《十六、十七、十八、十九世纪欧洲的数学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《十六、十七、十八、十九世纪欧洲的数学（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、十六、十七世纪欧洲的数学16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们 思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而 起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过 渡，促使技术科学和数学急速发展。例如在航海方面，为了确定船只的位置，要求更加精密的天文观测。军事方面，弹 道学成为研究的中心课题。准确时计的制造，运河的开凿，堤坝的修筑，行星的椭圆轨 道理论等等，也都需要很多复杂的计算。古希腊以来的初等数学，已渐渐不能满足当时 的需要了。在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。首先
2、是哥白 尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯 见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，于是开始制 作每隔 10“的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋工作达 12 年 之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。16 世纪下半叶，丹麦天文学家第谷进行了大量精密的天文观测，在这个基础上，德 国天文学家开普勒总结出行星运动的三大定律，导致后来牛顿万有引力的发现。开普勒的酒桶的新立体几何将酒桶看作由无数的圆薄片累积而成，从而求出其 体积。这是积分学的前驱工作。意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进行系统的观察与实验，充分
3、利用数学 工具去探索大自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学)的发展有巨大的影响。 他的学生卡瓦列里创立了“不可分原理“。依靠这个原理他解决了许多现在可以用更严格 的积分法解决的问题。“不可分“的思想萌芽于 1620 年，深受开普勒和伽利略的影响，是 希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积分的过渡。16 世纪的意大利，在代数方程论方面也取得了一系列的成就。塔塔利亚、卡尔达诺 、费拉里、邦贝利等人相继发现和改进三次、四次方程的普遍解法，并第一次使用了虚 数。这是自希腊丢番图以来代数上的最大突破。法国的韦达集前人之大成，创设大量代 数符号，用字母代表未知数，改良计算方法，使代数学大为改观
4、。在数字计算方面，斯蒂文系统地阐述和使用了小数，接着纳皮尔创制了对数，大大 加快了计算速度。以后帕斯卡发明了加法机，莱布尼茨发明了乘法机，虽然未臻于实用 ，但开辟了机械计算的新途径。17 世纪初，初等数学的主要科目(算术、代数、几何、三角)已基本形成，但数学的 发展正是方兴未艾，它以加速的步伐迈入数学史的下一个阶段：变量数学时期这一时期 和前一时期(常称为初等数学时期)的区别在于前一时期主要是用静止的方法研究客观世 界的个别要素，而这一时期是用运动的观点探索事物变化和发展的过程。变量数学以解析几何的建立为起点，接着是微积分学的勃兴。这一时期还出现了概 率论和射影几何等新的领域。但似乎都被微积分
5、的强大光辉掩盖了。分析学以汹涌澎湃 之势向前发展，到 18 世纪达到了空前灿烂的程度，其内容的丰富，应用之广泛，使人目 不暇接。这一时期所建立的数学，大体上相当于现今大学一二年级的学习内容。为了与中学 阶段的初等数学相区别有时也叫古典高等数学，这一时期也相应叫做古典高等数学时期 。解析几何的产生，一般以笛卡儿几何学的出版为标志。这本书的内容不仅仅是 几何，也有很多代数的问题。它和现在的解析几何教科书有很大的差距，其中甚至看不 到“笛卡儿坐标系“。但可贵的是它引入了革命性的思想，为开辟数学的新园地作出了贡献。几何学的主要功绩，可以归结为三点：把过去对立着的两个研究对象“形“和“ 数“统一起来，引
6、入了变量，用代数方法去解决古典的几何问题；最后抛弃了希腊人的齐 性限制；改进了代数符号。法国数学家费马也分享着解析几何创立的荣誉，他的发现在时间上可能早于笛卡儿 ，不过发表很晚。他是一个业余数学家，在数论、概率论、光学等方面均有重要贡献。 他已得到微积分的要旨，曾提出求函数极大极小的方法。他建立了很多数论定理，其中 “费马大定理“最有名，不过只是一个猜想，至今仍未得到证明。对概率论的兴趣，本来是由保险事业的发展而产生的，但促使数学家去思考一些特 殊的概率问题却来自赌博者的请求。费马、帕斯卡、惠更斯是概率论的早期创立者，以 后经过 18、19 世纪拉普拉斯、泊松等人的研究，概率论成为应用广泛的庞
7、大数学分支。和解析几何同时，17 世纪在几何领域内还发生了另一场重大的变革，这就是射影几 何的建立。决定性的进步是德扎格和帕斯卡的工作。前者引入了无穷远点、无穷远线， 讨论了极点与极线、透射、透视等问题，他所发现的“德扎格定理“是全部射影几何的基 本定理。帕斯卡 1640 年发表的圆锥曲线论 ，是自阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进 步。可是当时的数学家大多致力于分析学的研究，射影几何没有受到重视，直到 18 世纪 末才重新引起人们的注意。17 世纪是一个创作丰富的时期，而最辉煌的成就是微积分的发明。它的出现是整个 数学史也是整个人类历史的一件大事。它从生产技术和理论科学的需要中产生，同时又
8、回过头来深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。微积分对于今天的科技工作者来说 ，已经象布帛菽粟一样，须臾不可离了。微积分是经过了长时间的酝酿才产生的。积分的思想，早在阿基米德时代已经萌芽 ，16、17 世纪之交，开普勒、卡瓦列里、费马、沃利斯特别是巴罗等人作了许多准备工 作。作为微分学中心问题的切线问题的探讨，却是比较晚的事，因而微分学的起点远远 落在积分学之后。17 世纪的著名数学家(主要是法国)如费马、笛卡儿、罗贝瓦尔、德扎格等人都曾卷 入“切线问题“的论战中。笛卡儿和费马认为切线是当两个交点重合时的割线。而罗贝瓦 尔则从运动的角度出发，将切线看作描画这曲线的运动在这点的方向，这观点至今在
9、力 学上还有实际意义。牛顿、莱布尼茨的最大功劳是将两个貌似不相关的问题联系起来，一个是切线问题 (微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)，建立起两者之间的桥梁， 用微积分基本定理或者“牛顿-莱布尼茨公式“表达出来。在牛顿 1665 年 5 月 20 日(格里历 31 日)手写的一页文件中，有微积分的最早记载，但 他的工作长久没有人知道，直到 1687 年才用几何的形式摘记在他的名著自然哲学的数 学原理中。牛顿建立微积分主要从运动学的观点出发，而莱布尼茨则是从几何学的角 度去考虑。特别和巴罗的“微分三角形“有密切关系。莱布尼茨第一篇微分学的文章 1684 年在学艺上发表，第一篇积
10、分学的文章 168 6 年在同一杂志发表。他所创设的符号远优于牛顿，故为后世所沿用。它的理论很快就得 到洛必达、伯努利家族和欧拉等人的继承和发扬光大，到 18 世纪进入了一个丰收的时期 。任何一项重大发明，都不可能一开始便完整无瑕。17 世纪的微积分带有严重的逻辑 困难，以致受到多方面的非议。它的基础是极限论，而牛顿、莱布尼茨的极限观念是十分模糊的。究竟极限是什么，无穷小是什么，这在当时是带有根本性质的难题。尽管如 此，微积分在实践方面的胜利，足以令人信服。大多数数学家暂时搁下逻辑基础不顾， 勇往直前地去开拓这个新的园地。17 世纪数学发展的特点，可以概括如下。产生了几个影响很大的新领域，如解
11、析几何、微积分、概率论、射影几何等。每一 个领域都使古希腊人的成就相形见绌。代数化的趋势，希腊数学的主体是几何学，代数的问题往往也要用几何方法去论证 。17 世纪的代数学比几何学占有更重要的位置，它冲破希腊人的框框，进一步向符号代 数转化，几何问题常常反过来用代数方法去解决。出现了大量新概念，如无理数、虚数、瞬时变化率、导数、积分等等，都不是经验 事实的直接反映，而是由数学理论进一步抽象所产生。数学和其他自然科学的联系更加紧密，实验科学(从伽利略开始)的兴起，促进数学 的发展，而数学的成果又渗透到其他科学部门中去。许多数学家，如牛顿、莱布尼茨、 笛卡儿、费马等，本身也都是天文学家、物理学家或哲
12、学家。数学知识广泛交流传播，希腊时代只有少数人在研究数学，直到 16 世纪，情况并无 多大改变。17 世纪研究人员大增，学术团体(学会或学院)相继成立，加上印刷业的兴旺 发达，数学知识得到普遍的推广和应用。总的来说，17 世纪是许多新兴科目的始创阶段，而 18 世纪是充实和发扬阶段，19 世 纪是回顾、推广和改革阶段，并以崭新的姿态进入下一个世纪。 十八世纪欧洲的数学将微积分学深入发展，是十八世纪数学的主流。这种发展是与广泛的应用紧密交织 在一起的，并且刺激和推动了许多新分支的产生，使数学分析形成了在观念和方法上都 具有鲜明特点的独立的数学领域。在十八世纪特别是后期，数学研究活动和数学教育方式
13、也发生了变革。这一切使十 八世纪成为向现代数学过渡的重要时期。微积分学的发展在十八世纪，无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的 。不列颠数学家们在剑桥、牛津、伦敦、爱丁堡等著名的大学里传授和研究牛顿的流数 术，代表人有科茨、泰勒、麦克劳林、棣莫弗和斯特林等。泰勒发现的著名公式使人们有可能通过幂级数展开来研究函数；马克劳林的流数 论可以说是对微积分最早的系统处理，该书是为反驳伯克利主教分析学家一文而 作，后者出于宗教的动机，对牛顿流数论中存在的无限小概念混乱提出了尖锐批评，引 起了关于微积分基础的论战。泰勒、马克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞、僵化的状态。十八世纪初即已爆
14、 发的微积分发明权的争论，滋长了不列颠数学家们浓厚的民族保守情绪，他们囿于牛顿 的传统，难以摆脱其迂回的几何手法等弱点的束缚。与此相对照，在海峡的另一边，新 分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。推广莱布尼茨学说的任务，主要由他的学生、瑞士巴塞尔的雅各布第一伯努利和 约翰第一伯努利两兄弟担当，而这方面最重大的进步则是由欧拉作出的。欧拉于 1748 年出版了无穷小分析引论 ，这部巨著与他随后发表的微分学 、 积分学标志着微积分历史上的一个转折：以往的数学家们都以曲线作为微积分的主 要研究对象，而欧拉则第一次把函数放到了中心的地位，并且是建立在函数的微分的基 础之上。函数概念本身正是由于
15、欧拉等人的研究而大大丰富了。数学家们开始明确区分代数函数与超越函数、隐函数与显函数、单值函数与多值函 数等；通过一些困难积分问题的求解，诸如 B 函数、椭圆不定积分等一系列新的超越函数 被纳入函数的范畴；已有的对数、指数和三角函数的研究不仅进一步系统化，而且被推 广到复数领域。在十八世纪，数学家们对于函数、导数、微分、连续性和级数收敛性等概念还没有 形成统一的见解，他们往往不顾基础问题的薄弱而大胆前进。尽管如此，许多人对建立 微积分的严格基础仍作出了重要的尝试。除了欧拉的函数理论外，另一位天才的分析大 师拉格朗日采取了所谓“代数的途径“。他在 1797 年出版的解析函数论一书中，主张 用泰勒级
16、数来定义导数，并以此作为整个微分、积分理论之出发点。达朗贝尔则发展了牛顿的“首末比方法“，但用极限的概念代替了含糊的“最初与最 终比“的说法。如果说欧拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趋势，那么，达朗贝尔 则为微积分的严格表述提供了合理的内核。19 世纪的严格化运动，正是这些不同方向融 会发展的结果。数学与力学开始结合数学同力学的有机结合，是十八世纪数学的另一个鲜明特征。这种结合，其紧密的 程度为数学史上任何时期所不能比拟。几乎所有的数学家都以巨大的热情，致力于运用 微积分新工具去解决各种物理、力学问题。欧拉的名字同流体力学和刚体运动的基本方程联系着；拉格朗日最享盛名的著作 分析力学 ，“将力学变成了分析的一个分支“；拉普拉斯则把数学看作是研究力学天文 学的工具，他的许多重要数学成果正是包含在他的五大卷天体力学中。这种广泛的应用成为新的数学思想的源泉，而使数学本身的发展大大受惠。一系列 新的数学分支在十八世纪成长起来。达朗贝尔关于弦振动的著名研究，导出了弦振动方程及其最早的解，成为偏微分方 程论的发端。另一类重要的偏微分方程
