAOB3三角形重心坐标的求法：G 为ABC 的重心0G.GAGBGC(xAxBxC3，yAyByC3)O 为ABC 垂心OAOBOBOCOCOA4abab0(a0，b0)5i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i.6z |z|2，(1i)22i，(1i)22i，i，i.z1i1i1i1i类型一 面向量的概念及线性运算典例 1 (1)设 D 为ABC 所在
2、面内一点，3，则( )BCCDA. B.AD13AB43ACAD13AB43ACC. D.AD43AB13ACAD43AB13AC解析：通解一： ()ADABBDABBCCDAB43BCAB43ACAB13AB43.故选 A.AC通解二： ().选 A.ADACCDAC13BCAC13ACAB43AC13AB13AB43AC优解：如图，建立面直角坐标系，设 B(0,0)，A(0,1)，C(1,0)，则 D.(43，0)，(1，1)，(0，1).选 A.AD(43，1)ACABAD43AC13AB(2)已知 e1，e2是不共线向量，ame12e2，bne1e2，且 mn0，若 ab，则 等于(
3、)mnA B. C2D21212解析：通解：(直接法，利用向量共线定理)ab，ab，即 me12e2(ne1e2)，则Error!解得2.mn优解：(用向量坐标表示)将 e1，e2视为 x 轴，y 轴上的单位向量，a(m,2)，b(n，1)ab 2.故选 C.答案：Cmn21面向量线性运算的两种技巧(1)对于面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或行四边形中，灵活运用三角形法则、行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算；(2)在证明两向量行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当 b0 时，ab存在唯一实数 ，使得 ab)来
4、判断自我挑战1在等腰梯形 ABCD 中，2，M 为 BC 的中点，则( )ABCDAMA. B.12AB12AD34AB12ADC.D.34AB14AD12AB34AD解析：选 B.由于 M 为 BC 的中点，所以 () () ()AM12ABAC12ABADDC12ABAD12AB，故选 B.34AB12AD2已知 A、B、C 三点不共线，且2，则( )AD13ABACSABDSACDA. B. C6D.233216解析：选 C.如图，取，2，以 AM，AN 为邻边作行四边形AM13ABANACAMDN，此时2.由图可知 SABD3SAMD，SACD SAND，而 SAMDSAND，AD13
5、ABAC126，故选 C.SABDSACD类型二 面向量数量积及其应用典例 2 (1)(2016高考全国卷)已知向量，则ABC( )BA(12，32)BC(32，12)A30B45C60D120解析：通解：根据向量的夹角公式求解，|1，|1， ，BA(12，32)BC(32，12)BABCBABC1232321232cosABCcos， .0， 180，ABC， 30.BABCBABC|BA|BC|32BABCBABC优解：如图，以 B 为原点建立面直角坐标系，则 A.(12，32)ABx60，CCBx30，ABC30.答案：A(32，12)(2)已知，| ，|t.若点 P 是ABC 所在面内
6、的一点，且，ABACAB1tACAPAB|AB|4AC|AC|则的最大值等于( )PBPCA13 B15 C19D21解析：通解：(借“底”数字化) 由题意，故分别与，同向共线的单位向量可以作为ABACABAC面向量的一组基底，设a，b，则|a|b|1，且a，b ，所以 ab0.AB|AB|AC|AC|2所以 a，tb，a4b.而 a(a4b)a4b，AB1tACAPPBABAP1t(1t1)tb(a4b)a(t4)b，故a4ba(t4)bPCACAPPBPC(1t1)a24(t4)b2ab14(t4)10(1t1)4(1t1)t4(1t1)4(1t1)t41 4t1617.由已知| ，所以
7、t0.1t(1t4t)AB1t由基本不等式可得 4t24(当且仅当 4t，即 t 时等号成立)，1t1t 4t1t12所以1717413.综上，当 t 时，取得最大值 13.故选 A.PBPC(1t4t)12PBPC优解：(借“系”坐标化)由题意，故以点 A 为坐标原点，建立如图所示的面直角坐标ABAC系由题意可得，B，C(0，t)而(1,0)，(0,1)，所以(1,4)，故(1t，0)AB|AB|AC|AC|APAB|AB|4AC|AC|P(1,4)故，(1，t4)，PB(1t1，4)PC所以(1)(4)(t4)1 4t1617.由已知| ，所以 t0.PBPC(1t1)1t(1t4t)AB
8、1t由基本不等式可得 4t24(当且仅当 4t，即 t 时等号成立)，1t1t 4t1t1217(t4t)17413.综上，当 t 时，取得最大值 13，故选 A.PBPC12PBPC母题变式(1)本例中，已知条件不变，改为求|的值？AC解：|.ACBCBA(32，12) (12，32) (312，1 32)AC(312)2(1 32)26 221一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2a2，将模的方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法解决向量的夹角问题主要是利用公式“cosa，b”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决ab|a|b|2求解向量数量积最
9、值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值(2)建立面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值自我挑战1已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则_.AEBD解析：通解：以、为基底表示和后直接计算数量积，ABADAEBDAEAD12ABBDADAB()|2 |222 222.AEBD(AD12AB)ADABAD12AB12优解：(坐标法)先建立面直角坐标系，结合向量数量积的坐标运算求解如图，以 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴，AD 所在的直线为 y 轴，建立面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,
10、2)，(1,2)，(2,2)，AEBD1(2)222.AEBD答案：22已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60，cta(1t)b.若 bc0，则 t_.解析：通解：bc0，bta(1t)b0，tab(1t)b20，又|a|b|1， a，b60， t1t0，t2.12优解：由 t(1t)1 知向量 a、b、c 的终点 A、B、C 共线，在面直角坐标系中设 a(1,0)，b，则 c.把 a、b、c 的坐标代入 cta(1t)b，得 t2.答案：2(12，32)(32，32)类型三 复数的代数运算及几何意义典例 3 (1)(2016高考全国卷)已知 z(m3)(m1)i 在复面内对应的点在第四象限
11、，则实数m 的取值范围是( )A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)解析：(根据复数几何意义)由已知可得Error!Error!3m1.故选 A.(2)(2016高考全国卷)设(1i)x1yi，其中 x，y 是实数，则|xyi|( )A1 B. C.D223解析：(根据复数相等及模计算)x，yR，(1i)x1yi，xxi1yi，Error!|xyi|1i|.故选 B.答案：B12122(3)(2016高考全国卷)若 z12i，则( )4izz1A1 B1 CiDi解析：利用 z |z|2.z (12i)(12i)5， i，故选 C.答案：Czz4izz14i41复数的分类及对应点的位置问
12、题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可2复数模的运算规律|z1z2|z1|z2|；.|z1z2|z1|z2|自我挑战1设复数 z 满足i，则|z|( )1z1zA1 B. C.D223解析：通解：选 A.由已知i，可得 zi，|z|i|1，故选 A.1z1zi1i1i12i1i12i2优解：i，zi，|z|1.1i1i2若 a 为实数，且(2ai)(a2i)4i，则 a( )A1 B0 C1D2解析：通解：选 B.(2ai)(a2i)4i4a(a24)i4i，Error!解得 a0.优解：检验法：将 a0 代入适合题意，故选 B.1(2017高考全国卷)( )3i1iA12i B12i C2iD2i解析：选 D.2i.故选 D.3i1i3i1i1i1i33ii122(2017高考全国卷)设复数 z 满足(1i)z2i，则|z|( )A. B. C.D212222解析：选 C.解法一：由(1i)z2i 得 z1i，|z|.故选 C.2i1i2解法二：2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得 z1i，|z|.故选 C.23(2017高考全国卷)复面内表示复数 zi(2i)的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：选 C.
