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1、第一章 插值方法1.7 分段插值法分段插值法分段插值法分段插值法2例2.5 , 5,11)(2+=xxxf设函数ninhihxnni, 1 , 0,10,515 , 5L=+=+个节点等份取将插值多项式次的作试就Lagrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2=并作图比较.解:211)(iiixxfy+=插值多项式次作Lagrangen = =+=njnjiiijijnxxxx xxL002)()( 11)(10, 8 , 6 , 4 ,2=n3-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.5
2、2-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象4由此节可知,如果插值多项式的次数过高，可能 产生Runge现象，因此，在
3、构造插值多项式时常采用 分段插值的方法。一、分段线性Lagrange插值,ix设插值节点为niyi, 1 , 0,L=函数值为,11+kkkkxxxx形成一个插值区间任取两个相邻的节点构造Lagrange线性插值1,2 , 1 ,0,1=+nixxhiiiLiihhmax=1. 分段线性插值的构造5)()()(11)( 1xlyxlyxLkkkkk +=11+ =kkk kxxxxykkk kxxxxy+ 111, 1 , 0=nkL=)(1xL nnnxxxxLxxxxLxxxxL1)1( 121)1( 110)0( 1)()()(MM显然=)(1ixLniyi, 1 ,0,L=-(1)-(
4、2)我们称由(1)(2)式构成的插值多项式为 分段线性Lagrange插值多项式)(1xL6为插值点设*xx =1*+kkxxx若*)(*1xLy =则*)()( 1xLk=11*+ =kkk kxxxxykkk kxxxxy+ 11*0*xx 若*)(*1xLy =取*)()0( 1xL=101 0* xxxxy=010 1* xxxxy+nxx *若*)(*1xLy =取*)()1( 1xLn=nnn nxxxxy= 11*11* +nnn nxxxxy内插外插外插7-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0
5、.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的图象分段线性插值)(1xLy =的一条折线实际上是连接点niyxkk , 1 , 0,),(L=也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果)(lim10xL h)(xf=上连续在若,)(baxf因此则8)()!1()(1
6、)1( xnfnn+=由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为)()()(xPxfxRnn=的余项为那么分段线性插值)(1xL)()()(11xLxfxR=)()()( 1xLxfk=)(2)( 1+ =kkxxxxf有关与且xxxxkk,1+|)(|1xR|)(|max|)(|max21 1+ kkkbxabxaxxxxxf2 241 21hM 2 281hM=2. 分段线性插值的误差估计9二、分段二次Lagrange插值分段线性插值的光滑性较差,且精度不高因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值,ix设插值节点为niyi, 1 , 0,L=函数值为为插值区间以任取三
7、个相邻节点,1111+kkkkkxxxxx构造Lagrange二次插值)()()()(1111)( 2xlyxlyxlyxLkkkkkkk +=1,2 , 1=nkL1,2 , 1 ,0,1=+nixxhiiiLiihhmax=1. 分段二次插值的构造10)()(1111 1 + =kkkkkk kxxxxxxxxy1, 2 , 1=nkL)()( 2xLk )()(1111+ +kkkkkk kxxxxxxxxy)()(1111 1 kkkkkk kxxxxxxxxy+ +上式称为分段二次Lagrange插值,*,*1+kkxxxx且为插值点若显然,插值区间,211+kkkkxxxx和*x都
8、包含*)(*)( 2xLyk=那么取*)(*)1( 2xLyk+=还是11一般地则更接近且若,*,*1kkkxxxxx+*)(*)( 2xLyk=则更接近且若,*,*11+kkkxxxxx*)(*)1( 2xLyk+=1,2 , 1=nkL则含若),*(*01xxxx1,2 , 1=nkL*)(*)1( 2xLy =则含若),*(*1nnxxxx*)(*)1( 2xLyn=时使用的方法是外插和nxxxx*012*x*x*x*x*x*x0x1x2kx1kxkx1+kx1nxnx*x*)()1( 2xL)1( 2kL)( 2kL)1( 2+kL*)()1( 2xLn LL外插内插外插13)()!1
9、()(1)1( xnfnn+=)()()(xPxfxRnn=的余项为那么分段二次插值)(2xL)()()(22xLxfxR=)()()( 2xLxfk=)()(6)( 11+ =kkkxxxxxxf 有关与且xxxxkk ,11+|)(|2xR| )()( |max| )(|max6111 11+ +kkkkxxxbxaxxxxxxxfkk3 3932 61hM 3 3273hM=2. 分段二次插值的误差估计由于14，用分段线性、二次插值处的近似值在求)( 1 . 1 ,98. 0 ,75. 0 ,42. 0 ,36. 0)(=xxf18885. 187335. 069675. 057815.
10、 041075. 030163. 005. 180. 065. 055. 040. 030. 0543210ii yxi在各节点处的数据为设)(xf例:)()( 1xLk11+ =kkk kxxxxykkk kxxxxy+ 11解:(1). 分段线性Lagrange插值的公式为1, 1 , 0=nkL15)36. 0()0( 1L4 . 03 . 0 4 . 036. 030163. 0=3 . 04 . 0 3 . 036. 041075. 0+36711. 0=)42. 0()1( 1L55. 04 . 055. 042. 041075. 0=4 . 055. 0 4 . 042. 057
11、815. 0+43307. 0=)75. 0()3( 1L81448. 0=)98. 0()4( 1L10051. 1=)1 . 1()4( 1L05. 18 . 005. 11 . 187335. 0=8 . 005. 1 8 . 01 . 118885. 1+25195. 1=)36. 0(f)42. 0(f)75. 0(f)98. 0(f)1 . 1(f同理16)()(1111 1 + =kkkkkk kxxxxxxxxy1, 2 , 1=nkL)()( 2xLk )()(1111+ +kkkkkk kxxxxxxxxy)()(1111 1 kkkkkk kxxxxxxxxy+ +(2)
12、. 分段二次Lagrange插值的公式为36686. 0=)()36. 0)(36. 0(201021 0xxxxxxy=)36. 0()1( 2L)()36. 0)(36. 0(210120 1xxxxxxy+)()36. 0)(36. 0(120210 2xxxxxxy+)36. 0(f1743281. 0=)()42. 0)(42. 0(201021 0xxxxxxy=)42. 0()1( 2L)()42. 0)(42. 0(210120 1xxxxxxy+)()42. 0)(42. 0(120210 2xxxxxxy+81343. 0=)()75. 0)(75. 0(534354 3xxxxxxy=)75. 0()4( 2L)()75. 0)(75. 0(545453 4xxxxxxy+)()75. 0)(75. 0(453543 5xxxxxxy+)42. 0(f)75. 0(f)98. 0(f)1 . 1(f09784. 1=)98. 0()4( 2L25513. 1=)1 . 1()4( 2L18三、分段Hermite插值分段低次Lagrange插值的特点计算较容易可以解决Runge现象但插值多项式分段插值多项式在节点处不可导（P32）
